郭曉彤 劉美晴 王藝璇 魏果果 高 華

(中國地質(zhì)大學(xué)(北京) 數(shù)理學(xué)院，北京 100083)

(1)

其中k是波矢，ωD是Dirac點的頻率。在Dirac點處ω=ωD，

(2)

當(dāng)Dirac點在布里淵區(qū)的中心時，kx=0，ky=0，所以在該點，光子晶體的等效折射率為0，這一發(fā)現(xiàn)為零折射率材料的實現(xiàn)提供了一種非常簡單的途徑。

圖1 介質(zhì)柱正方晶格光子晶體布里淵區(qū)中心處出現(xiàn)Dirac錐的能帶結(jié)構(gòu)圖

仿真實驗是物理實驗的一個重要組成部分，也是現(xiàn)代教育信息化建設(shè)的一大亮點，其重要作用及特色就是可以模擬自然界中難以獲得的危險、極端等實驗條件，把傳統(tǒng)實驗室無法完成的實驗安全、直觀的展示出來。如前文所述，雙零折射率材料在自然界中無法直接獲得，而零折射率材料的電磁特性卻是很容易推介到我們物理課程體系中去，為了使同學(xué)們可以直觀地觀察到零折射材料特性，本文將采用文獻(xiàn)[4]中報道的Dirac錐光子晶體來代替零折射率材料進(jìn)行研究。通過數(shù)值仿真模擬，展示零折射率材料三個基本的電磁特性，進(jìn)而根據(jù)其獨特的電磁特性仿真一個零折射率材料的典型應(yīng)用，希望可以為學(xué)生理解這種新穎的超構(gòu)材料提供一些直觀的物理圖像。

1 模擬方法

本文采用商業(yè)模擬軟件FDTD Solutions對文獻(xiàn)[4]提出的Dirac錐光子晶體零折射率材料與折射率n=1.4的普通介質(zhì)材料進(jìn)行模擬并對比，其中所用零折射材料為由介質(zhì)柱組成的二維正方晶格光子晶體(如圖2)。具體的結(jié)構(gòu)參數(shù)為晶格常數(shù)a=0.5μm,介質(zhì)柱半徑R=0.2a=0.1μm，介質(zhì)柱的折射率為n=3.54；軟件中設(shè)置的背景介質(zhì)均為空氣，折射率n=1，入射光波長均為0.937μm，即在Dirac點頻率處。計算時的邊界條件設(shè)置為完美匹配層，相當(dāng)于把整個材料放置在開闊的實驗空間，即出射散射等光波可以無反射地傳向無窮遠(yuǎn)。

圖2 二維正方晶格光子晶體結(jié)構(gòu)示意圖

2 仿真實驗

2.1 光通過零折射率材料不規(guī)則面的出射方向

入射波傳播到兩種介質(zhì)的分界面時會發(fā)生折射現(xiàn)象，同樣，折射現(xiàn)象也會發(fā)生在普通介質(zhì)(如空氣)與零折射率材料的分界面。那么發(fā)生在零折射率材料界面的折射現(xiàn)象與常規(guī)的折射現(xiàn)象有什么不同呢？根據(jù)折射定律

n1sinθ1=n2sinθ2

(3)

圖3 平面光波分別通過零折射材料不規(guī)則平板(a)和折射率為1.4的不規(guī)則介質(zhì)平板(b)時的電場分布

當(dāng)光波從非零折射材料射入另一種常規(guī)材料時，由于n1≠0，所以當(dāng)光波的入射角θ1≠0°時，出射角θ2也必不等于0；而當(dāng)光波從零折射材料入射時，由于n1=0，等式的右側(cè)也必須為0，而n2≠0,所以無論光波的入射角θ1是多少，出射角θ2都將等于0，也就是說當(dāng)光波從零折射率材料射出時，其出射方向必然始終垂直于出射面。我們通過在模擬軟件中設(shè)置一個被切了一個角的矩形平板，通過改變平板材料來模擬觀察光波分別通過非零折射率材料和零折射率材料后的出射方向。圖1中黑色箭頭表示光的入射方向，灰色箭頭表示光的出射方向，從圖3(a)可以看出光波通過零折射材料時，無論入射角多大，出射方向都始終垂直于出射面。而由圖3(b)可以看出光波通過折射率為1.4的介質(zhì)層時，由于界面的不規(guī)則，發(fā)生了很復(fù)雜的過程，在均勻的介質(zhì)里面出現(xiàn)了明顯的強弱分布的干涉場。但不論過程如何，與零折射率材料不同，光波在斜切角邊界發(fā)生了明顯的折射，出射面的出射方向與入射方向有關(guān)。

2.2 零折射率材料內(nèi)部的場分布

根據(jù)經(jīng)典電動力學(xué)的電磁理論，光波在介質(zhì)中傳播會有相位的改變和積累。如果一定頻率的光波在折射率為n的均勻介質(zhì)中傳播，設(shè)該頻率的光波在真空中的波長為λ0，則光波在傳播距離d后，其相位的改變量為

