（南京航空航天大學(xué)航空學(xué)院機(jī)械結(jié)構(gòu)力學(xué)及控制國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，南京 210016）

激波控制鼓包（Shock Control Bump，SCB）是一種流動(dòng)控制技術(shù)，在減小激波阻力的同時(shí)具有不附加黏性阻力的特點(diǎn)[1]。鼓包的外形極大影響減阻的效果，很多研究者根據(jù)飛行條件研究鼓包的最佳設(shè)計(jì)參數(shù)。Qin等[2]將鼓包分為三維和二維兩種，三維鼓包邊界全貼合于機(jī)翼表面，二維鼓包是部分貼合，比較了兩者的減阻效果。李沛峰等[3]利用CFD 仿真計(jì)算，系統(tǒng)闡述了鼓包的位置、高度和長(zhǎng)度對(duì)激波弱化的影響。

但是固定式鼓包的設(shè)計(jì)參數(shù)，如高度、位置等固定，在無(wú)激波阻力時(shí)鼓包會(huì)破壞機(jī)翼原有的設(shè)計(jì)結(jié)構(gòu)，反而會(huì)增加飛行阻力。Jlinks 等[4]設(shè)計(jì)了一種可變撓度的鼓包，采用一塊0.6mm 厚的鋁制薄板，利用80N 的力驅(qū)動(dòng)器可以產(chǎn)生13mm 的撓度行程，而且可以隨時(shí)根據(jù)飛行條件進(jìn)行撓度的優(yōu)化。聶瑞等[5]提出了形狀記憶合金（Shape Memory Alloy，SMA）鼓包，通過(guò)仿真研究，鼓包升溫時(shí)撓度變大，降溫時(shí)撓度變小，在相變過(guò)程中的撓度變化可達(dá)長(zhǎng)度的4%。溫度驅(qū)動(dòng)式的鼓包相比于力驅(qū)動(dòng)的鼓包，驅(qū)動(dòng)器設(shè)計(jì)更為容易，但是在溫差過(guò)大時(shí)耗能會(huì)很?chē)?yán)重。在飛行器巡航過(guò)程中一般環(huán)境溫度可達(dá)–50℃，如果利用環(huán)境溫度使鼓包為凸起狀態(tài)，而僅在起飛和降落過(guò)程中加熱鼓包使其變平則可以大大減少耗能。因此，一個(gè)升溫?fù)隙茸冃?、降溫?fù)隙茸兇蟮墓陌臃蠈?shí)際應(yīng)用。

SMA 的驅(qū)動(dòng)控制一般采用閉環(huán)控制，其反饋量一般有溫度、位移、電阻3 種。電阻反饋一般用在小型的嵌入式驅(qū)動(dòng)器中，以便于系統(tǒng)的集成[6]。對(duì)驅(qū)動(dòng)位置的控制精度要求高時(shí)，可采用位移反饋[7]。由于絲的精確溫度獲取不易，采用溫度反饋不多見(jiàn)，但對(duì)加熱速率關(guān)心的控制可采用溫度反饋[8]。SMA 的控制策略一般分為有模型控制和無(wú)模型控制。無(wú)模型控制一般是利用PID 控制或結(jié)合智能控制的PID 聯(lián)合控制。Ahn等[9]結(jié)合模糊控制和PID 控制策略，用試驗(yàn)證明了其可以成功地進(jìn)行SMA 絲的位置控制，且效果較單獨(dú)的PID 控制更好。Ahola 等[10]將抗飽和PI 控制與神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制進(jìn)行比較，兩種方法各有優(yōu)缺點(diǎn)。有模型控制即先對(duì)SMA 絲的溫度–位移遲滯效應(yīng)進(jìn)行建模，常采用Preisach 模型[11]和Prandtl-Ishlinskii（PI）模型[7]兩種，然后根據(jù)逆模型進(jìn)行控制。有模型控制和無(wú)模型控制都可以進(jìn)行穩(wěn)態(tài)控制，需要快速跟蹤控制時(shí)適合采用有模型控制，無(wú)模型控制的優(yōu)點(diǎn)在于控制算法較為簡(jiǎn)單，適合在計(jì)算資源不豐富的情況下使用。

