馬琦

[摘要]數(shù)學(xué)的悟性是人們?cè)跀?shù)學(xué)思維活動(dòng)中，憑借類(lèi)比、想象等手段，觸發(fā)靈感、引發(fā)領(lǐng)會(huì)，繼而解決疑難的一種能力悟是人對(duì)事物的分析和理解能力學(xué)生領(lǐng)悟能力培養(yǎng)對(duì)提高數(shù)學(xué)思維能力、提高數(shù)學(xué)課堂教學(xué)質(zhì)量作用明顯.

[關(guān)鍵詞]悟性;能力;誘思;類(lèi)比;聯(lián)想

[中圖分類(lèi)號(hào)]

G633.6

[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A

[文章編號(hào)] 1674-6058（2020）17-0021-03

《現(xiàn)代漢語(yǔ)詞典》將“悟性”解釋為“作為主體的人對(duì)事物的分析和理解能力”.在數(shù)學(xué)學(xué)科，“悟性”包括人對(duì)數(shù)理知識(shí)的認(rèn)知、洞察、類(lèi)比、思辨、理解等能力.其中理解力、分析力為悟性的關(guān)鍵核心.因每個(gè)學(xué)生的成長(zhǎng)背景、知識(shí)積累、智力發(fā)育不同，其悟性高低也各有不同.悟性高的學(xué)生能快速抓住問(wèn)題的要素和條件，且能舉一反三、觸類(lèi)旁通，達(dá)到事半功倍的效果.悟性低的學(xué)生，對(duì)數(shù)理的隱含條件、數(shù)理邏輯難以厘清，需要教師去引導(dǎo)、培養(yǎng)和發(fā)掘.事實(shí)上，學(xué)生出現(xiàn)解題困難關(guān)鍵是他們對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)缺乏“悟性”，即認(rèn)識(shí)偏差、理解不到位等.就初中數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)而言，悟性是人們?cè)跀?shù)學(xué)活動(dòng)中，對(duì)研究的對(duì)象，憑借類(lèi)比、遷移、想象等手段，觸發(fā)靈感、引發(fā)領(lǐng)會(huì)，繼而解決疑難的一種思維能力，而且這種能力有利于發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)造性思維，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).下面就怎樣引領(lǐng)學(xué)生走進(jìn)數(shù)學(xué)“悟”的世界，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力談自己一些粗淺的認(rèn)識(shí).

一、“生活化”誘思啟悟

所謂數(shù)學(xué)“生活化”情境，是指在數(shù)學(xué)教學(xué)中從學(xué)生生活背景和生活經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，把教學(xué)內(nèi)容“生活化”，把生活中遇到的問(wèn)題“數(shù)學(xué)化”，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)與生活知識(shí)的融通.這樣源于生活的數(shù)學(xué)教學(xué)，避免了抽象的說(shuō)教，教學(xué)能貼近學(xué)生生活實(shí)際，有利于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，啟發(fā)學(xué)生的“悟性”.孔子曾經(jīng)說(shuō)過(guò)：“小疑小悟，大疑大悟.”可見(jiàn)，“疑”是“悟”的動(dòng)因和起點(diǎn).問(wèn)題是思維的出發(fā)點(diǎn).在教學(xué)中引入“生活化”的情境，創(chuàng)設(shè)誘人的疑問(wèn)、扣人心弦的懸念，能激發(fā)學(xué)生的求知欲望，促使他們?nèi)シe極思考、主動(dòng)探索，在釋疑過(guò)程中，逐步進(jìn)入“悟”的境界，在新課導(dǎo)入時(shí)，可分步設(shè)疑，環(huán)環(huán)相扣，由淺入深，讓學(xué)生逐漸領(lǐng)悟新知識(shí).

