李杰，莫海強

考慮注漿圈情況下的任意形狀隧道滲流場研究

李杰1，莫海強2

(1. 中冶(貴州)建設投資發(fā)展有限公司，貴州 貴陽 550009；2. 中南大學 土木工程學院，湖南 長沙 410075)

對于水下隧道目前多采取“堵水限排”的處理方法，通過注漿和設置排水襯砌來減小隧道滲水量和降低襯砌所承受的水壓。為了適應各種工程建設的需要，非圓形的隧道在工程實際中很常見，但目前對于考慮注漿圈情況下非圓形隧道的滲流場研究卻很少。結合復變函數中的保角變換方法，推導毛洞在注漿圈和襯砌共同作用下水下任意形隧道滲流場的解。并通過FLAC3D本例解相比較，證明了本文的有效性，為實際的工程需要提供了一種快速、準確的方法。

注漿圈；任意形狀；隧道；滲流場；保角變換

對于水下圓形隧道考慮注漿圈和襯砌作用下的滲流場問題，有許多國外學者對其多有研究[1?4]。王秀英等[5]利用豎井理論求出無限空間中高水壓山嶺隧道的滲流場解。杜朝偉等[6]結合復變函數和無限含水層豎井理論求得圓形隧道加注漿圈和襯砌作用下的滲流場。童磊等[7]運用保角變換的方法將地表、隧道邊界和襯砌映射為同心圓區(qū)域，求得考慮襯砌情況下的滲流解，但是沒考慮注漿圈。熊浩等[8]同樣采用復變函數法和流量連續(xù)條件，考慮土層、巖層及注漿圈和襯砌等不同介質下滲流場。應宏偉等[9]利用鏡像法，采用“源?匯”理論，通過滲流場疊加求得考慮注漿圈與襯砌共同作用下的解析解。實際工程中，水下隧道存在許多非圓形隧道注漿加固堵水的情況，因此本章主要對于非圓形水下隧道及其考慮注漿情況下穩(wěn)定滲流場進行分析，采用保角變換方法，推導了非圓情況下滲流場的解，并以橢圓形孔口為例，通過數值模擬加以驗證解的正確性，可為水下任意形狀斷面隧道的排水系統(tǒng)設計提供一定的參考依據。

1 基本假設

計算模型圖如下：假定水面以下介質為圍巖、注漿圈、襯砌。取水面為位勢零面，水面高于地表圍巖的深度為h水平面距地表，為隧道中心埋深，為隧道注漿圈高度的一半，為注漿圈的厚度。

圖1 水下隧道示意圖

作出如下的基本假設：1) 圍巖、注漿圈、襯砌為均勻且各向同性的介質；2) 地下水水源充足不可壓縮，隧道排水不影響現有的地下水位；3) 隧道橫截面為任意形，注漿圈與襯砌的形狀與隧道橫截面形狀一致，縱向上滿足平面應變的條件；4) 滲流服從達西定律，并假設隧道內壁均勻滲水，圍巖內滲流方向以徑向滲流為主。

如圖2中所示，各個面的壓力水頭，0為隧道襯砌內壁的壓力水頭，因為考慮隧道排水，則0=0；1為襯砌與注漿圈交界面的壓力水頭；h為注漿圈與圍巖界面的壓力水頭，h為水面高于地表圍巖的深度，即圍巖表面的壓力水頭。

圖2 各接觸面壓力水頭示意圖

2 基本方程及模型分解

根據水下滲流的連續(xù)性原理，隧道周邊二維穩(wěn)定滲流遵循拉普拉斯方程：

為了求解上式，由于在原平面中求解非常困難，需要通過保角變換，將模型邊界簡化為比較簡單形狀進行求解。層間總水頭的求解，可以根據層間的滲透量相等的原則，所以，可以將圖1的模型分為2部分，第1部分為水平面以下與圍巖和注漿圈的交界面所組成的滲流區(qū)域，第2部分為圍巖和注漿圈的交界面內所組成的滲流區(qū)域，如圖3所示。

