劉佳星，張 琦

(重慶師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，重慶 401331)

多目標(biāo)優(yōu)化理論與方法是數(shù)學(xué)規(guī)劃中的重要分支，且在工程管理、航空航天、交通安全等諸多領(lǐng)域都具有十分廣泛的應(yīng)用.對(duì)于多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題的研究已有大量的研究成果[1-3]，其中關(guān)于多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題解的定義是至關(guān)重要的.早期的研究主要集中于精確解的類(lèi)型.而在實(shí)際的工作生產(chǎn)和生活實(shí)踐中，多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題的(弱)有效解的集合可能是空集，但近似解在很弱的條件下都可能存在.因此，對(duì)于多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題近似解的研究是具有十分重要的理論價(jià)值和實(shí)際意義的.近年來(lái)，關(guān)于多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題近似解的相關(guān)研究已有大量的研究成果出現(xiàn)[4-6].特別地，Gutiérrez等[6]利用Co-radiant集定義了多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題的近似有效解和近似弱有效解，并說(shuō)明了此(C,ε)-近似解包括了目前已知的許多ε-近似解的概念作為其特例.

對(duì)多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題進(jìn)行標(biāo)量化刻畫(huà)是求解多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題時(shí)的一個(gè)重要途徑.特別地，1983年Haimes[7-8]提出了著名的ε-約束法，并建立了多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題(弱)有效解的線性標(biāo)量化結(jié)果.2008年Ehrgott和Ruzika[9]進(jìn)一步對(duì)Haimes提出的標(biāo)量化方法進(jìn)行了改進(jìn)，獲得了有效解的線性標(biāo)量化結(jié)果.

受文獻(xiàn)[9-11]等研究工作的啟發(fā)，本文利用改進(jìn)的ε-約束法標(biāo)量化模型進(jìn)一步建立了多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題在Co-radiant集下的(C,ε)-有效解和(C,ε)-真有效解和E-近似解的一些標(biāo)量化結(jié)果.

1 預(yù)備知識(shí)

假定R表示所有實(shí)數(shù)構(gòu)成的集合，Rm表示m-維Euclid空間，0表示m-維零向量.本文考慮如下多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題：

(MOP) minf(x)=(f1(x),f2(x),…,fm(x)),

s.t.x∈X?Rn.

其中fi:X?Rn→R,X是(MOP)的非空可行集.對(duì)任意的1≤i≤m,fi(x)為有上界的函數(shù)，即存在Ui∈R使得fi(x)≤Ui.對(duì)于任意的y,z∈Rm,考慮如下的序關(guān)系：y

本文考慮如下的改進(jìn)的ε-約束法標(biāo)量化模型：

s.t.fi(x)-si≤σi,i≠k,

si≥0,i≠k,

x∈X.

目標(biāo)函數(shù)為第k個(gè)目標(biāo)加上關(guān)于剩余變量si的權(quán)和，其中μi≥0,?i≠k是剩余變量si的權(quán)重；當(dāng)μi=0時(shí)，(SOP)退化為傳統(tǒng)的ε-約束法.

2 主要結(jié)果

利用改進(jìn)的ε-約束法標(biāo)量化模型(SOP)建立了(MOP)的(C,ε)-弱有效解、E-弱有效解、(C,ε)-有效解和E-有效解等系列近似解的標(biāo)量化結(jié)果.

注在定理1中，Co-radiant集C的范圍不能放松至C?Rp.

例1考慮如下的多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題：(MOP)f(x)=(f(x1),f(x2))=(x1,x2),s.t.x∈X={(x1,x2)∈R2|x1=0,-2≤x2≤0}.C={x∈R2|x1+x2≥1}.此時(shí)C為凸的Co-radiant集但C?RP+,取ε=1，μ=(0,1),s=(1,0),則有且所以是(SOP)的-最優(yōu)解，但不是(MOP)關(guān)于C的ε-弱有效解.

例3考慮如下的多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題：(MOP)f(x)=(f(x1),f(x2))=(x1,x2),s.t.x∈X={(x1,x2)∈R2|x1+x2≥0,x1≤0,x2≤1}.C={x∈R2|x1+x2≥1;x1≥0;x2≥0}.令ε=1，μ=(1,1),s=(1,1),此時(shí)有且所以不僅是(SOP)的-最優(yōu)解，還是(MOP)的(C,ε)-有效解.

注文獻(xiàn)[9]在Euclid空間中對(duì)多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題的精確解(命題3.1-4.1、定理3.1-定理4.2)進(jìn)行了標(biāo)量化刻畫(huà)，本文利用Co-radiant集和改進(jìn)集中多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題近似解的定義，定理1-定理3對(duì)多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題(C,ε)-近似解進(jìn)行了標(biāo)量化刻畫(huà)，推論1-推論2對(duì)多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題E-近似解進(jìn)行了標(biāo)量化刻畫(huà).

3 結(jié)語(yǔ)

本文主要利用一類(lèi)改進(jìn)的ε-約束法標(biāo)量化模型研究了多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題幾類(lèi)近似解的一些標(biāo)量化性質(zhì)，給出了近似解與標(biāo)量化問(wèn)題近似最優(yōu)解之間的關(guān)系.關(guān)于多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題及其性質(zhì)研究，特別是多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題的近似解及其線性與非線性標(biāo)量化性質(zhì)還有很多問(wèn)題有待進(jìn)一步深入研究.例如：目前已有的標(biāo)量化模型與方法均含有大量的參數(shù)，這些參數(shù)如何進(jìn)行有效確定是值得深入研究的問(wèn)題；目前已有的各類(lèi)標(biāo)量化模型與方法中均含有大量的參數(shù)，如何提出新的標(biāo)量化模型與方法、實(shí)現(xiàn)用較少的參數(shù)對(duì)多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題各類(lèi)精確解或近似解進(jìn)行等價(jià)刻畫(huà)也是有待突破和解決的問(wèn)題.