[例1]講解三角形全等判定定理AAS時(shí)，提出問(wèn)題：

（1）調(diào)皮的小明用紙板擋住了兩個(gè)三角形的餅干一部分（如圖1和圖2），你能畫(huà)出這兩個(gè)三角形的餅干嗎？每個(gè)人面出的三角形餅干都一樣嗎？

（2）粗心的小明不小心將一塊三角形玻璃摸具（如圖3）打碎了，他是否可以只帶其中的一塊碎片到商店去，就能配一塊與原來(lái)一樣的三角形模具呢？如果可以，帶哪塊去合適？

由生活情境人手，讓學(xué)生動(dòng)手操作，想想有沒(méi)有辦法把原來(lái)的三角形重新畫(huà)出來(lái)呢.學(xué)生產(chǎn)生了疑問(wèn)，然后從問(wèn)題出發(fā)得出判定定理.這樣做，引起了學(xué)生的興趣，提高了學(xué)生動(dòng)手、動(dòng)腦的能力，從而悟出三角形全等判定定理ASA.數(shù)學(xué)教學(xué)的最終日的就是回到生活，為生活服務(wù).在上面的解析中，教師將數(shù)學(xué)通過(guò)“餅干”“玻璃摸具”而不是強(qiáng)調(diào)“三角形”，讓學(xué)生看似在解決餅干和三角形玻璃的生活化問(wèn)題，實(shí)際上是完成三角形全等任務(wù).這樣，“生活化”情境可以把學(xué)生學(xué)習(xí)內(nèi)容植入到生活中，也可以將學(xué)到的知識(shí)應(yīng)用到實(shí)際生活問(wèn)題的解決上來(lái)，體現(xiàn)了學(xué)習(xí)生活“知行合一”.

比如，在《三角形的相似》教學(xué)時(shí)，教師應(yīng)該充分利用學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)，從學(xué)生已有的生活經(jīng)驗(yàn)和數(shù)學(xué)的實(shí)際出發(fā)，對(duì)教材內(nèi)容、沒(méi)計(jì)進(jìn)行生活化處理.教師可以從學(xué)生生活中熟悉的籃球架、紅領(lǐng)巾、自行車(chē)車(chē)架、橋架等引出三角形，再讓學(xué)生通過(guò)“推拉”等實(shí)踐活動(dòng)認(rèn)識(shí)三角形的相似性，并對(duì)其“放大”或“縮小”來(lái)論證其相似和全等.并運(yùn)用它來(lái)解決一些實(shí)際生活問(wèn)題.如用“三角形的穩(wěn)定性”，給椅子加上木檔子形成三角形，從而使椅子穩(wěn)當(dāng)起來(lái).這樣讓學(xué)生感到生活中處處有數(shù)學(xué)，體會(huì)到了數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系.

教師要從多方面“找”生活素材，讓學(xué)生到生活中“找數(shù)學(xué)”，真切感受“數(shù)學(xué)來(lái)源于生活”.事實(shí)上，所有的學(xué)生問(wèn)題的解決都可以用“生活化”的情境完成，用生活中的實(shí)例來(lái)進(jìn)行求證，從而給學(xué)生一種更有生活氣息、更有興趣的體驗(yàn)，使他們的“悟性”建立在自身的體驗(yàn)和實(shí)踐中.

二、“多元化”發(fā)散頓悟

學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中，由于對(duì)知識(shí)的理解掌握不夠，在應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)的過(guò)程中，往往從單一角度觀(guān)察問(wèn)題、解決問(wèn)題，這時(shí)就會(huì)發(fā)生一些“漏解”的現(xiàn)象.

[例2]如圖4，已知直線(xiàn)a和直線(xiàn)外一條線(xiàn)段BC，在直線(xiàn)a上確定一點(diǎn)P，使△BCP為以B為底角頂點(diǎn)的等腰三角形.（尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡）

許多學(xué)生完成此題時(shí)，往往只作出一個(gè)點(diǎn)P就結(jié)束了，不能很好地理解當(dāng)△BCP為以B為底角頂點(diǎn)的等腰三角形時(shí)，需要分成兩種情況分析.（1）△BCP是以C為頂角頂點(diǎn)的等腰三角形（CB=CP），此時(shí)我們需以C為網(wǎng)心，CB長(zhǎng)為半徑畫(huà)圓弧，網(wǎng)弧與直線(xiàn)a的交點(diǎn)就是P點(diǎn).（2）△BCP是以P為頂角頂點(diǎn)的等腰三角形（PB=PC），此時(shí)我們需畫(huà)BC的垂直平分線(xiàn)，垂直平分線(xiàn)與直線(xiàn)a的交點(diǎn)就是P.

