李 陳，巢海燕，侯 偉

（1.中聯(lián)煤層氣有限責任公司，北京100016；2.中石油煤層氣有限責任公司，北京100028）

煤層氣的產能解析解模型基于Warren J E,Root P J（1963）、De Swaan O（1976）等人提出的常規(guī)氣藏雙重介質模型[1-2]；隨后Anbarci K（1990）[3]等人引入Langmuir 等溫吸附方程和Fick 擴散定律來表示滲流過程中的解析吸附過程，從而分析其壓力產量變化情況。在煤層氣藏的解析解模型中，一般考慮裂縫為無限大導流能力，模型中的人工水力裂縫為一條高滲通道，所以可以假設其具有無限大的滲透率，從氣藏流入其中的流體瞬間流入井筒，那么裂縫中每個點的流量相等且流動不產生壓降[4－5]。但是，實際的天然裂縫并非具有無限大的滲透率，考慮裂縫的滲流能力勢必帶來巨大的計算量，從而影響有限導流裂縫模型在實際氣藏開發(fā)中的應用。另外，由于煤層氣藏脆性較大以及吸附氣存在，在生產的過程中，一方面，上覆巖層對基質的壓縮將使得滲透率減小，另一方面，吸附氣的解吸作用將使得基質被壓縮。這2 種現(xiàn)象表現(xiàn)在滲流模型中為滲透率和孔隙度隨著壓力而變化。近年來，大量研究人員研究了基質壓縮效應下煤層氣藏孔深的變化情況，分別提出了孔滲隨壓力變化的函數(shù)，這為煤層氣藏產能評價解析解中考慮基質壓縮效應奠定了基礎。主要的模型有Seidle and Huitt 模型[6]、Palmer and Mansoori 模 型[7]、Shi and Durucan 模 型[8]以 及 常指數(shù)滲透率模型[9]。

1 物理模型

矩形邊界中心1 口壓裂直井，裂縫為有限導流裂縫，氣藏為恒溫均值氣藏，垂直方向滲透率為0，內邊界為定產生產或定壓生產，矩形外邊界為封閉邊界或定壓邊界，氣體擴散和流動分別發(fā)生在基質和裂縫中，擴散主要為非穩(wěn)態(tài)擴散和擬穩(wěn)態(tài)擴散，流動為達西滲流，考慮基質收縮效應。上覆巖層壓縮基質滲透率降低如圖1，吸附氣析出滲透率增加如圖2。

圖1 上覆巖層壓縮基質滲透率降低Fig.1 Permeability decline with overburden compression

圖2 吸附氣析出滲透率增加Fig.2 Permeability increased with gas desorption

2 數(shù)學模型

物質平衡方程：

式中：r 為氣藏徑向半徑，m；p 為壓力，MPa；μ為氣體黏度，mPa·s；Z 為氣體偏差因子；φ 為氣藏孔隙度；cg為氣體壓縮系數(shù)，MPa-1；k 為氣藏滲透率，mD（1 mD=10-15m2）；psc為標準壓力，MPa；T 為溫度，K；Tsc為標準溫度，K；V 為氣體濃度，m3/m3；t 為生產時間，d。

在擴散方式的選擇中，非穩(wěn)態(tài)擴散和擬穩(wěn)態(tài)擴散會導致物質平衡方程右邊出現(xiàn)壓力項，常規(guī)處理方式有2 種：使用原始地層壓力代替，這樣做會給計算帶來比較大的誤差；或者隨著實踐步更新壓力，這樣會把計算量增加到不同計算機無法解決的狀態(tài)。因此選用穩(wěn)態(tài)擴散，再通過引入新的擬時間函數(shù)，可以完美避免這個問題。

引入擬時間函數(shù)：

式中：cg為游離氣壓縮系數(shù)，MPa-1；cd為吸附壓縮 系 數(shù)，MPa-1；VL為Langmuir 體 積，m3/m3；pL為Langmuir 壓力，MPa。

把式（2）代入式（1）得到天然裂縫系統(tǒng)的物質平衡方程為：

式中：Ψ 為擬壓力[10]，MPa2/（mPa·s）。

新的物質平衡方程右邊為常數(shù)，可以減小假設帶來的誤差。另外，這也不會在使用疊加原理的過程中由于基質收縮效應而增大計算量，能夠把計算量降低到普通電腦能夠運算的量級。