3 圍巖滲流場

圍巖中的滲流場可以通過模型的第1部分求解。圖3(a)所示，此時滲流區(qū)域由地表邊界、注漿圈邊界與圍巖組成，其可視為水下隧道洞周邊等水頭的穩(wěn)定滲流問題，所以對圍巖中的滲流場的求解方法與文獻[10]中考慮洞周等水頭條件下的滲流場的方法一致，可以采用文獻[10]的方法根據其具體幾何形狀參數將其映射為矩形的像平面中，可得圍巖內滲流場和滲流量Q。

(a) 圍巖滲流場；(b) 矩形映射

同樣利用保角變換公式：

經過上式變換可將原來在圍巖和注漿圈邊界組成的滲流區(qū)域映射為矩形，其中矩形在方向上范圍為0到r。在像平面中就可以很容易求得勢函數的解φ和圍巖內的滲流量Q：

式中：r為其映射函數所確定的系數，h為圍巖表面的壓力水頭，h為注漿圈與圍巖界面的壓力水頭。

通過聯立3個變換公式可以得到原平面和像平面中坐標點的對應關系的隱函數方程：

通過聯立式(5)和(7)就可以求得返回原滲流平面，圍巖中的滲流場：

4 注漿圈滲流場

此外對于注漿圈內和襯砌內的滲流場可以通過模型的第2部分求解。由于注漿圈、襯砌形狀與隧道形狀一致，可以將其映射為一系列同心圓。為了便于計算，將原平面(平面)上的襯砌、注漿圈通過保角變換映射為像平面上的圓環(huán)結構形式。此時原平面上的區(qū)域3映射為像平面中的3；注漿圈區(qū)域2映射為像平面中的區(qū)域2；襯砌區(qū)域1映射為像平面中的1區(qū)域。同時其邊界1，2和3分別對應映射為同心圓的1，2和3。

(a) Z平面；(b) ζ平面

此時映射函數的一般形式也可以用勞倫級數的表示[79]：

式中：為正實數，它反映隧道孔形的大小；C為復常數，其中=1, 2, 3,…，C反映了隧道橫斷面的形狀，在多數情況下，級數中只需取很少幾項就可以滿足映射精度的工程要求，因為分析的是軸對稱問題，C必為實數。再通過復合型最優(yōu)化技術來確定此時的映射函數。為平面上的點映射為平面上的坐標點，可以用極坐標表示。

對于本章的問題，如圖4，通過上述映射函數，將所對應的圍巖與注漿圈的交界面3映射為半徑=2的圓3，同時，將所對應的注漿圈與襯砌交界面映射為半徑=1的圓，將所對應襯砌與大氣交界面映射為=1的圓。

