楊吉新， 丁 宇， 吳愛平， 張 朝， 余 飛

(武漢理工大學(xué)，湖北 武漢 430061)

0 引 言

眾所周知,對于斜拉橋來說,斜拉索是其重要的受力構(gòu)件。斜拉索可能在微小的外激勵下誘發(fā)高幅度振動,是因為其質(zhì)量輕、柔度大及阻尼小等特點[1]。然而大幅度振動會對損害橋梁結(jié)構(gòu)的安全性能,對其使用壽命也會造成一定影響。在已有的文獻中大部分學(xué)者認(rèn)為,斜拉索發(fā)生參數(shù)振動的概率與梁體振動激勵頻率有關(guān),當(dāng)拉索的固有頻率在梁體自振頻率附近的區(qū)間時,拉索有很大概率會產(chǎn)生幅度很大的動力響應(yīng),此時發(fā)生的參數(shù)振動被稱為主共振;當(dāng)2倍的拉索固有頻率處于梁體自振頻率的、附近區(qū)間時,拉索也會激發(fā)大振幅的動力響應(yīng),稱為參數(shù)主共振。[2]由此可見,并不是所有拉索都會發(fā)生參數(shù)振動,拉索能否發(fā)生參數(shù)共振與其橋的動力特性密切相關(guān),特別是其固有頻率與全橋豎向振動頻率是否匹配。就實際工程而言,構(gòu)建全橋的振動數(shù)值計算模型來分析索結(jié)構(gòu)參數(shù)振動的發(fā)生概率比較復(fù)雜,本文采用多重RITZ向量法對全橋整體振動頻率與模態(tài)進行分析。

1 工程背景簡介

壽春西路橋位于安徽省六安市裕安區(qū)，包括兩側(cè)橋臺在內(nèi)全長共845m，跨徑布置為3.5m(橋臺)+3×30m(先簡支后連續(xù)組合箱梁)+3×30m(先簡支后連續(xù)組合箱梁)+4×30m(先簡支后連續(xù)組合箱梁)+(108+70)m(混合梁斜拉橋)+4×30m(先簡支后連續(xù)組合箱梁)+4×30m(先簡支后連續(xù)組合箱梁)+4×30m(先簡支后連續(xù)組合箱梁)+3.5m(橋臺)。主梁采用鋼-混凝土混合梁，大懸臂展翅箱型截面是其截面形式；壽春西路橋的主塔為無背索斜塔，大幅增加了副塔剛度，改善了副塔受力，減小了變形。斜拉索效率因其布置方式得到充分發(fā)揮，同時，對橫向傾角較大而又無橫梁的副塔增大了軸向力，降低了橫向彎矩產(chǎn)生的開裂風(fēng)險。塔柱為矩形塔，主塔上塔柱高70m，副塔上塔柱高50m，下塔柱高約18.5m。從順橋向看塔柱呈“V”形，從橫橋向看塔柱呈“Λ”形，8 對斜拉索對稱布置于主跨與邊跨。橋型布置圖如圖1所示。

圖1 壽春西路橋布置圖

全橋設(shè)置24對共48根斜拉索,分別為M1～M8、S1～S8、B1～B8,其中連接主塔與副塔的是M索,使用的是15.2-12型鋼絞線,錨固于副塔,于主塔頂進行張拉,又被稱為“塔間索”;連接副塔與鋼梁的是S索,使用的是15.2-19 型鋼絞線,錨固于鋼梁,于副塔頂進行張拉;連接副塔與混凝土梁的為B索,使用的是15.2-19 鋼絞線,錨固于混凝土梁,于副塔頂進行張拉。

2 建立參數(shù)振動模型

2.1 振動系統(tǒng)的建立

塔索梁耦合振動模型如圖2所示,振動系統(tǒng)由橋塔、斜拉索、梁三個部分組成。在建立振動模型時,將所有因素和條件都列入考慮往往難以實現(xiàn)并且也不合理,為了能夠切實反映斜拉索的振動特性,需要做出以下假設(shè)[3]:

