杜 煜,李雨青,張秀芳,潘爾順
(上海交通大學(xué) 機(jī)械與動(dòng)力工程學(xué)院, 上海 200240)
隨著現(xiàn)代制造類企業(yè)生產(chǎn)規(guī)模的不斷擴(kuò)大,對(duì)生產(chǎn)系統(tǒng)的穩(wěn)定性和可靠性的要求越來(lái)越高,因此,良好的維護(hù)和更新策略對(duì)于生產(chǎn)系統(tǒng)的健康運(yùn)行有著至關(guān)重要的作用.串行系統(tǒng)是一類常見(jiàn)的生產(chǎn)加工系統(tǒng)(如汽車發(fā)動(dòng)機(jī)5C件生產(chǎn)線),對(duì)于多工序流水生產(chǎn)線,機(jī)會(huì)維護(hù)策略可以有效節(jié)省因設(shè)備維護(hù)產(chǎn)生的停產(chǎn)損失,提高生產(chǎn)的連續(xù)性,故采用機(jī)會(huì)維護(hù)策略進(jìn)行維護(hù),并在維護(hù)策略的基礎(chǔ)上制定系統(tǒng)的更新策略.關(guān)于多設(shè)備系統(tǒng)的維護(hù)策略,許多學(xué)者進(jìn)行了研究.余佳迪等[1]以帶緩存的兩設(shè)備串行系統(tǒng)為研究對(duì)象,考慮上下游設(shè)備同時(shí)故障的情況,構(gòu)建了系統(tǒng)總成本最小的設(shè)備預(yù)防性維護(hù)模型.Lu等[2]針對(duì)具有中間緩沖的多設(shè)備串行系統(tǒng)進(jìn)行了建模優(yōu)化.以上研究均考慮緩存空間,但沒(méi)有考慮設(shè)備退化時(shí)引起的次品率上升的問(wèn)題.陶紅玉等[3]用Gamma分布描述設(shè)備的退化過(guò)程,構(gòu)建了隨機(jī)退化串行系統(tǒng)的機(jī)會(huì)維護(hù)模型,并確定了最優(yōu)檢測(cè)周期,但其結(jié)果是在設(shè)備退化量被定周期連續(xù)監(jiān)測(cè)的條件下求得,且設(shè)備服從同一退化分布,很難與實(shí)際相符.候文瑞等[4]以串行生產(chǎn)系統(tǒng)為研究對(duì)象,采用機(jī)會(huì)維護(hù)策略,利用費(fèi)效比決策系統(tǒng)內(nèi)設(shè)備的維護(hù)更新行為,但在計(jì)算成本時(shí)僅考慮了系統(tǒng)維護(hù)時(shí)的成本,未考慮生產(chǎn)引發(fā)的成本,也未對(duì)維護(hù)閾值進(jìn)行優(yōu)化決策,且其系統(tǒng)可能存在可用度過(guò)低的風(fēng)險(xiǎn).Zhou等[5]通過(guò)最小化系統(tǒng)成本,對(duì)串行系統(tǒng)提出了基于機(jī)會(huì)維護(hù)下的預(yù)防性維護(hù)算法.Xia等[6-8]提出了多特征值模型,在同時(shí)考慮成本及可用度兩個(gè)目標(biāo)函數(shù)前提下,決策設(shè)備最優(yōu)的預(yù)防性維護(hù)周期.通過(guò)設(shè)定維護(hù)時(shí)間窗,動(dòng)態(tài)地利用混聯(lián)系統(tǒng)中的維護(hù)機(jī)會(huì),從而實(shí)現(xiàn)縮減系統(tǒng)成本的目的,并且提出聯(lián)合生產(chǎn)計(jì)劃以及預(yù)防性維護(hù)的調(diào)度問(wèn)題,通過(guò)機(jī)會(huì)維護(hù)方式,降低了系統(tǒng)維護(hù)成本.以上研究的不足之處在于,均未考慮廣義時(shí)間價(jià)值的作用.
