陳敏華

摘? ? 要：由于混淆面和面積的概念，人們不經(jīng)意地會混淆通過線圈某一側(cè)面的磁通量和通過每匝線圈同一側(cè)面的磁通量.要消除這一概念上的混淆，必須認識到面和面積屬于兩個不同的范疇.

關(guān)鍵詞：線圈;磁通量;面;面積;范疇

一、問題的提出

在人民教育出版社出版的普通高中課程標準實驗教科書《物理》（選修3-2）中有這樣一道練習題：

有一個1000匝的線圈，在0.4s內(nèi)通過它的磁通量從0.02Wb增加到0.09Wb，求線圈中的感應電動勢.如果線圈的電阻是10Ω，把一個電阻為990Ω的電熱器連接在它的兩端，通過電熱器的電流是多大？

此題已經(jīng)給出了通過線圈的磁通量，為什么還要告訴線圈的匝數(shù)？顯然，教材編者混淆了通過線圈的磁通量和通過每匝線圈的磁通量.并且，根據(jù)這冊教材的《教師教學用書》上所提供的解答，編者確實把“通過它的磁通量”當作“通過每匝線圈的磁通量”了.之所以會混淆這兩個不同的概念，其原因是混淆了面和面積這兩個概念.

面和面積有何區(qū)別？這正是這道題所引發(fā)出來的問題.

二、磁通量的定義

設某一矢量（vector）的位置分布為[V →]（[r]），其中[r]為位置矢量.[V →]（[r]）通過某一面（surface）S的通量（flux）Φ被定義為兩個矢量的標積的面積分：

Φ=[SV →]（[r]）·[dA →]

式中，[dA →]為面S所對應的面積（area）[A →]的微分.

在對通量這一概念的理解上，特別要注意以下兩點.

（一）通量一定是針對某一側(cè)面來說的

通量的定義式是一個面積分，因此，它是針對面來說的.面是我們通過感官和大腦對物體觀察的結(jié)果，是我們對物體抽象的結(jié)果.我們通過感官和大腦能從物質(zhì)中抽象出所謂的性質(zhì)、現(xiàn)象、狀態(tài)等信息.在亞里士多德的《范疇集》中[1]，共列出了十大范疇，其中前四大范疇分別是物質(zhì)（substance）、性質(zhì)（quality）、數(shù)量（quantity）和關(guān)系（relation）.面是我們觀察到的現(xiàn)象.顯然，面屬于性質(zhì)這一范疇.我們把性質(zhì)這一范疇下的諸如面、運動、電性、磁性、熱等物理概念稱為定性概念（qualitative concept）.

物理量是用來描述性質(zhì)的，屬于數(shù)量這一范疇.我們把數(shù)量這一范疇下的概念稱為定量概念（quantitative concept）.因此，物理量是定量概念.

在物理教育中，我們必須向?qū)W生表明，面是定性概念，而面積是定量概念.但在有些教材中經(jīng)常用表示面的符號S來表示面積.這是混淆面和面積概念的表現(xiàn).嚴格地說，面積應該用A來表示.

這里我們所說的面包括曲面和平面（平面實際上是曲面的特例）.一個平面對應一條法線.具有連續(xù)轉(zhuǎn)動法線的曲面稱為光滑曲面.由有限多塊不相交的光滑曲面連成的面稱為簡單曲面[2].這里所說的面指的都是簡單曲面（包括平面）.

通常所說的“面”又包括兩個側(cè)面，而這兩個側(cè)面對應著正負號不同的面積矢量.舉個簡單的例子，對于一張紙（圖1），它有左右兩個側(cè)面S1和S2，對應的面積矢量分別為[A1→]和[A2→].顯然，[A1→=-][A2→].

對于圖1中不同的側(cè)面，某一矢量的通量剛好相差一個正負號.對于某一矢量，當這張紙轉(zhuǎn)動180度后，它對某一側(cè)面的通量就改變了原來的兩倍.因此，在計算某一矢量的通量時，一定要明確是對哪個側(cè)面來說的.

（二）通量一定是針對某一矢量來說的

前面已經(jīng)說過，通量是兩個矢量標積的面積分.在這兩個矢量中，其中一個是面積矢量的微分.

如果這個面積分中的另一個矢量是速度[v→]，比如水流的流速，則其通量是水的流量（volume flow）：

Q=[Sv →]·[dA →]

如果這個面積分中的另一個矢量是電流密度[j→]，則其通量是電流（electric current）：

I=[Sj →]·[dA →]

如果這個面積分中的另一個矢量是電位移[D →]，則其通量是電通量（electric flux）：

Φe=[SD →]·[dA →]

如果這個面積分中的另一個矢量是磁感應強度[B →]，則其通量是磁通量（magnetic flux）：

Φm=[SB →]·[dA →]

對于勻強磁場，我們有：

Φm=[SB →]·[dA →]=[B →][Sd][A →]=[B →·A →]

另外，功率（能流密度矢量的通量）和力（動量流密度矢量的通量）也屬于通量的概念.功率實際上就是能流，力實際上就是動量流.