通過保角變換后，注漿圈在像平面中為圓環(huán)區(qū)域，可以在像平面中求解注漿圈內勢函數的拉普拉斯方程(假設φ為注漿圈內任意一點壓力水頭，為極徑)。

式(1)在像平面可以寫成極坐標形式，在變換之后的圓域中，拉普拉斯方程可化為極坐標下的對稱形式：

根據邊界條件=2時φ=2；=1時φ=1；可以解得勢函數φ，然后積分可得注漿圈滲流量Q。

同理，襯砌內的滲流場計算，根據邊界條件：=1時φ=0=0；=1時φ=1可得：

襯砌滲流量：

同樣可以根據注漿圈內保角變換的變換函數式(9)可知道變換后注漿圈區(qū)域內點位與實際點位的關系，從而可以求出注漿圈中滲流場的解。

根據層間的滲透量相等Q=Q，Q=Q，可得：

聯立上面兩式，就可以得：

則隧道內的滲流量為：

襯砌與注漿圈接觸面的孔隙水壓為：

注漿圈和圍巖接觸面的水壓力為：

式中：r，1，2為特定圖形經過保角變換所得變換函數的系數，當圖形確定則系數就確定了，即可認為是任意圖形的圖形參數。

如果在隧道襯砌后設計排水系統(tǒng)，水只從排水系統(tǒng)排出時，即可以從已知的滲流量反推處襯砌之后的水頭：

由式(21)可知，當排水量0時，襯砌后的水頭為恒定值，與注漿和圍巖滲透系數無關，即隧道采用全封堵模式，采用注漿方式不能分擔襯砌上的外水壓。

5 算例及驗證

對于水下任意孔形隧道考慮注漿作用的滲流場的解也可以通過有限差分FLAC3D來驗證其合理性。對于其形狀特征，本節(jié)以水下橢圓形隧道為例，首先采用計算軟件MATLAB編寫特定孔形的變換公式，進而得到有關形狀的參數，再進行本章解的計算，最后采用數值模擬軟件建立數值模型并計算其數值解與本章解對比。

假設隧道為橢圓形，其幾何模型參數：長軸和短軸分別為=8 m和=5 m，隧道內襯砌厚度為0.3 m，隧道中心埋深為=40 m，水位高于地表h=30 m，如果注漿的話，其注漿圈厚度均勻沿隧道中心增加。根據模型特性與其對稱性建立圖4~5所示的數值模型，為了消除邊界條件影響，故在數值模型方面，取計算寬度共100 m，計算深度為160 m。數值驗證選取的滲流參數：圍巖滲透系數k=1.02× 10?11m2/Pa·sec(10?7m/s)，注漿圈滲透系數k= 1.02×10?12m2/Pa·sec，襯砌滲透系數k=1.02×10?11m2/Pa·sec，孔隙率為0.5，流體體積模量為=2 GPa，流體密度為=103kg/m3。同樣因為是考慮穩(wěn)定滲流，采用單相滲流模式，襯砌內壁設置等水頭0=0的邊界條件，地表邊界根據水位的高度定義水頭為30 m，通過設置不同滲透系數參數分別求解未注漿，注漿厚度=1, 2,…, 10 m情況下滲流場。

圖5 橢圓隧道加注漿圈數值模型

根據隧道幾何形狀，求解此模型下注漿圈為1 m時的2種變換函數的系數。當注漿厚度為一米時，圍巖和注漿圈外邊界、地表邊界形成的一個半無限平面中含埋深40 m、長軸為9 m、短軸為6 m的橢圓，根據[6]的方法求得其變換函數：

當=6時：r=10.615 4，

由注漿圈和襯砌所組成橢圓環(huán)通過式(9)映射成同心圓環(huán)，當襯砌厚度為0.3 m，注漿圈為1 m，其變換可以表示為：

當=6時：2=1.155 3，1=0.958 6，

上式：ζ=ρeiθ，當ρ=r2時，表示此映射函數映射成為注漿圈的外邊界；當ρ=1時，表示此映射函數映射成為注漿圈的內邊界；當ρ=r1時，表示此映射函數映射成為襯砌的內邊界。由圖6可以看出映射圖形(紅虛線)與實際圖形比較，其誤差非常小。

按照相同的方法，可以求出未注漿和注漿厚度=2,3,…,10 m時候的圖形映射函數系數，其圖形參數r，2和1隨注漿圈厚度變化分別有表1給出。

表1 不同注漿厚度下的圖形參數

當具體形狀的隧道的圖形參數求得的話就可以通過本章所推導的公式求得隧道的滲流量，并與數值模擬FLAC3D解作比較，如圖7。

圖7 滲流量與注漿圈厚度關系

由計算結果可知，本文解和數值解基本相等，最大誤差發(fā)生在當未注漿時，本文求得此情況下隧道的滲流量為7.387 6×10?6m3/(m·s)，數值解結果為8.046 8×10?6m3/(m·s)，誤差為8.19%。之后隨著注漿后度增加，兩種算法結果越為接近，但本文解整體偏小于數值解。由上圖可知，通過注漿的方法明顯可以減少水下隧道的滲流量，起到了非常好的堵水效果。有上述的解的結果可知，當注漿圈厚度為7 m時，隧道的滲流量相對于未注漿的時候降低了72.03%，隨后隨著注漿厚度的增加，滲流量的減小值明顯下降，總值趨于不變，說明注漿達到一定厚度之后，再次增加其厚度對隧道堵水效果是不明顯的，對工程來說是不經濟的。

