張梓喬， 雷建平

(武漢理工大學(xué) 交通學(xué)院，湖北 武漢 430063)

0 引 言

近十年來(lái),響應(yīng)面法在模型修正方面的應(yīng)用價(jià)值不斷提高,對(duì)比傳統(tǒng)有限元模型修正方法,響應(yīng)面法以顯示函數(shù)形式表達(dá)了輸入變量與響應(yīng)的關(guān)系,無(wú)需重復(fù)調(diào)用有限元模型,極大的提高了計(jì)算效率,同時(shí)基于統(tǒng)計(jì)分析指標(biāo)進(jìn)行從全局進(jìn)行顯著性參數(shù)篩選,較靈敏度法僅根據(jù)某設(shè)計(jì)點(diǎn)的響應(yīng)變化量來(lái)判斷參數(shù)的影響性更為科學(xué)。目前有部分學(xué)者基于擬合殘差對(duì)響應(yīng)面進(jìn)行改進(jìn)[1],但不同響應(yīng)面殘差大小及數(shù)量級(jí)會(huì)有所不同,部分樣本點(diǎn)雖然擬合殘差較大,響應(yīng)面的擬合卻也已經(jīng)足夠。為判斷樣本點(diǎn)中是否存在響應(yīng)面擬合不足的異常點(diǎn),并增強(qiáng)響應(yīng)面在該點(diǎn)局部的擬合能力,本文基于內(nèi)學(xué)生化殘差值尋找失擬樣本點(diǎn),并在該點(diǎn)引入高斯徑向基函數(shù)重新構(gòu)造響應(yīng)面,結(jié)果表明,改進(jìn)后響應(yīng)面對(duì)所有樣本點(diǎn)擬合均良好,基于改進(jìn)響應(yīng)面修正后的模型滿足實(shí)際工程要求。

1 基于響應(yīng)面的結(jié)構(gòu)有限元模型修正理論

基于響應(yīng)面的有限元模型修正基本原理:選取適當(dāng)?shù)囊蜃兞?在合理的結(jié)構(gòu)參數(shù)范圍內(nèi),通過(guò)試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法選取有代表性的樣本,通過(guò)有限元軟件計(jì)算得到對(duì)應(yīng)的結(jié)構(gòu)響應(yīng)數(shù)值;通過(guò)方差分析等方法,篩選與響應(yīng)值顯著相關(guān)的參數(shù);選取合適的響應(yīng)面函數(shù),對(duì)樣本進(jìn)行響應(yīng)面擬合并進(jìn)行檢驗(yàn);以實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)構(gòu)造目標(biāo)函數(shù),用響應(yīng)面模型替代原有數(shù)值模型進(jìn)行參數(shù)優(yōu)化,得到修正后的參數(shù),最終代回有限元模型得到修正后模型。

1.1 試驗(yàn)設(shè)計(jì)

常用的試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法有正交設(shè)計(jì)(OA)、最優(yōu)設(shè)計(jì)(Opt)、均勻設(shè)計(jì)(UD)、中心復(fù)合設(shè)計(jì)(CCD)及Box-Behnken設(shè)計(jì)(BBD)。在擬合二階響應(yīng)面時(shí),CCD由于其良好的正交性及可旋轉(zhuǎn)性,應(yīng)用最為廣泛。CCD在2k全因子設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)上,增加2k個(gè)坐標(biāo)軸點(diǎn)和n個(gè)中心點(diǎn)(有限元計(jì)算為確定性試驗(yàn),n取1),對(duì)于k個(gè)變量的設(shè)計(jì)共需要2k+2k+1個(gè)樣本點(diǎn),當(dāng)待修正參數(shù)過(guò)多時(shí),該試驗(yàn)方法工作量較大,不適合多參數(shù)的試驗(yàn)設(shè)計(jì)。文中所采用的試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法為D-最優(yōu)設(shè)計(jì)(Opt-D),其回歸模型表達(dá)式如下:

ya=β1f1(xa)+β2f2(xa)+…

+βmfm(xa)+εa,a∈(1,2,…,N)