驅(qū)動(dòng)器中使用的多為SMA 絲，可以通過(guò)電流來(lái)加熱，響應(yīng)速度快，且散熱容易。SMA 鼓包是板狀材料，只能采用接觸式和輻射式的加熱方式，驅(qū)動(dòng)速度慢，相變導(dǎo)致的宏觀位移變化也比較復(fù)雜，因此板狀SMA 的驅(qū)動(dòng)控制研究較少。SMA 絲作為驅(qū)動(dòng)器一般需要設(shè)計(jì)額外的傳動(dòng)裝置，SMA 鼓包則不需要，SMA 鼓包的優(yōu)點(diǎn)是一體性好，因此對(duì)其進(jìn)行驅(qū)動(dòng)控制研究也有重要的意義。

本文針對(duì)具有雙程記憶效應(yīng)的SMA 鼓包，建立了溫度–撓度的遲滯模型，并用試驗(yàn)驗(yàn)證了應(yīng)用該模型可以提高撓度的控制效果，為SMA 鼓包的驅(qū)動(dòng)控制提供了一種思路，同時(shí)也為驗(yàn)證SMA 鼓包可以應(yīng)用在SCB上打下了基礎(chǔ)。

1 SMA 鼓包簡(jiǎn)介

SMA 鼓包的材料是Ni50.1Ti49.9，半徑60mm，厚度0.55mm，變形區(qū)的半徑為40mm。經(jīng)過(guò)訓(xùn)練可獲得雙程記憶效應(yīng)，即在通過(guò)施加壓力使鼓包產(chǎn)生彎曲，再進(jìn)行高低溫循環(huán)數(shù)10 次，如圖1所示。

關(guān)于訓(xùn)練的詳細(xì)說(shuō)明可參考文獻(xiàn)[12]。將訓(xùn)練好的鼓包安裝在平臺(tái)上，凸起的面朝上，如圖2所示。以鼓包在–20℃時(shí)的中心點(diǎn)位置為零參考點(diǎn)，在外界環(huán)境溫度不變、不施加外載荷的條件下，鼓包的溫度和中心點(diǎn)撓度的關(guān)系如圖3所示，可回復(fù)位移約為1.2mm，占鼓包長(zhǎng)度的1.5%。圖3中曲線的Ⅰ～Ⅱ段和Ⅲ～Ⅳ段是鼓包的相變階段，0～I(xiàn) 段和II～I(xiàn)II 段是鼓包的熱膨脹階段，相變溫度分別為As=50℃，Af=120℃，Ms=62℃，Mf=5℃。

鼓包在真實(shí)的應(yīng)用環(huán)境中會(huì)承受外加載荷并受到環(huán)境溫度的影響。非均勻溫度場(chǎng)會(huì)改變鼓包在升降溫過(guò)程中的撓曲線，但不影響鼓包的最大變形能力[13]。隨著鼓包表面壓強(qiáng)的增加，鼓包的變形性能會(huì)逐漸衰減。對(duì)于一個(gè)0.55mm 厚度的SMA 鼓包，在鼓包的上表面承受4000Pa 壓強(qiáng)時(shí)，鼓包的最大變形能力會(huì)衰減12.5%，衰減之后的變形能力依然可以滿足激波控制的要求[13]。

圖1 SMA鼓包訓(xùn)練示意圖Fig.1 Training diagram of SMA bump

圖2 SMA鼓包的安裝Fig.2 Installation of SMA bump

圖3 SMA鼓包中心點(diǎn)撓度與溫度的關(guān)系Fig.3 Relationship between temperature and deflection of center point of bump

2 SMA 鼓包的遲滯模型

遲滯現(xiàn)象是指系統(tǒng)輸出不僅與當(dāng)前的系統(tǒng)輸入有關(guān)，而且與系統(tǒng)的歷史輸入極值有關(guān)的一類(lèi)現(xiàn)象。具體表現(xiàn)為體統(tǒng)的輸入與輸出并非一一映射關(guān)系。在SMA鼓包中，遲滯現(xiàn)象即表現(xiàn)為溫度與撓度之間的多映射關(guān)系，如圖3所示。