封閉外邊界模型的解為：

式中：ΨD～為Laplace 空間中無因次擬壓力；xD為x 方向無因次長度變量；xeD為模型x 方向的無因次長度；s 為Laplace 常量；yD1、yD2為y 方向第一、第二特征長度；xwD為坐標原點至井底x 方向無因次長度；yeD為模型y 方向的無因次長度；εj為煤層氣擴散特征常數(shù)；j 為疊加系數(shù)；h 為儲層厚度，m。

恒壓外邊界模型的解為：

3 裂縫轉換導流因子

在解析解中考慮有限導流裂縫一般會把裂縫離散為n 個小段，假設每段的流量是相同的，然后在每一個時間步需要解1 個含有n+1 個方程的方程組，這樣大大增加了計算量降低了計算速度，為了避免這一問題，可以采用裂縫轉換導流因子將無限導流裂縫的結果轉化為有限倒流裂縫的結果，轉化公式：

式中：～pwD為有限導流裂縫計算結果；～pwDinf為無限導流裂縫計算結果；CfD為裂縫導流因子；～f（CfD）即為導流能力影響函數(shù)。

根據(jù)Riley（1991）[11]的計算結果，導流能力影響函數(shù)可以表示為：

4 結果準確性驗證

4.1 無限導流結果準確性驗證

為了驗證結果的準確性，與經典文獻Anbarci結果進行對比（1990）[3]，Anbarci 模型為無限大氣藏無限導流裂縫，模型把矩形的外邊界取到相對較大的數(shù)，xeD=100 000，yeD=100 000，使其等效為1 個無限大氣藏，裂縫選擇無限導流模式。為了方便對比，轉化為Anbarci 文章中的英制單位。本文解與Anbarci解析解及數(shù)值解對比如圖3（1 psia=6.895 kPa）。

從圖3 能夠看出，相比于Anbarci 的解析解，本文的解法與數(shù)值解的擬合效果更好，與數(shù)值解相比Anbarci 的解析解偏小。

4.2 裂縫轉換導流因子效率與準確性驗證

圖3 本文解與Anbarci 解析解及數(shù)值解對比Fig.3 This paper’s solution is compared with Anbarci analytical solution and numerical solution

為了驗證裂縫導流因子的正確性，采用純解析解模型（離散裂縫為20 段）與加速模型的結果進行對比。選擇矩形邊界模型來對裂縫導流因子進行驗證。裂縫轉換導流因子計算效率對比如圖4。

圖4 裂縫轉換導流因子計算效率對比Fig.4 Comparison of calculation efficiency of fracture conversion conductivity factor

運用裂縫導流轉換因子之后，計算速度得到大幅提升，計算精度下降非常小。對于一個時間步，恒壓邊界的計算時間降低了599 倍，但計算誤差卻只有3.23%；封閉邊界的計算時間降低到了488 倍，計算誤差卻只降低了1.25%，兩者都在工程計算允許精度范圍之類。所以，裂縫導流轉換因子在滿足工程計算精度的前提下，可以大大增加計算速度。

5 實 例

實例單井數(shù)據(jù)來自西澳博文盆地1 口煤層氣井，該井在壓裂的時候反排效果不佳，產生的水力裂縫導流能力不佳，所以必須考慮為有限導流裂縫。巖石力學實驗顯示，實驗樣品具有較為明顯的基質收縮效應；另外，根據(jù)地質資料，該井周圍斷層較多，其基本井控邊界可以等效為矩形邊界，所以，采用考慮基質收縮效應的有限倒流裂縫舉矩形氣藏產能評價模型來對該井的產能進行評價。單井產氣量和累計產氣量擬合情況如圖5，單井壓力擬合情況如圖6。

圖5 單井產氣量和累計產氣量擬合情況Fig.5 Fitting of gas production and cumulative gas production in a single well

圖6 單井壓力擬合情況Fig.6 Single well pressure fitting

通過模型的評價，顯示了較好的擬合效果，其中，單井產量擬合誤差為10.42%，單井累計產氣量擬合誤差為9.6%，壓力擬合誤差為10.34%，誤差均在工程允許的誤差范圍之類，說明該模型對于某些特定的煤層氣藏具有重要的評價意義和指導作用。

6 結 論

1）通過等效無限大模型的對比，相比于經典的解析解，運用Green 函數(shù)解決裂縫模型更加準確，與數(shù)值解的擬合效果更好。

2）煤層氣藏具有強烈的基質收縮效應，在某些井的產能評價中應該考慮，否則會帶來評價的不準確和預測的誤差。

3）考慮基質收縮的矩形煤層氣藏有限導流裂縫壓裂直井產能評價模型能夠較好的擬合某些生產模型，評價結果符合儲層及氣藏基本認識，誤差較小。