(1)

式中:εa是服從N(0,σ2)的相互獨(dú)立的隨機(jī)變量;xa是設(shè)計(jì)空間內(nèi)的樣本點(diǎn);f1(xa),f2(xa),…,fm(xa)是設(shè)計(jì)空間內(nèi)的連續(xù)函數(shù);β1,β2,…βm為待估計(jì)參數(shù),其值通常由β1,β2,…βm表示的密集橢球體體積最小值確定。從數(shù)理統(tǒng)計(jì)方面來(lái)看,Opt-D的目標(biāo)為使響應(yīng)面函數(shù)的設(shè)計(jì)參數(shù)樣本估計(jì)方差最小。該法是僅考慮方差而得出的一種準(zhǔn)則,忽略了偏差的影響,但當(dāng)參數(shù)限制在關(guān)注區(qū)域內(nèi)時(shí),該準(zhǔn)則會(huì)顯出很大的優(yōu)越性[2]。

1.2 參數(shù)顯著性檢驗(yàn)

在數(shù)理統(tǒng)計(jì)中,方差分析是研究自變量是否對(duì)因變量有顯著性影響的一個(gè)重要工具,常用的有F檢驗(yàn)法[3],其過(guò)程總結(jié)如下:首先計(jì)算出樣本數(shù)據(jù)中由試驗(yàn)因素引起的偏差平方和SSE和由各個(gè)因素引起的偏差平方和SSA,然后分別除以各自的自由度得到均方殘差(mean-square error,MSE)及均方回歸(mean-square regression,MSR),最終求出F值,其計(jì)算公式如下:

(2)

式中:fA為因素的自由度;fE為試驗(yàn)偏差的自由度。

在求出待檢驗(yàn)參數(shù)的F值后,與臨界值Fα進(jìn)行比較,其中α為置信區(qū)間,表示判斷錯(cuò)誤的概率,常用的判斷標(biāo)準(zhǔn)為:當(dāng)F≤0.01,則因素影響高度顯著;0.01

1.3 響應(yīng)面擬合

常用的響應(yīng)面擬合函數(shù)有以下幾種:多項(xiàng)式函數(shù)、徑向基函數(shù)、多元自適應(yīng)回歸樣條、克里格(Kriging)模型。本文響應(yīng)面以完備二次多項(xiàng)式為基礎(chǔ),在異常點(diǎn)處引入高斯徑向基函數(shù)改進(jìn)局部非線性能力。

完備二次多項(xiàng)式響應(yīng)面函數(shù)表達(dá)式如下所示:

(3)

式中:xi、xj為待修正參數(shù)；k為待修正參數(shù)總數(shù)；β0、βi、βii、βij為各項(xiàng)待定系數(shù)。

徑向基函數(shù)通常定義為空間中的任意一點(diǎn)到某個(gè)中心之間的單調(diào)函數(shù),其結(jié)構(gòu)靈活、形式簡(jiǎn)潔,對(duì)解決非線性問(wèn)題有獨(dú)特的優(yōu)勢(shì),高斯徑向基函數(shù)形式為[4]:

(4)

響應(yīng)面擬合后需對(duì)其精度進(jìn)行檢驗(yàn),常用的響應(yīng)面精度檢驗(yàn)指標(biāo)如下[5]:

(5)

(6)

復(fù)相關(guān)系數(shù)R2和相對(duì)均方誤差RMSE均屬于[0,1],且R2越接近1,擬合精度越高,RMSE越接近0,擬合誤差越小。統(tǒng)計(jì)學(xué)中通常采用內(nèi)學(xué)生化殘差值來(lái)判斷擬合異常點(diǎn),其計(jì)算公式如下:

(7)

式中:s為標(biāo)準(zhǔn)誤差,hii為帽子矩陣H主對(duì)角線元素。若某一點(diǎn)SRSEIDi超出[-3,3]區(qū)間時(shí),可以97%置信度判定為異常點(diǎn)。