2.1 Preisach理論

Preisach 模型常被用來(lái)描述壓電[14]、SMA 材料[15]的遲滯行為。Preisach 模型由一系列連續(xù)的雙穩(wěn)態(tài)單元組成，如圖4所示。γαβ是一個(gè)基本的遲滯算子，可由矩形狀的環(huán)表示，α和β分別表示輸入的上下切換值，即表示一個(gè)雙穩(wěn)態(tài)，當(dāng)輸入值大于α?xí)r，γαβ值為1，當(dāng)輸入值小于β時(shí)，γαβ值為0。數(shù)學(xué)表達(dá)式可以寫(xiě)作：

式中，μ（α，β）表示密度函數(shù)；u（t）表示輸入量。

假設(shè)一個(gè)系統(tǒng)的輸入量從0 開(kāi)始變化，其Preisach模型的幾何解釋如圖5所示。

三角形表示Preisach 平面，γαβ和（α，β）在三角形內(nèi)具有一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，密度函數(shù)μ（α，β）在內(nèi)部為非負(fù)函數(shù)，在外部取0。當(dāng)輸入量增加到α1時(shí)，其對(duì)應(yīng)的Preisach 平面以α=α1為分界線，S+表示γαβ為1，S–表示γαβ為0。當(dāng)輸入量下降到β1時(shí)，會(huì)產(chǎn)生一條豎直方向的分界線β=β1，此時(shí)S+的面積會(huì)縮小。當(dāng)輸入量增大到α2時(shí)，此時(shí)的分割線為α=α2。由此可發(fā)現(xiàn)規(guī)律，即輸入量上升時(shí)會(huì)產(chǎn)生水平分割線，下降時(shí)會(huì)產(chǎn)生豎直分割線。由此可得，在任意一個(gè)瞬時(shí)，輸出表達(dá)式可以寫(xiě)作：

式（2）表明，Preisach 模型的輸出與三角形S+的動(dòng)態(tài)劃分有關(guān)，即與輸入量的極值有關(guān)。

2.2 數(shù)值實(shí)現(xiàn)

由于式（1）的Preisach 模型是一個(gè)雙積分式，其中基本算子的數(shù)量是無(wú)限的，為了節(jié)省計(jì)算資源和滿足實(shí)時(shí)控制的需求，一般要進(jìn)行離散處理。文獻(xiàn)[16]提供了一種思路，首先定義等價(jià)函數(shù)：

式中，yα是輸入量為α?xí)r的輸出；yαβ是輸入量由α單調(diào)下降到β時(shí)的輸出，又稱(chēng)一次下降曲線。

由圖5中的（b）可得，密度函數(shù)在S+區(qū)域的積分就是輸入量為α1和β1時(shí)的輸出差值。即：

圖6是一個(gè)典型的輸入變化時(shí)的S+區(qū)域的動(dòng)態(tài)劃分，其中圖6（a）表示輸入最終減小為某一個(gè)值u（t），圖6（b）表示輸入最終增加到某一個(gè)值u（t）。S+可以由一系列的Qk組成，表達(dá)式可以寫(xiě)作：

圖4 Preisach 模型原理Fig.4 Principle of Preisach model

圖5 Preisach模型的幾何解釋Fig.5 Geometric interpretation of Preisach model

Qk面積即可以表示為T(mén)（Mk，mk–1）和T（Mk，mk）面積之差：

又因?yàn)椋?/p>

由式（6）、（7）、（8）可得：

由式（2）、（5）、（9）可得：

由圖6（a）可得，當(dāng)輸入量最終增加至某一個(gè)值u（t）時(shí)，有mn=u（t），式（10）可以寫(xiě)作：

若輸入量最終減小到某一個(gè)值u（t）時(shí)，有Mn=mn=u（t），式（10）可以寫(xiě)作：

由以上分析得，可以用一系列離散的的一次下降曲線來(lái)近似表示系統(tǒng)的輸出。

2.3 模型辨識(shí)