當注漿厚度增加對滲流量的影響不大時，可以考慮注漿材料對其堵水效果的影響。假設襯砌的滲透系數k和圍巖的滲透系數k保持不變?yōu)?0?7m/s，在上述注漿圈厚度為7 m的情況下，分別考慮圍巖滲透系數與注漿圈滲透系數比值=k/k，為=10, 20, …, 100下的滲流量與滲透系數之間的關系，如圖8所示。

圖8 滲流量與圍巖注漿圈相對滲透系數的關系

由圖8可知，在相同注漿量的情況下，隧道滲流量隨著注漿圈滲透系數的減小而減小，當=50時的隧道滲流量(4.905 9×10?7m3/(m·s))只有=10時(2.066 5×10?6m3/(m·s))的23.74%，說明減小注漿圈的滲透系數也可以起到非常好堵水作用。但是隨著其系數持續(xù)減小，滲流量減小速度也會變得緩慢，因此應對應實際工程設計時，應同時考慮注漿圈厚度與滲透系數大小。同時，通過本文解與數值解相比較，本文解整體小于數值解，但是平均誤差僅為3.26%，兩者幾乎吻合，驗證了本文解的正確與合理性。

6 結論

1) 基于文獻[10]的基礎上，再次利用保角變換，根據連續(xù)性原則，推導了毛洞在注漿圈和襯砌共同作用下水下任意形隧道滲流場的解。

2)以水下橢圓隧道為例分析了隧道滲流量與襯砌后水壓力，并通過有限差分FLAC3D模擬了不同注漿圈厚度和滲透性情況下橢圓形隧道數值解與本例解相比較，證明了本文解答的正確性，為求解水下任意形隧道的穩(wěn)定滲流場在考慮注漿情況下提供了一種快速、準確的方法。

3) 對于設注漿圈的水下任意孔形的隧道，只需了解隧道形狀、埋深、和注漿厚度等設計尺寸，通過運用保角變換和最優(yōu)化技術求得對應情況下隧道的圖形參數，就可以求解該設計的隧道穩(wěn)定滲流場，并給出其滲流量和襯砌外水壓力的公式，且結果精確。

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Study on seepage into arbitrary shape tunnel considering grouting ring

LI Jie1, MO Haiqiang2

(1. MCC (Guizhou) Construction Investment Development Co., Ltd, Guiyang 550009, China;2. School of Civil Engineering, Central South University, Changsha 410075, China)

The treatment method of “water blocking and limiting” is adopted in underwater tunnels at present. The water seepage volume of the tunnel and the water pressure of the lining are reduced by grouting and the drainage lining. In order to meet the needs of various engineering constructions, non-circular tunnels are very common in engineering practice. But at present, there are few studies on seepage into non-circular tunnels considering the case of grouting. In this paper, combined with the conformal mapping method, the solution of the seepage into the arbitrary-shape underwater tunnel with the grouting ring and the lining was presented. The comparison with FLAC3Dvalidates the proposed approach which provides a fast and accurate method for engineering requirements.

grouting ring; arbitrary shape; tunnel; seepage; conformal transformation

U45

A

1672 ? 7029(2020)05 ? 1228 ? 07

10.19713/j.cnki.43?1423/u.T20190706

2019?08?07

國家科技重大專項資助項目(2017YFB1201200)

李杰(1980?)，男，貴州貴陽人，高級工程師，從事交通土建工程建設、管理與科研工作；E?mail：1923513209@qq.com

(編輯 蔣學東)