徐怡紅 劉桐

[提要] 外匯期權(quán)是從西方金融市場(chǎng)興起，在外匯期權(quán)還未正式成為我國(guó)金融市場(chǎng)上的投資產(chǎn)品的時(shí)期，國(guó)內(nèi)學(xué)者主要研究外匯期權(quán)的估價(jià)和風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避兩個(gè)方面，目前看來，這兩個(gè)方面的研究的確格外重要。本文在國(guó)內(nèi)學(xué)者的研究基礎(chǔ)上主要對(duì)外匯期權(quán)的定價(jià)方法進(jìn)行研究，應(yīng)用Black-Scholes期權(quán)定價(jià)模型和模糊三叉樹模型，將兩者的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比分析，為投資者風(fēng)險(xiǎn)計(jì)算提供借鑒。

關(guān)鍵詞：外匯期權(quán);Black-Scholes外匯期權(quán)定價(jià)模型;模糊三叉樹模型;定價(jià)

中圖分類號(hào)：F830.92 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

收錄日期：2020年3月31日

一、引言

近幾年金融市場(chǎng)快速發(fā)展，隨之而來的是金融市場(chǎng)上呈現(xiàn)出高風(fēng)險(xiǎn)性和不確定性，開始思考如何正確評(píng)估衍生產(chǎn)品的風(fēng)險(xiǎn)已成為企業(yè)界和學(xué)術(shù)界不能忽視的重大問題。外匯期權(quán)作為一個(gè)新興風(fēng)險(xiǎn)管理工具，有巨大的財(cái)務(wù)杠桿作用，同時(shí)它還可以用以套期保值、回避風(fēng)險(xiǎn)，所以使外匯期權(quán)的價(jià)格量化在外匯期權(quán)研究中占據(jù)舉足輕重的地位。本文以外匯期權(quán)產(chǎn)品為例，結(jié)合外匯期權(quán)的特點(diǎn)，運(yùn)用Black-Scholes期權(quán)定價(jià)模型和模糊三叉樹模型主要對(duì)歐式看漲期權(quán)進(jìn)行估價(jià)和分析，旨在尋找一個(gè)擬合程度較高的外匯期權(quán)定價(jià)模型，為投資者和風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避者提供參考。

二、外匯期權(quán)定價(jià)模型

（一）Black-Scholes外匯期權(quán)模型。本文中使用的是在原始的Black-Scholes模型，即用以計(jì)算股票期權(quán)價(jià)格的標(biāo)準(zhǔn)Black-Scholes模型的基礎(chǔ)上，結(jié)合外匯期權(quán)自身特點(diǎn)進(jìn)行改進(jìn)的外匯期權(quán)定價(jià)模型。外匯期權(quán)的標(biāo)的資產(chǎn)——外匯被視為一種支付連續(xù)紅利的股票，其中，外幣的無風(fēng)險(xiǎn)利率等同于股票收益率。在此基礎(chǔ)上，對(duì)基本公式中原有的“支付連續(xù)紅利”的假設(shè)進(jìn)行修改，即可獲得用于計(jì)算看漲和看跌外匯期權(quán)的Black-Scholes期權(quán)定價(jià)模型，此模型遵循以下假設(shè)：（1）市場(chǎng)為有效市場(chǎng);（2）不存在無風(fēng)險(xiǎn)套利機(jī)會(huì);（3）市場(chǎng)無摩擦，即不存在稅收和交易傭金等;（4）不存在賣空機(jī)制;（5）期權(quán)為歐式期權(quán)，到期日前不可行權(quán);（6）有效期內(nèi)，無風(fēng)險(xiǎn)利率已知且為常數(shù);（7）須為連續(xù)資產(chǎn)交易，資產(chǎn)價(jià)格也是連續(xù)的;（8）不支付現(xiàn)金股息和紅利;（9）收益率服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布。這一假設(shè)對(duì)于絕大部分金融資產(chǎn)的價(jià)格波動(dòng)都適用。

