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        平行四邊形中的考點(diǎn)分析

        2020-06-06 02:22:04文徐
        初中生世界 2020年18期
        關(guān)鍵詞:對(duì)角線中線中點(diǎn)

        文徐 聰

        (作者單位:江蘇省無(wú)錫金橋雙語(yǔ)實(shí)驗(yàn)學(xué)校)

        平行四邊形是初中數(shù)學(xué)中最重要的基本圖形之一,是學(xué)習(xí)和研究特殊四邊形的基礎(chǔ)。它的概念、性質(zhì)和判定,是中考重點(diǎn)考查的內(nèi)容,考查形式也豐富多樣。

        一、夯實(shí)基礎(chǔ)是根本

        教材中給出了平行四邊形的定義和三種判定方法,都是從四邊形的邊、角、對(duì)角線中選取恰當(dāng)?shù)臈l件得到平行四邊形,但也有一些組合是不能推出四邊形是平行四邊形的。下面以一道例題呈現(xiàn)。

        例1(2018·內(nèi)蒙古呼和浩特)順次連接平面上A、B、C、D 四點(diǎn)得到一個(gè)四邊形,從①AB∥CD,②BC=AD,③∠A=∠C,④∠B=∠D 四個(gè)條件中任取其中兩個(gè),可以得出“四邊形ABCD 是平行四邊形”這一結(jié)論的情況共有( )。

        A.5種 B.4種 C.3種 D.1種

        【分析】能夠識(shí)別平行四邊形的有:(1)兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形(定義);(2)兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形;(3)一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形;(4)兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形;(5)對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形。滿足①②的條件的四邊形可以是等腰梯形,但等腰梯形不是平行四邊形;同理,滿足②③或②④構(gòu)不成平行四邊形。當(dāng)選①③時(shí),四邊形ABCD 為平行四邊形;當(dāng)選①④時(shí),四邊形ABCD 為平行四邊形;當(dāng)選③④時(shí),四邊形ABCD 為平行四邊形。故有3種。故選C。

        【點(diǎn)評(píng)】教材中的基本概念、性質(zhì)與判定是學(xué)習(xí)的根本和基礎(chǔ),只有熟練掌握了,才能靈活運(yùn)用。

        二、關(guān)注平行四邊形的核心要素

        平行四邊形作為一種特殊的四邊形,在邊、角和對(duì)角線方面有許多性質(zhì)。近年來(lái),利用平行四邊形的性質(zhì)作圖的考題也很常見(jiàn),能熟練運(yùn)用平行四邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵。

        例2(2019·江蘇無(wú)錫)我們知道,三角形具有性質(zhì):三條中線相交于一點(diǎn)。請(qǐng)運(yùn)用上述性質(zhì),只用直尺(不帶刻度)作圖。如圖1,在?ABCD 中,E 為CD 的中點(diǎn),作BC的中點(diǎn)F。

        圖1

        圖2

        【分析】研究平行四邊形就是要關(guān)注其基本的要素——邊、角及對(duì)角線。根據(jù)題意:已經(jīng)知道了平行四邊形一條邊上的中點(diǎn),要求另一邊上的中點(diǎn),自然應(yīng)該聯(lián)想到平行四邊形的對(duì)角線的交點(diǎn)。若O 為?ABCD 對(duì)角線的交點(diǎn),這樣在△BCD 中就有了BD 邊和CD邊的中點(diǎn),連接兩條中線BE、CO 得交點(diǎn)M,根據(jù)“三角形的三條中線相交于一點(diǎn)”可知BC 邊上的中線一定過(guò)點(diǎn)M,所以再連接DM并延長(zhǎng),與線段BC的交點(diǎn)即為所求。

        解:連接AC、BD 交于點(diǎn)O,連接EB交AC 于點(diǎn)M,連接DM 并延長(zhǎng)交BC 于點(diǎn)F,F(xiàn)即為所求,如圖2。

        【點(diǎn)評(píng)】平行四邊形的識(shí)別、性質(zhì)與應(yīng)用是近年來(lái)中考的熱門(mén)問(wèn)題,如能正確運(yùn)用平行四邊形的性質(zhì)、判定以及轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想,解題會(huì)變得容易上手。