圖2 振動模型

(1)只考慮拉索的抗拉剛度;

(2)拉索的重力垂度曲線為拋物線;

(3)拉索受力均勻,變形服從虎克定律;

(4)只考慮拉索平面內(nèi)振動。

圖2中主要參數(shù)定義為:mc為拉索線密度，kg/m;Lb為梁懸臂長度;L表示拉索上下端直線距離;mb為主梁線密度，kg/m;yc為動位移,表示拉索偏離垂度曲線的距離;v0為垂度作用下拉索偏離原位置的距離;mt為副塔質(zhì)量，kg;kt為副塔側(cè)向剛度。

2.2 拉索振動方程的建立

(1)

初始張力T和動張力Td組成T,當(dāng)靜力平衡時,Td=0,yc=0,拉索的動張力可得:

(2)

由拉索除端部約束外沒有其他外荷載[4]，得:

(3)

式中:H為拉索的靜態(tài)軸向拉力。

聯(lián)立方程得:

(4)

由基本假定1得,yc可表示為:yc(xc,t)=Yi(t)φi(xc)。式中:Yi(t)為拉索振型;φi(xc)為第i階振型。分析Tagata[5]的研究,本文只考慮拉索的一階振型:

φi(xc)=sin(πxc/L)

(5)

考慮模型的邊界條件:yc(0,t)=Ytsinθ,yc(L,t)=Ybcosθ則:

(6)

拉索的動應(yīng)力Td可表示為:

為便于數(shù)值求解,運用Galerkin法,在區(qū)間[0,L]內(nèi)進行積分[6],求解后化簡得拉索振動的常微分方程如下:

A15Yb+A16Yt=0

(8)

各項系數(shù)如下:

2.3 鋼梁振動方程的建立

根據(jù)達朗貝爾原理得,混凝土梁的振動方程為:

(9)

式中:EtIt為梁的彎曲剛度;mb為梁的線密度。

分離變量后得到:

yb(xb,t)=φ(xb)Yb(xb)

(10)

(11)

2.4 副塔振動方程的建立

根據(jù)達朗貝爾原理得,副塔的動力平衡方程為:

(12)

式中:mt為彈簧塊質(zhì)量；ct為橋塔結(jié)構(gòu)阻尼；kt為橋塔側(cè)向剛度。

將式(7)代入式(12)可得:

(13)

式中各項系數(shù)如下:

式中:ηt為橋塔質(zhì)量塊阻尼,ηt=2ξtωtξt為橋塔質(zhì)量塊阻尼比;ωt為橋塔質(zhì)量快的固有頻率,ωt=(ktLc+EA)/mtLc。

將拉索振動方程、鋼梁振動方程、副塔振動方程聯(lián)立得:

(14)

3 參數(shù)振動可能性分析

3.1 全橋模態(tài)分析

運用建模軟件MIDAS-Civil建立壽春西路橋成橋狀態(tài)模型,分析比較多種有限元動力分析方法后,最終采用多重Ritz向量法求出全橋前十階豎向振動模態(tài),與拉索固有頻率相比較,列出所有可能發(fā)生參數(shù)振動的拉索。全橋豎向振動模態(tài)分析結(jié)果見表1。

表1 全橋豎向振動模態(tài)表

3.2 斜拉索基頻計算

表2 拉索參數(shù)表

3.3 拉索基頻與全橋振動頻率的關(guān)系

當(dāng)拉索固有頻率落在全橋的振動頻率±5%的區(qū)間時[1],斜拉索有很大概率發(fā)生大幅度的動力響應(yīng),此時的參數(shù)振動被稱為主共振;當(dāng)拉索固有頻率的2倍落在全橋的振動頻率±5%的區(qū)間時,拉索也有較大概率誘生大幅度的動力響應(yīng),而此時的參數(shù)振動稱為主參數(shù)共振。對比表1和表2可知,容易發(fā)生主共振的拉索有S1、S2、S4、S7、S8;全部S索都易發(fā)生主參數(shù)共振。