(4)

而對于零折射率材料，由于其折射率n=0，所以無論光波在介質(zhì)中傳播多遠(yuǎn)的距離，其相位都保持不變。我們通過仿真模擬了Dirac錐光子晶體零折射率材料的電磁場分布，讓光波從空氣中分別垂直入射到Dirac錐光子晶體層和普通介質(zhì)層再射出，觀察其內(nèi)部電磁場是否均勻，相位是否發(fā)生變化。圖4中的灰色箭頭表示光波入射方向，可以看出當(dāng)光波在非零折射材料介質(zhì)中傳播時，相位發(fā)生了明顯的周期性的變化；而在我們設(shè)置的零折射材料中傳播時，盡管在每一個介質(zhì)柱內(nèi)產(chǎn)生了明顯的位相分布，但從整個光子晶體來看，相位沿傳播方向始終沒有改變。

圖4 光波分別通過Dirac錐光子晶體零折射率材料平板(a)和折射率為1.4的常規(guī)介質(zhì)平板(b)時的電場分布

2.3 光通過零折射率材料平板的透過率

光波通過一個介質(zhì)平板，其透過率會隨著平板厚度的改變而改變，其物理機理是光波會在平板兩側(cè)的界面處多次來回反射，平板就像一個F-P腔，其出射光的透過率是多次透射光的多光束干涉,具體公式為

(5)

圖5 不同層數(shù)的Dirac錐光子晶體的透射譜(a)與不同厚度的折射率為1.4的介質(zhì)層的透射譜(b),在Dirac點波長處，即平板折射率為零時，透過率不隨平板厚度的改變而改變。

其中δ為光波在介質(zhì)平板中往返一次所累積的相位變化,n為介質(zhì)的折射率，h為介質(zhì)平板的厚度。而對于零折射率材料，由于n=0，所以不論平板的厚度如何改變，光波在其中往返一次所累積的相位變化均為0。由式(5)可知，光波透過零折射率材料的透過率也不會隨著平板厚度的改變而改變。我們分別仿真了光波通過不同層數(shù)(8層、12層、16層)Dirac錐光子晶體與折射率為1.4的不同厚度(5.0μm、5.5μm、7.0μm)介質(zhì)層的透射譜，由圖5(a)光波通過Dirac錐光子晶體的透過率可以看出，在Dirac點處光波通過Dirac錐光子晶體材料的透過率始終為1，而在偏離Dirac點的位置，由于光子晶體不再等效于零折射材料，所以透過率隨著平板厚度的改變而發(fā)生了變化；從右側(cè)光波透過折射率為1.4的材料的透過率圖中也可以明顯看出，沒有任何一點在介質(zhì)層厚度改變時光波的透過率始終不變。

3 零折射率材料的應(yīng)用：匯聚透鏡，波前控制

由仿真實驗驗證的三個基本物理特性可知，Dirac錐光子晶體確實可以實現(xiàn)零折射率材料的一些物理特性，那么它是否可以實現(xiàn)零折射率材料的一些典型的功能呢？我們也進(jìn)行了一些仿真實驗。這里我們利用以上仿真的零折射率材料的第一個特性——光波通過光子晶體后的出射方向始終垂直于出射面，來實現(xiàn)零折射率材料的聚焦功能。如果我們把光波通過零折射率材料的出射面設(shè)計成弧形或半圓型，那么通過它出射的光波將匯聚到一點。圖6模擬了這種情況，其中深色箭頭表示光波從空氣中分別入射到零折射材料和非零折射材料的入射方向，淺色箭頭表示光波通

圖6 零折射率材料(a)與折射率為1.4的介質(zhì)(b)模擬匯聚透鏡

過介質(zhì)后的出射方向從左側(cè)圖可以看出，讓光波從左側(cè)垂直入射，通過將光子晶體排列成一個圓弧形，可以使光波出射后匯聚到一個點上，從而實現(xiàn)匯聚透鏡的功能；而右側(cè)使用相同操作的非零折射材料并不能實現(xiàn)光波的匯聚。

4 結(jié)語

本文采用商業(yè)模擬軟件FDTD Solutions對Dirac錐光子晶體零折射率材料進(jìn)行仿真模擬。仿真實驗表明，零折射率與常規(guī)正折射率材料相比具有很多奇特的電磁特性。我們通過靈活運用零折射材料可以實現(xiàn)對光路的控制。本次仿真實驗結(jié)果與物理理論吻合，實驗結(jié)果可以使得學(xué)生對零折射率材料的物理特性有一個感性的認(rèn)識，對零折射率材料的理解以及相關(guān)器件的設(shè)計發(fā)展也有很好的指導(dǎo)意義。