【摘 要】二重積分一般是利用直角坐標或者極坐標進行計算。本文中，筆者通過一道二重積分的例題，發(fā)散思維，給出四種解法，總結四種方法的使用條件和需要注意的地方。

【關鍵詞】二重積分;極坐標;坐標變換

【中圖分類號】G642? 【文獻標識碼】A? 【文章編號】1671-8437（2020）34-0014-02

二重積分是高等數(shù)學中多元函數(shù)積分學的重要組成部分。學習二重積分，需要具備扎實的空間解析幾何基礎和良好的定積分運算能力。在高等數(shù)學課堂教學中，數(shù)學教師一般是利用直角坐標系和極坐標系將二重積分轉化為二次積分進行計算，導致學生思維固化，題目稍微變化就無從下手。尤其是在研究生入學考試中，題目的靈活性使得學生無從應對。本文中，筆者通過一道例題的四種解法，總結二重積分的解題技巧，并且給出每種方法的使用條件和需要注意的地方。

例題：計算積分，其中由不等式所確定。

1? ?利用極坐標系

在二重積分計算中，將直角坐標變換為極坐標的公式為

。

解法1：積分區(qū)域如圖1，是一個圓心在處，半徑為的圓，積分區(qū)域的極坐標方程為。

于是

解法1用的是常規(guī)的極坐標變換，但是計算量比較大，同時需要有扎實的定積分計算功底。該解法涉及定積分的周期公式、三角函數(shù)的和差化積公式和降冪公

式等。

解法2：由可得，令，則積分區(qū)域D的范圍是，故

。

解法2利用的依然是極坐標的變換，只不過出發(fā)點變了，相當于觀察者站在圓心處去觀察積分區(qū)域D，解法1是觀察者站在原點處觀察。所以在解法2中相當于把坐標系平移了，平移以后會發(fā)現(xiàn)積分區(qū)域中兩個積分變量和的上下限都變成了常數(shù)，這樣便大大簡化了計算過程。但是和解法1一樣，這里也利用了三角函數(shù)的定積分公式，。解法2適用于積分區(qū)域是個圓，且圓心不在原點處，轉化后積分上下限可變?yōu)槌?shù)的情況。

2? ?二重積分的換元法

考研大綱中并沒有要求學生掌握二重積分的換元

法[1]，但是在某些情況下，利用換元法能夠很好地進行簡化計算。

解法3：由可得，令，根據(jù)雅可比行列式

，

故利用公式有

。

解法3應用的是二重積分換元法，從計算量上來看，比解法1和解法2要少很多。這里用到了積分區(qū)域的對稱性，換元后，積分區(qū)域D'關于u軸和v軸對稱，所以被積函數(shù)關于v和u是奇函數(shù)的二重積分等于零。實際上，極坐標變換也屬于二重積分的換元法，利用雅可比行列式計算完以后等于。本題中x，y是有關u，v的線性函數(shù)，也稱之為線性變換。

3? ?利用形心公式

設有一平面薄片，在平面上占有區(qū)域，其上

每一點的面密度為。若在上連續(xù)，

且平面上點處有一質量為的質點，則該薄片的質心坐標為：

。

當面密度時，質心坐標變?yōu)樾涡淖鴺恕?/p>

解法4：由于積分區(qū)域關于對稱，所以有，其中

，，因此

。

解法4巧妙地將二重積分的區(qū)域轉換對稱性和形心公式相結合，大大簡化了二重積分的計算[2-5]。這種做法的條件是題目中恰好出現(xiàn)形心公式的一部分，但對公式的掌握要求較高。

二重積分的計算方法有很多種，本文通過一道題的四種解法介紹了極坐標變換，從兩種角度進行變換的技巧，還有換元法中的線性變換以及利用形心公式解題的技巧。當然計算二重積分還有其他方法，如兩個定積分的乘積、分部積分等。每種方法都有各自的特點，學習時要發(fā)散思維，靈活運用方法化簡二重積分。

【參考文獻】

[1]同濟大學數(shù)學系.高等數(shù)學（第七版）[M].北京：高等教育出版社，2014.

[2]全國碩士研究生入學統(tǒng)一考試輔導用書編委會.考研數(shù)學基礎復習全書[M].高等教出版社，2012.

[3]白旭亞，趙微.二重積分的簡便計算[J].大慶師范學院學報，2018（3）.

[4]陳丹丹.簡化積分計算的一類方法[J].赤峰學院學報（自然科學版），2018（8）.

[5]鄭劍平.計算二重積分的幾種簡便方法[J].赤峰學院學報（自然科學版），2019（5）.

【作者簡介】

楊德彬（1982～），女，黑龍江齊齊哈爾人，碩士，副教授。研究方向：應用數(shù)學。