這種“漏解”現(xiàn)象，其實(shí)就是學(xué)生思維單一化的表現(xiàn)，往往會(huì)束縛思維的拓展，導(dǎo)致學(xué)生數(shù)學(xué)悟性受阻，甚至限制學(xué)生解題能力的提高.因此，創(chuàng)設(shè)“多元化”思維情境，多角度轉(zhuǎn)換顯得尤為重要.

“多元化”思維既可以跳離原定思維軌跡，挖掘和翻新出更多的數(shù)學(xué)信息，也可以接通多方位的釋疑思路，頓悟出題設(shè)的實(shí)質(zhì).在教學(xué)中加強(qiáng)一題多解、一問(wèn)多答的訓(xùn)練，溝通代數(shù)和幾何，厘清它們之間的聯(lián)系，培養(yǎng)學(xué)生多角度、多方位探求問(wèn)題的習(xí)慣，促進(jìn)思維多層次、全方位發(fā)散，是發(fā)散中頓悟出解題的關(guān)鍵.這種以實(shí)踐探究為載體，“多元化”情境方式，有利于學(xué)生數(shù)學(xué)悟性的提高，引領(lǐng)他們的思維走向更廣闊的時(shí)空.

[例3]兩邊和任一邊上的中線(xiàn)對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等嗎？

學(xué)生看到問(wèn)題后面出了各種圖形，但很少有學(xué)生能概括全面.這時(shí)我們就需要幫助學(xué)生多元化歸納整理出各種情況.

第一種：如圖6、圖7，AB=DE，AC=DF，BC和EH分別是△ABC和△DEF的中線(xiàn)，且BG=EH，求證：△ABC=△DEF.

這種情況討論的是當(dāng)兩邊和其中一條相等的邊上的中線(xiàn)對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形是否全等.完成這種情況，不需要添加任何輔助線(xiàn)，只要先證明△ABG≌△DEH得到∠A=∠B，就可以完成△ABC≌△DEF的證明了.

第二種：如圖8、圖9，AB=DE，AC=DF，AP和DQ分別是△ABC和△DEF的中線(xiàn)，且AP=DQ，求證：△ABC≌△DEF.

這種情況討論的是當(dāng)兩邊和其中一條不相等的邊上的中線(xiàn)對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形是否全等.

我們需要通過(guò)倍長(zhǎng)中線(xiàn)法構(gòu)造全等的三角形（△ABM≌△DEN）后，再去證明△ABC≌△DEF.

完成例題后，我們還可以利用變式進(jìn)行一題多變，培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性思維能力，增強(qiáng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和創(chuàng)新能力，發(fā)展學(xué)生邏輯推理的核心素養(yǎng).

變式1：如果把原題中的“任一邊上的中線(xiàn)對(duì)應(yīng)相等”改為“任一個(gè)內(nèi)角的角平分線(xiàn)對(duì)應(yīng)相等”，那么這兩個(gè)三角形還全等嗎？

變式2：如果把原題中的“任一邊上的中線(xiàn)對(duì)應(yīng)相等”改為“任一邊上的高對(duì)應(yīng)相等”，那么這兩個(gè)三角形還全等嗎？

通過(guò)本例題的探究與變式，強(qiáng)化以知識(shí)經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ)，以問(wèn)題為載體，啟發(fā)學(xué)生判斷、推理、建構(gòu)等“多元化”思維，并在問(wèn)題的解決過(guò)程中，讓學(xué)生更多領(lǐng)略源題的類(lèi)比、拓展、延伸，還要讓學(xué)生在自我反思評(píng)價(jià)的過(guò)程中，加深對(duì)錯(cuò)誤的認(rèn)識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生思維的批判性和嚴(yán)謹(jǐn)性，從而激活思維，發(fā)展素養(yǎng)，實(shí)現(xiàn)頓悟.學(xué)生由此悟出的結(jié)論才理解得透徹，掌握得牢固.