1.4 參數(shù)優(yōu)化

有限元模型多目標(biāo)參數(shù)優(yōu)化問(wèn)題可用如下數(shù)學(xué)形式表達(dá)[6]:

minF(x)=min(f1(x),f2(x),…,fn(x))

s.t.gi(x)≤0,i=1,2,…,m

(8)

式中:fi(x)為各變量初始目標(biāo)函數(shù);F(x)為轉(zhuǎn)換后的多目標(biāo)函數(shù);gi(x)為約束函數(shù)。

2 神定河大橋有限元模型修正

2.1 神定河大橋初始有限元模型

神定河大橋?yàn)?6 m+3×120 m+66 m預(yù)應(yīng)力混凝土變截面剛構(gòu)-連續(xù)梁橋,單箱單室截面,橋面寬度為15m。下部結(jié)構(gòu)連續(xù)梁處采用樁柱式墩,剛構(gòu)部分采用雙薄壁墩,橋面鋪裝采用普通瀝青混凝土。設(shè)計(jì)荷載為公路-Ⅰ級(jí),人群荷載為為2.65 kN/m3。箱梁采用C55混凝土,雙薄壁墩采用C40混凝土,質(zhì)量密度均按2 600 kg/m3計(jì)。箱梁、橋墩均采用實(shí)體單元建立,橋面鋪裝部分僅考慮其附加質(zhì)量,不考慮剛度貢獻(xiàn)[7],薄壁墩底部約束全部自由度,墩頂與箱梁固接,箱梁各處支座根據(jù)支座形式對(duì)相應(yīng)節(jié)點(diǎn)施加豎向、橫向、縱向約束。

2.2 響應(yīng)面模型建立

以靜載各工況撓度作為響應(yīng)特征值,以各區(qū)段彈性模量作為待修正參數(shù),取0.8倍初值作為低值、1.3倍初值作為高值,采用D-最優(yōu)設(shè)計(jì)法進(jìn)行試驗(yàn)設(shè)計(jì),代入有限元模型進(jìn)行計(jì)算,A、C、E截面各3個(gè)測(cè)點(diǎn),共得到50個(gè)樣本點(diǎn)。彈性模量分區(qū)示意圖如1所示。

圖1 參數(shù)修正區(qū)間分段圖

采用F檢驗(yàn)法分析各待修正參數(shù)對(duì)靜力響應(yīng)的顯著性影響,計(jì)算各待修正參數(shù)對(duì)各靜力響應(yīng)的顯著性水平P值。為節(jié)省篇幅,后續(xù)僅列給出靜力響應(yīng)面Y1的表達(dá)式及相關(guān)圖表，如圖2所示。

圖2 Y1參數(shù)顯著性檢驗(yàn)圖

有圖2可知,Y1靜力響應(yīng)面共有8個(gè)待修正參數(shù),利用Design-Expert軟件將所有樣本點(diǎn)數(shù)據(jù)擬合原始二次響應(yīng)面,函數(shù)形式如下式所示,擬合后內(nèi)學(xué)生化殘差圖如圖3所示。

圖3 Y1樣本點(diǎn)內(nèi)學(xué)生化殘差圖

Y1=-21.65311+3.08379E1+0.025070E2

+2.70203E3+0.027664E4+0.012308E8

-0.095298E1E3-0.22618E1E1-0.19576E3E3

(9)

由圖3可知,第50號(hào)樣本點(diǎn)內(nèi)學(xué)生化殘差值超限,這表明二次響應(yīng)面對(duì)該點(diǎn)的擬合能力存在缺陷,為改進(jìn)該點(diǎn)局部非線性能力,引入高斯徑向基函數(shù),利用MATLAB對(duì)各待定系數(shù)進(jìn)行重新求解,最終靜力響應(yīng)面Y1函數(shù)表達(dá)式如下式所示,改進(jìn)前后內(nèi)學(xué)生化殘差比較圖如圖4所示。