其具體表達(dá)式如下：

其中，C和P分別表示看漲期權(quán)和看跌期權(quán)的價(jià)格，N是正態(tài)分布函數(shù)，S是外匯匯率，t是到期時(shí)間，σ表示波動(dòng)率，X表示外匯期權(quán)執(zhí)行價(jià)格，r表示國(guó)內(nèi)無風(fēng)險(xiǎn)利率，rf代表他國(guó)無風(fēng)險(xiǎn)利率。

（二）模糊三叉樹外匯期權(quán)定價(jià)模型。在過去很長(zhǎng)一段時(shí)間內(nèi)精確數(shù)學(xué)及隨機(jī)數(shù)學(xué)在描述自然界多種事物的運(yùn)動(dòng)規(guī)律中，占據(jù)著主要地位也獲得顯著效果。但實(shí)際上，在客觀世界中是普遍存在著大量的模糊現(xiàn)象的。在過去，人們對(duì)它避而不談，然而，隨著現(xiàn)代科技產(chǎn)出的系統(tǒng)日益復(fù)雜化，模糊性總是伴隨著復(fù)雜性出現(xiàn)，令人不可忽視。隨后模糊理論在各個(gè)領(lǐng)域的應(yīng)用興起，同時(shí)也漸漸推動(dòng)了數(shù)學(xué)家對(duì)模糊數(shù)學(xué)的深入研究。

隨著模糊數(shù)學(xué)理論的發(fā)展，Y.N.Shang應(yīng)用模糊數(shù)學(xué)的觀念和方法，在二叉樹模型的基礎(chǔ)上，提出了模糊二叉樹模型，在此之后Boyle提出模糊三叉樹模型的基本原理，見圖1。（圖1）

對(duì)于任何時(shí)段，股票價(jià)格向上“up”、向下“down”和水平“horizontal”跳動(dòng)的概率分別為：

根據(jù)以上，在一階段模糊三叉樹模型中可求得期權(quán)價(jià)格：

其中，r為無風(fēng)險(xiǎn)利率， u為股價(jià)上行乘數(shù);d為股價(jià)下行乘數(shù);C為看漲期權(quán)現(xiàn)行價(jià)格;Cu為股價(jià)上行時(shí)看漲期權(quán)的到期日價(jià)值;Cd為股價(jià)下行時(shí)看漲期權(quán)的到期日價(jià)值。

三、外匯期權(quán)定價(jià)計(jì)算

（一）數(shù)據(jù)的選取及來源。本文擬采用人民幣對(duì)美元匯率作為基礎(chǔ)數(shù)據(jù)對(duì)人民幣對(duì)美元外匯期權(quán)價(jià)格進(jìn)行計(jì)算。文中用于進(jìn)行計(jì)算外匯期權(quán)價(jià)格的數(shù)據(jù)來自于國(guó)家外匯管理局的官方網(wǎng)站、萬德數(shù)據(jù)庫以及網(wǎng)絡(luò)上可以查詢到的通用數(shù)據(jù)。

即期匯率S：即期匯率引用2019年12月2日國(guó)家外匯管理局網(wǎng)站發(fā)布的即期匯，分別為：人民幣兌美元的匯率為7.02。

執(zhí)行匯率X：本文參照美國(guó)制定執(zhí)行匯率的方式將執(zhí)行匯率假定為如下數(shù)據(jù)。人民幣對(duì)美元每月到期的看漲外匯期權(quán)的執(zhí)行匯率為7.00，7.01，7.02，7.03。

到期期限T：2020年1月2日到期的期限為T=1/12=0.0833，2020年2月2日到期的期限為T=2/12=0.1667，2020年3月2日到期的期限為T=3/12=0.25。

波動(dòng)率σ：根據(jù)波動(dòng)率的定義可知波動(dòng)率是用來表示標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格波動(dòng)的幅度，即可以用標(biāo)的資產(chǎn)的價(jià)格變化的標(biāo)準(zhǔn)差表示。根據(jù)萬德數(shù)據(jù)庫中查詢到的人民幣對(duì)美元的歷史數(shù)據(jù)計(jì)算得到人民幣對(duì)美元的波動(dòng)率約為4.07%。