三、類(lèi)比聯(lián)想促領(lǐng)悟

類(lèi)比來(lái)源于相似，相似的對(duì)象在某些方面彼此一致，相互聯(lián)系、相互滲透.類(lèi)比、聯(lián)想比比皆是，不同的命題、定理之間類(lèi)比，還有公式、方法之間相似類(lèi)比，因而在數(shù)學(xué)中重視創(chuàng)設(shè)類(lèi)比聯(lián)想的情境，就可以調(diào)動(dòng)學(xué)生大腦中貯存的相似問(wèn)題的解題策略，誘發(fā)悟性，學(xué)生獲悟后通過(guò)構(gòu)思設(shè)計(jì)，最終獲得準(zhǔn)確而清晰的解題途徑和方法.類(lèi)比聯(lián)想過(guò)程就是悟性的產(chǎn)生、運(yùn)作的過(guò)程，也是思維逐步深化的過(guò)程.這樣不僅可以區(qū)分兩者的不同點(diǎn)，還可以讓學(xué)生領(lǐng)悟出知識(shí)的真正內(nèi)涵，體會(huì)轉(zhuǎn)化數(shù)學(xué)思想.

[例4]如圖12，已知△ABC，∠BAC=90°. AB=AC.BD⊥l.CE⊥l.問(wèn)：BD、CE、DE有何數(shù)量關(guān)系？

變式1：如圖13，已知△ABC，∠BAC=∠BDA=∠AEC.AB=AC.BD、CE、DE有何數(shù)量關(guān)系？

變式2：如圖14，已知△ABC.∠BAC= ∠BDA=∠AEC.AB=AC，BD、CE、DE有何數(shù)量關(guān)系？

變式3：如圖15，已知△ABC.∠BAC=90°，AB=AC，BD⊥I，CE⊥I，BD、CE、DE有何數(shù)量關(guān)系？

變式4：如圖16，已知△ABC，∠BAC= ∠BDF=∠DEC.AB=AC，BD、CE、DE有何數(shù)量關(guān)系？

變式5：如圖17，已知△ABC，∠BAC=∠BDF=∠DEC.AB=AC.BD、CE、DE有何數(shù)量關(guān)系？

此題既有∠BAC度數(shù)的變化，從直角變成銳角再變成鈍角，又有直線(xiàn)l與△ABC的位置變化.我們要培養(yǎng)學(xué)生細(xì)心觀(guān)察每個(gè)細(xì)節(jié)的習(xí)慣，發(fā)現(xiàn)△ABD≌△CAE始終成立，從而研究BD、CE、DE的數(shù)量關(guān)系就變得簡(jiǎn)單了.通過(guò)變式，讓學(xué)生歸納類(lèi)比獲得猜想，弄清本質(zhì)屬性，提高想象力，促進(jìn)數(shù)學(xué)悟性的發(fā)展.通過(guò)上述例題，我們知道平時(shí)需引導(dǎo)學(xué)生仔細(xì)觀(guān)察，比較問(wèn)題的相似性和內(nèi)在聯(lián)系，由表及里抓本質(zhì)，實(shí)現(xiàn)知識(shí)的遷移.這樣利用歸納、類(lèi)比等手段，引發(fā)學(xué)生的猜想，可使學(xué)生躍過(guò)常規(guī)思維步驟，直接感受和領(lǐng)悟問(wèn)題的實(shí)質(zhì)，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、直觀(guān)想象、數(shù)學(xué)建模等核心素養(yǎng).

在培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)悟性的過(guò)程中，還要教會(huì)學(xué)生“悟”的方法：善思、觀(guān)察、回味、反省.只有這樣，數(shù)學(xué)悟性才能穩(wěn)步發(fā)展，形成良好的思維品質(zhì).培養(yǎng)數(shù)學(xué)悟性，發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，既要潛移默化，又需持之以恒的訓(xùn)練，更要不斷探索.我們要讓學(xué)生在課堂中不僅學(xué)習(xí)知識(shí)，還要學(xué)習(xí)思想方法，引導(dǎo)學(xué)生更好地學(xué).

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（責(zé)任編輯 黃桂堅(jiān)）