4 數(shù)值計算及分析

4.1 參數(shù)振動特性

由于非線性高階常微分方程組的復(fù)雜與煩瑣,本文采用自適應(yīng)龍格-庫塔算法編程求解式(14)。通過有限元軟件算得鋼梁和副塔的參數(shù)如下:

鋼梁線密度Mb=8.9×105kg/m;

彈性模量Eb=3.45×1010Pa;

慣性距Ib=4.4×103m4;

副塔質(zhì)量mt=5.76×106kg。

拉索上端對應(yīng)副塔剛度,通過施加單位荷載求其位移的倒數(shù)算得，計算結(jié)果見表3。

表3 副塔剛度表

在無阻尼的情況下能更好地反映拉索的參數(shù)振動特性,取初始變量Yt=0.001m,Yc=0.001m,Yb=0.001m,求解S6、S7、S8索的參數(shù)振動時程曲線。計算結(jié)果如圖3所示，圖3a、圖3b分別表示拉索S7前500s、前150s主共振的時程曲線，圖3c、圖3d表示拉索S8前500s、150s主共振的時程曲線,圖3e表示S6前500s主參數(shù)共振時程曲線,圖3f表示S6前500s主共振時程曲線。

圖3 時程曲線圖

4.2 結(jié)果分析

由圖3可知,在只有0.001m的小振幅激勵下,S7、S8發(fā)生了大幅度的主共振,最大振幅達到0.18m左右,前500s時程曲線圖可以看出,S7、S8都體現(xiàn)出了明顯的“拍”的現(xiàn)象,這一非線性現(xiàn)象與理論相符[7]。對比S7、與S8可發(fā)現(xiàn),在前500s時程曲線中,S7完成了大約7.5個“拍”,而S8完成了大約12.5個“拍”,且S8的振幅要略小于S7的振幅。將單位時間內(nèi)完成“拍”的次數(shù)定義為“拍”的頻率,那么不難看出,在初始條件都相同的情況下,如果“拍”的頻率越大,那么其振幅就越小。

觀察圖3e、圖3f可以看出,拉索S6發(fā)生了主參數(shù)共振,但S6并沒有發(fā)生主共振,其振幅很小。該結(jié)果表明,它們誘發(fā)的條件是相對獨立的。觀察拉索主共振和主參數(shù)共振的振幅發(fā)現(xiàn),在初始條件相同的情況下,主參數(shù)共振的振幅比主參數(shù)振動的振幅要小一些。在相同條件下,拉索S7發(fā)生主共振時,在500s內(nèi)完成7.5個“拍”,而發(fā)生主參數(shù)共振是僅完成2個“拍”,說明主共振更容易發(fā)生。

5 結(jié) 論

本文以壽春西路橋為背景,建立塔索梁非線性耦合振動模型,為了切實反映拉索的振動性,考慮了拉索垂度效應(yīng)、副塔的剛度以及拉索的傾角等因素。運用自適應(yīng)龍格-庫塔算法求解振動微分方程,運用MATLAB分析拉索振動時程曲線圖,得出以下結(jié)論:

(1)微小的激勵在特定條件下可誘發(fā)拉索發(fā)生大幅度參數(shù)振動,并有“拍”的現(xiàn)象伴隨出現(xiàn)。

(2)在相同的初始條件下,拉索發(fā)生參數(shù)振動,如果振動的“拍”越大,那么其振幅就越小。

(3)導(dǎo)致拉索發(fā)生主共振和主參數(shù)共振的條件是相對獨立的。

(4)在相同的初始條件下,主參數(shù)振動振幅往往要比主共振的振幅要小一些。

(5)在相同的初始條件下,主共振要比主參數(shù)共振更容易誘發(fā)。