本國(guó)無風(fēng)險(xiǎn)利率r：我國(guó)國(guó)內(nèi)無風(fēng)險(xiǎn)利率使用10年期國(guó)債的利率，為 3.22%。

他國(guó)無風(fēng)險(xiǎn)利率rf：遵循國(guó)際規(guī)則，美國(guó)的無風(fēng)險(xiǎn)利率使用的是美國(guó)10年期國(guó)債的利率，為1.82%。

（二）外匯期權(quán)模型定價(jià)結(jié)果

1、基于Black-Scholes期權(quán)模型的外匯期權(quán)定價(jià)結(jié)果（表1）

2、基于模糊三叉樹模型的外匯期權(quán)定價(jià)結(jié)果（表2）

從以上結(jié)果可以做出總結(jié)：對(duì)于看漲期權(quán)來說，其他條件不變時(shí)，其執(zhí)行價(jià)格越高，期權(quán)的價(jià)格就越低;在到期期限和執(zhí)行價(jià)格相同的情況下模糊三叉樹期權(quán)定價(jià)結(jié)果普遍大于Black-Scholes外匯期權(quán)定價(jià)公式計(jì)算出來的價(jià)格。這可能是由于在應(yīng)用Black-Scholes期權(quán)定價(jià)模型時(shí)以某種標(biāo)準(zhǔn)為前提，而這一標(biāo)準(zhǔn)會(huì)導(dǎo)致使用Black-Scholes外匯期權(quán)定價(jià)公式計(jì)算的定價(jià)小于實(shí)際價(jià)格。然而，現(xiàn)實(shí)金融市場(chǎng)中，很多行為造成的偏差無法精確量化，也不存在明確的界限。在研究金融產(chǎn)品定價(jià)時(shí)，可以廣泛引入模糊理論，使用模糊三叉樹模型進(jìn)行金融資產(chǎn)價(jià)格評(píng)估。

四、結(jié)語

外匯期權(quán)作為金融衍生物的后起之秀現(xiàn)已在金融市場(chǎng)中占據(jù)著重要的地位，它的定價(jià)對(duì)其風(fēng)險(xiǎn)計(jì)算有著很大影響。因此，外匯期權(quán)的定價(jià)問題一時(shí)成為學(xué)者們爭(zhēng)相研究的對(duì)象，能從理論與實(shí)踐兩方面對(duì)外匯期權(quán)的價(jià)格進(jìn)行精準(zhǔn)的計(jì)算也愈加重要。Black-Scholes期權(quán)定價(jià)模型是外匯期權(quán)較早期的定價(jià)模型，但是由于現(xiàn)實(shí)市場(chǎng)存在些無法準(zhǔn)確界定的因素，Black-Scholes期權(quán)定價(jià)模型不能完全地反映出外匯期權(quán)的真實(shí)價(jià)格。為此，本文引進(jìn)了模糊三叉樹期權(quán)定價(jià)模型，然后運(yùn)用這兩種模型模擬計(jì)算了人民幣對(duì)外匯期權(quán)的價(jià)格，并對(duì)兩種模型計(jì)算出來的人民幣對(duì)外匯期權(quán)價(jià)格做了一個(gè)簡(jiǎn)單的對(duì)比發(fā)現(xiàn)本文中使用的模糊三叉樹理論計(jì)算的外匯期權(quán)價(jià)格普遍高于使用Black-Scholes模型計(jì)算得到的價(jià)格。然而，由于兩者都是在有效市場(chǎng)的假設(shè)下進(jìn)行計(jì)算，可能存在一些缺陷，在以后引入模糊三叉樹模型進(jìn)行定價(jià)時(shí)，可以考慮運(yùn)用數(shù)學(xué)方法去除有效市場(chǎng)假設(shè)。

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