通過(guò)2.2 節(jié)的討論，將一節(jié)下降曲線中的端點(diǎn)溫度離散處理，用試驗(yàn)的方式可獲取各個(gè)離散溫度下的一次下降曲線[17]。對(duì)Preisach 平面進(jìn)行以下網(wǎng)格的劃分：

則一共為110 個(gè)網(wǎng)格點(diǎn)，排除α、β的35 個(gè)網(wǎng)格點(diǎn)，實(shí)際需要測(cè)量75 組數(shù)據(jù)。設(shè)鼓包在馬氏體相變結(jié)束溫度以下為負(fù)飽和狀態(tài)，在奧氏體相變結(jié)束溫度以上為正飽和狀態(tài)。從負(fù)飽和狀態(tài)開(kāi)始升溫，分別測(cè)量每個(gè)離散溫度對(duì)應(yīng)的格點(diǎn)上的F（α，β），通過(guò)MATLAB 中的線性插值將網(wǎng)格點(diǎn)細(xì)分，每1℃設(shè)置一個(gè)網(wǎng)格點(diǎn)，可以得到Preisach 平面，如圖7所示。

3 SMA 鼓包的撓度控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)

3.1 PID控制

PID 控制是一種線性控制方法，它根據(jù)目標(biāo)值r（t）和實(shí)際輸出值y（t）構(gòu)成控制偏差e（t），即e（t）=r（t）–y（t），對(duì)偏差e（t）進(jìn)行比例、積分、微分運(yùn)算，將3 種運(yùn)算結(jié)果相加，得到控制輸入u（t）。圖8是PID 控制的原理。

PID 控制在連續(xù)時(shí)間域的表達(dá)式為：

式中，kp為比例系數(shù)；Ti為積分時(shí)間常數(shù)；Td為微分時(shí)間常數(shù)。

數(shù)字控制系統(tǒng)是一種采樣控制，只能根據(jù)采樣時(shí)刻的偏差值計(jì)算控制量，因此式（14）不能直接用于數(shù)字控制系統(tǒng)，需要進(jìn)行離散處理。以一系列的kT（T為周期）代表連續(xù)時(shí)間t，可近似得到以下用于實(shí)時(shí)數(shù)字控制系統(tǒng)的離散化的PID 表達(dá)式：

圖6 Preisach模型的動(dòng)態(tài)劃分Fig.6 Dynamic division of Preisach model

圖7 插值得到的Preisach平面Fig.7 Interpolated plane of Preisach

圖8 PID控制原理Fig.8 Principle of PID control

式中，kp為比例系數(shù)；ki為積分系數(shù)，ki=kp/Ti；kd為微分系數(shù)，kd=kpTd；u（k）為第k次采樣時(shí)控制器輸出；e（k）為第k次采樣時(shí)刻輸入控制系統(tǒng)的偏差值；e（k–1）為第k–1 次采樣時(shí)刻輸入控制系統(tǒng)的偏差值；T為采樣周期。

3.2 控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)

圖9是控制流程的示意圖。

利用PXI 系統(tǒng)搭建了控制平臺(tái)，全部的試驗(yàn)裝置及連接如圖10所示。

傳感器使用熱電偶采集溫度，激光位移傳感器采集位移，兩者通過(guò)相應(yīng)的采集卡將信號(hào)傳輸給控制器。控制器是一臺(tái)計(jì)算機(jī)，在其上運(yùn)行LABVIEW 軟件，對(duì)采集的數(shù)據(jù)進(jìn)行PID 計(jì)算并輸出相應(yīng)控制量，一路通過(guò)PID 計(jì)算得到u1信號(hào)控制加熱，另一路通過(guò)開(kāi)關(guān)量u2控制冷卻。驅(qū)動(dòng)器分為加熱驅(qū)動(dòng)器和冷卻驅(qū)動(dòng)器，分別采用兩根電阻加熱棒輻射加熱和液氮噴氣冷卻。利用采集卡PXIE–4300 采集位移信號(hào)，PXIE–4353采集溫度信號(hào)，其中參與PID 反饋運(yùn)算的是位移信號(hào)，NI–9264 是用來(lái)輸出兩路控制的信號(hào)。