        三、思考問(wèn)題要全面

        例3(2019·云南)在中,∠A=30°,,BD=4,則的面積等于

        【分析】畫(huà)出符合條件的草圖,不難發(fā)現(xiàn),符合條件的平行四邊形的邊AB有兩種情況。本題涉及九年級(jí)內(nèi)容,同學(xué)們僅作了解即可。

        解:過(guò)點(diǎn)D 作DE⊥AB 于E,∵∠A=30°,∴AE=6。在Rt △DBE中,,∴AB=AE+BE=8,或AB=AE-BE=4,∴平 行 四 邊 形ABCD 的 面 積 為或4×。故答案為或。

        【點(diǎn)評(píng)】由題中給出的∠A=30°,AD=,BD=4 可以看出,在△ABD 中,兩條邊和一個(gè)角是按照“SSA”的順序給定的,這樣的三角形可能不是唯一的,△ABD 存在兩種可能,因此?ABCD 也有兩種情況。如圖3 所示,點(diǎn)B 落在以D點(diǎn)為圓心、DB為半徑的圓上。

        圖3

        四、注重知識(shí)間的聯(lián)系

        例4(2019·福建)在平面直角坐標(biāo)系xOy 中,的三個(gè)頂點(diǎn)為O(0,0)、A(3,0)、B(4,2),則其第四個(gè)頂點(diǎn)是

        圖4

        圖5

        【分析】由題意得出OA=3,由平行四邊形的性質(zhì)得出BC∥OA,BC=OA=3,只需將點(diǎn)B 向左平移三個(gè)單位即可得出結(jié)果。

        解:∵O(0,0)、A(3,0),

        ∴OA=3。

        ∵四邊形OABC是平行四邊形,

        ∴BC∥OA,BC=OA=3。

        ∵B(4,2),

        ∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為(1,2)。

        【點(diǎn)評(píng)】題中明確給出“?OABC”,意思是平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)的順序是確定的,所以有唯一解。但很多時(shí)候會(huì)以另一種方式提問(wèn)。

        變式:在平面直角坐標(biāo)系xOy中,點(diǎn)O(0,0)、A(3,0)、B(4,2),以點(diǎn)O、A、B、C 為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形,則點(diǎn)C 的坐標(biāo)是

        【分析】變式與例題不同之處就是平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)的順序不確定,我們必須對(duì)已知線段進(jìn)行分類討論,以線段AB為例。

        圖6

        解:若線段AB 為平行四邊形的邊,則OC 和AB 平行且相等,由點(diǎn)A 和點(diǎn)B 的坐標(biāo)可知,將點(diǎn)A先向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度,再向上平移兩個(gè)單位長(zhǎng)度即可得到點(diǎn)B,所以點(diǎn)O 和點(diǎn)C 之間一定也是這種平移方式。如果是點(diǎn)O 到點(diǎn)C 按此方式平移,可得點(diǎn)C1坐標(biāo)為(1,2);相反,如果是點(diǎn)C到點(diǎn)O 按這種方式平移,則將點(diǎn)O 向反方向移動(dòng)即可得到點(diǎn)C2(-1,-2),從圖4 到圖5 所示。若線段AB 為對(duì)角線,則線段OC 也是平行四邊形的對(duì)角線,并且具有相同的中點(diǎn)。從點(diǎn)O 到點(diǎn)A,可知點(diǎn)C3的縱坐標(biāo)不變,橫坐標(biāo)為4+3,因此點(diǎn)C3坐標(biāo)為(7,2),如圖6 所示。綜上所述,點(diǎn)C坐標(biāo)為(1,2),(-1,-2),(7,2)。

        【點(diǎn)評(píng)】利用平行四邊形的性質(zhì),可以快速得到第四個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)。這種方法同樣適用于菱形、矩形、正方形存在性的探討。隨著日后學(xué)習(xí)的深入,當(dāng)平行四邊形與其他問(wèn)題相結(jié)合時(shí),越發(fā)可以顯示它的“威力”。

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