圖4 Y1響應(yīng)面改進(jìn)前后內(nèi)學(xué)生化殘差比較圖

Y1′=-21.758 3+3.082 7E1+0.027 2E2+

2.748 2E3+0.029 9E4+0.014 1E8-

0.094 5E1E3-0.226 2E1E1 -0.202 2E3E3-

0.048 7e-[(E1-4.615)2+(E2-4.615)2+(E3-4.091)2+(E4-4.615)2+(E8-4.225)2]

(10)

由圖4可知,改進(jìn)后響應(yīng)面內(nèi)學(xué)生化殘差值均落入[-3,3]區(qū)間內(nèi),對(duì)所有樣本點(diǎn)擬合均良好。Y1～Y3響應(yīng)面改進(jìn)前后檢驗(yàn)指標(biāo)見(jiàn)表1。

表1 Y1～Y3響應(yīng)面改進(jìn)前后檢驗(yàn)指標(biāo)比較表

2.3 參數(shù)修正

采用響應(yīng)面模型替代有限元模型,基于靜力響應(yīng)實(shí)測(cè)值構(gòu)造目標(biāo)函數(shù),運(yùn)用改進(jìn)雙鏈量子遺傳算法對(duì)待修正參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化求解,各區(qū)段彈性模量修正后值較初值都有一定增大,修正幅度最大為12.59%,較為符合工程實(shí)際,分析認(rèn)為是預(yù)應(yīng)力結(jié)構(gòu)中配置了大量的預(yù)應(yīng)力鋼筋及普通鋼筋,結(jié)構(gòu)整體剛度有較大的增強(qiáng)。

將修正后的參數(shù)代回有限元模型重新計(jì)算各工況靜力響應(yīng),靜力響應(yīng)最大誤差由12.32%降至3.67%,有限元計(jì)算值與實(shí)測(cè)值吻合較好。筆者用修正后的模型重新計(jì)算豎向前三階頻率,發(fā)現(xiàn)在區(qū)段7彈性模量(區(qū)段7的彈性模量對(duì)A、C、E的9個(gè)撓度測(cè)點(diǎn)基本無(wú)影響)及各區(qū)段質(zhì)量密度均未修正的情況下,頻率最大誤差由9.12%降至3.99%,修正效果也較為理想,后期以修正后的彈性模量建立動(dòng)力響應(yīng)面修正區(qū)段7的彈性模量及各區(qū)段質(zhì)量密度后,發(fā)現(xiàn)質(zhì)量密度變化較小,修正后頻率最大誤差降至1.15%,動(dòng)力修正后的頻率誤差整體較撓度誤差小,分析認(rèn)為頻率測(cè)量誤差較撓度測(cè)量誤差小。

3 結(jié) 論

基于動(dòng)靜力實(shí)測(cè)數(shù)值,采用改進(jìn)響應(yīng)面法對(duì)一座五跨剛構(gòu)-連續(xù)梁橋進(jìn)行了有限元模型修正,通過(guò)在異常點(diǎn)處引入高斯徑向基插值函數(shù),有效地改善了局部的非線性擬合能力,以實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)構(gòu)造目標(biāo)函數(shù)并進(jìn)行參數(shù)優(yōu)化,修正后的結(jié)果與實(shí)測(cè)值吻合較為良好,修正后的有限元模型對(duì)結(jié)構(gòu)的損傷識(shí)別及狀況評(píng)估具有一定的意義。

完備二次響應(yīng)面擬合精度已經(jīng)較高,但最適宜二次響應(yīng)面建立的中心復(fù)合設(shè)計(jì)應(yīng)用于多參數(shù)試驗(yàn)設(shè)計(jì)時(shí),工作量十分巨大,若能在不嚴(yán)重影響其正交性及可旋轉(zhuǎn)性的基礎(chǔ)上適當(dāng)減少樣本點(diǎn),試驗(yàn)設(shè)計(jì)的層次性及響應(yīng)面的準(zhǔn)確度能得到進(jìn)一步改善。