三、拓撲學解釋

在拓撲學中有這樣一條原理：一個區(qū)域的邊界不再有邊界[3].具體地說，一個空間區(qū)域的邊界是一個閉合的面，這個面不再有邊界;一個面的邊界是一條閉合的線，這條線不再有邊界.

比如一個球體的邊界是一個閉合的球面，這個球面不再有邊界.再比如圖1中的這張紙有左右兩個側(cè)面.因此，它有兩條邊界線.如果將它卷成一個圓筒，它仍有內(nèi)外兩個面和兩條邊界線.如果將它卷成如圖2所示的莫比烏斯帶（M?bius strip），它就只有一個面了，且只有一條邊界線.實驗表明，給用金屬片制成的莫比烏斯帶帶上電，其電荷分布在整個“內(nèi)外”表面上，不像法拉第圓筒實驗中那樣電荷只分布在其外表面上，而不分布在內(nèi)表面上[4].

一個線圈實際上有兩個側(cè)面.所謂“通過線圈的磁通量”實際上是指“通過線圈其中一個側(cè)面的磁通量”.根據(jù)拓撲學原理，每一獨立的面只有一個閉合的邊界，這個邊界不再有邊界.仔細分析我們會發(fā)現(xiàn)，n匝線圈的每一匝線圈的側(cè)面的邊界線是不閉合的，并沒有單獨構(gòu)成一個側(cè)面，而是構(gòu)成整個線圈的一個側(cè)面的一部分.因此，如果通過每匝線圈的某一側(cè)面的磁通量都相等，則通過線圈的同一側(cè)面的面積是線圈橫截面面積的n倍;通過線圈的某一側(cè)面的磁通量是通過每匝線圈的同一側(cè)面磁通量的n倍.在一般情況下，通過線圈的某一側(cè)面的磁通量是通過每匝線圈同一側(cè)面磁通量之和.因此，通過線圈的某一側(cè)面的磁通量又叫作全磁通（或磁通匝鏈數(shù)）[5].

在物理學中，我們通常用磁感線來形象地描述磁感應強度[B →].這樣，也有利于我們直覺地理解通過線圈的磁通量.

圖3用四種不同的方式畫出了一個2匝線圈.這四個圖在拓撲學意義上是等效的[6].從圖（d）中我們清楚地看出，一個線圈確實只有兩個側(cè)面（無論匝數(shù)有多少）;對于一個2匝線圈，每根磁感線都2次分別穿過它的其中任何一個側(cè)面.因此，對于匝數(shù)為n的線圈，每根磁感線要穿過這個線圈的其中一個側(cè)面n次，即磁感應強度[B →]對積分[SB →·d][A →]貢獻了n次.

四、結(jié)束語

通量是物理學的重要概念，也是常用的概念，諸如功率、電流、電通量、磁通量、力等都屬于通量的概念.

要正確理解通量這一概念，關(guān)鍵要區(qū)分面和面積這兩個概念.面屬于性質(zhì)的范疇，面積屬于數(shù)量的范疇.

要正確計算通過線圈的磁通量，我們還必須區(qū)分線圈的面和每匝線圈的面.我們不能混淆線圈的某一側(cè)面和每匝線圈的同一側(cè)面，否則就會混淆通過線圈的某一側(cè)面的磁通量和通過每匝線圈的同一側(cè)面的磁通量.上面我們提到的現(xiàn)行教材中的那道題和教師教學用書中的相應題解中的錯誤，就是這種混淆概念引起的.

參考文獻：

[1]亞里士多德. 形上學[M]. 呂穆迪，譯. 北京：北京時代華文書局，2014：83.

[2]謝樹藝. 矢量分析與場論[M]. 北京：人民教育出版社，1978：26.

[3]YANG C N. Einsteins impact on theoretical physics[J]. Physics Today， 1980， 33（6）： 42-49.

[4]STEWART S. Flexible Faraday cage with a twist： Surface charge on a M?bius strip[J]. The Physics Teacher， 2007， 45（5）： 268-269.

[5]趙凱華，陳熙謀. 電磁學[M]. 北京：高等教育出版社，1985：462.

[6]HERRMANN F. Hochschulskripten Elektrodynamik[EB/OL]. （2015）[2019-12-27]http：//www.physikdidaktik.uni-karlsruhe.de/kpk_material.html

（本文中的一些觀點是筆者在與德國Friedrich Herrmann教授、國內(nèi)物理教育同行討論中形成的，在此向他們表示衷心感謝）