鼓包的LABVIEW 程序中溫度誤差和位移誤差同時(shí)參與PID 計(jì)算，只有兩類(lèi)誤差均為0，才會(huì)停止輸出控制量，防止當(dāng)位移誤差不再變化時(shí)，溫度變化導(dǎo)致熱膨脹產(chǎn)生。圖11是三維鼓包的LABVIEW 控制程序的結(jié)構(gòu)。

4 試驗(yàn)結(jié)果

控制試驗(yàn)僅針對(duì)在外界溫度保持不變（30℃）、鼓包不承受外加氣動(dòng)載荷的條件下進(jìn)行。設(shè)此時(shí)的撓度值為0，根據(jù)圖7的Preisach 平面，按照極值點(diǎn)盡量少的準(zhǔn)則，可根據(jù)目標(biāo)位置確定溫度變化的過(guò)程，如表1所示。圖12是Preisach 平面的動(dòng)態(tài)劃分。

利用Z–N 整定法確定PID 參數(shù)，在試驗(yàn)中記錄撓度和溫度數(shù)據(jù)，撓度和溫度數(shù)據(jù)分別如圖13和14 所示。

圖15展示了控制過(guò)程中撓度和溫度的關(guān)系。階段4 的曲線較其他3 個(gè)階段不平緩，這是由于鼓包表面的冰霜的凝結(jié)與消融過(guò)程所導(dǎo)致。

當(dāng)不考慮溫度與撓度之間的關(guān)系時(shí)，可利用撓度反饋的PID 控制進(jìn)行試驗(yàn)，圖16比較了無(wú)模型控制和有模型控制的效果，有模型控制的穩(wěn)態(tài)誤差和超調(diào)量均有不同程度的減小。

表2展示了有模型控制和無(wú)模型控制過(guò)程中的部分時(shí)域性能指標(biāo)，其中有模型控制的最大相對(duì)誤差為第4 階段的5.17%，無(wú)模型控制的最大相對(duì)誤差為第4 階段的7.33%。

圖9 控制系統(tǒng)的流程圖Fig.9 Flow chart of control system

圖10 試驗(yàn)儀器Fig.10 Experimental apparatus

圖11 LABVIEW程序結(jié)構(gòu)Fig.11 Program structure of LABVIEW

圖12 控制目標(biāo)的Preisach平面動(dòng)態(tài)劃分Fig.12 Dynamic division of Preisach planes for control targets

表1 控制目標(biāo)Table1 Control targets

圖13 撓度隨時(shí)間的變化Fig.13 Deflection change over time

圖14 溫度隨時(shí)間變化Fig.14 Temperature change over time

圖15 撓度與溫度的關(guān)系Fig.15 Deflection vs temperature

圖16 有模型和無(wú)模型控制對(duì)比Fig.16 Comparison of control with and without a model

表2 時(shí)域性能指標(biāo)Table2 Time domain performance index

5 結(jié)論

本文以被動(dòng)式的激波控制鼓包為應(yīng)用背景，提出了具有雙程記憶效應(yīng)的SMA 鼓包，并在不承受外加氣動(dòng)載荷的室溫環(huán)境下對(duì)其進(jìn)行了撓度控制，研究表明：

（1）經(jīng)過(guò)訓(xùn)練后的具有雙程記憶效應(yīng)的SMA鼓包，可實(shí)現(xiàn)通過(guò)控制溫度以改變撓度，可恢復(fù)變形達(dá)到鼓包長(zhǎng)度的1.5%；

（2）利用Preisach 模型可以建立SMA 鼓包溫度—撓度的遲滯模型，得到目標(biāo)撓度和目標(biāo)溫度的對(duì)應(yīng)關(guān)系；

（3）在遲滯模型的基礎(chǔ)上，利用撓度和溫度的雙目標(biāo)PID 控制可以對(duì)鼓包的撓度進(jìn)行精確控制，且比無(wú)模型的單目標(biāo)PID 控制效果更好。