在制定設(shè)備的更新策略時(shí),大多數(shù)生產(chǎn)企業(yè)仍然采用以固定的工作年齡、故障次數(shù)或維護(hù)次數(shù)為依據(jù)的傳統(tǒng)策略,主要采用更新過(guò)程定理和平均成本率最低的方法.賈積身等[9]針對(duì)修理工單重休假的可修系統(tǒng),比較了以工作時(shí)間和故障次數(shù)為依據(jù)的更新策略,但現(xiàn)實(shí)中修理工往往會(huì)輪班,不存在休假,故實(shí)際應(yīng)用意義不大.Gao等[10]利用更新過(guò)程理論,研究了具有兩類故障模式(可修和不可修)的單機(jī)系統(tǒng),求出了長(zhǎng)期運(yùn)行單位成本最低的維護(hù)次數(shù),但未考慮系統(tǒng)可用度的變化.Song等[11]研究了受限于δ隨機(jī)沖擊的退化系統(tǒng)最優(yōu)更新策略,將系統(tǒng)維護(hù)時(shí)間和失效機(jī)制分別假設(shè)成幾何過(guò)程和δ沖擊過(guò)程,以長(zhǎng)期運(yùn)行單位成本最低為目標(biāo)求解最優(yōu)維護(hù)次數(shù),但仍未考慮系統(tǒng)可用度的變化.Wang等[12]研究了具有定周期檢測(cè)和隨機(jī)故障的可修-替換系統(tǒng),結(jié)合更新過(guò)程決策使系統(tǒng)成本率最小的檢測(cè)時(shí)間和故障次數(shù),但假設(shè)維護(hù)行為是對(duì)設(shè)備年齡的影響,而不是對(duì)退化狀態(tài)的影響.Zhao等[13]針對(duì)某施工企業(yè)混凝土攪拌車基于網(wǎng)絡(luò)模型,將設(shè)備更新問(wèn)題轉(zhuǎn)化為圖論的最短路徑問(wèn)題,解決了設(shè)備更新方案的選擇問(wèn)題,但是該方法并沒(méi)有考慮不同維護(hù)策略下的改變.Chang[14]提出了工作時(shí)間-故障類型的二元更新策略,并且對(duì)該模型進(jìn)行了二次延展,進(jìn)而給出了延展模型的最優(yōu)預(yù)防性維護(hù)排程.類似地,以上文獻(xiàn)提出的更新策略均未考慮廣義時(shí)間價(jià)值的作用.
設(shè)備的廣義時(shí)間價(jià)值(generalized time value, GTV)指的是隨著技術(shù)進(jìn)步,市面上出現(xiàn)了性能更優(yōu)、效率更高以及經(jīng)濟(jì)性更好的設(shè)備并被廣泛采用,導(dǎo)致企業(yè)當(dāng)前設(shè)備的重置成本降低,使用費(fèi)用相對(duì)變高,所生產(chǎn)商品的競(jìng)爭(zhēng)性下降,最終致使設(shè)備在因老化失效無(wú)法完成規(guī)定功能之前,用新設(shè)備代替舊設(shè)備成為必然,因此縮短了設(shè)備的服務(wù)壽命.目前,針對(duì)設(shè)備具有廣義時(shí)間價(jià)值的問(wèn)題,對(duì)相關(guān)維護(hù)更新策略進(jìn)行數(shù)學(xué)分析的研究尚屬空白.
鑒于此,本文提出了一種全新的考慮廣義時(shí)間價(jià)值的串行退化生產(chǎn)系統(tǒng)維護(hù)更新策略.首先建立設(shè)備層維護(hù)模型,將設(shè)備的維護(hù)時(shí)間看作關(guān)于設(shè)備退化度和維護(hù)次數(shù)的函數(shù),提出退化度恢復(fù)因子;隨后根據(jù)考慮廣義時(shí)間價(jià)值的設(shè)備維護(hù)成本、維護(hù)效果以及設(shè)備可用度決策設(shè)備的維護(hù)更新行為,建立系統(tǒng)層維護(hù)更新模型.算例仿真對(duì)設(shè)備維護(hù)閾值進(jìn)行了優(yōu)化決策,并給出了系統(tǒng)的維護(hù)排程以及各組成設(shè)備的更新時(shí)間,證實(shí)了廣義時(shí)間價(jià)值對(duì)串行退化系統(tǒng)內(nèi)設(shè)備更新時(shí)間的影響.
串行生產(chǎn)系統(tǒng)如圖1所示.系統(tǒng)由n臺(tái)設(shè)備串聯(lián)而成,分別負(fù)責(zé)n道不同的工序.工序之間不設(shè)置緩沖站,且負(fù)責(zé)不同工序的設(shè)備不同.設(shè)Ex為負(fù)責(zé)系統(tǒng)第x道工序的設(shè)備,當(dāng)設(shè)備Ex停機(jī)時(shí),整個(gè)系統(tǒng)停機(jī).采用機(jī)會(huì)維護(hù)策略對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行維護(hù),維護(hù)行為主要包括:預(yù)防性維護(hù),機(jī)會(huì)預(yù)防性維護(hù)(簡(jiǎn)稱機(jī)會(huì)維護(hù)),設(shè)備更新以及設(shè)備機(jī)會(huì)更新.其中預(yù)防性維護(hù)和機(jī)會(huì)維護(hù)均為不完美維護(hù)(如除塵、潤(rùn)滑、更換部分零配件等),只能使設(shè)備的退化狀態(tài)在一定程度上得到恢復(fù),不能使設(shè)備恢復(fù)如初.更新和機(jī)會(huì)更新均為完美維護(hù),即用新設(shè)備替換舊設(shè)備或用新部件替換舊部件,使其恢復(fù)如新.當(dāng)系統(tǒng)運(yùn)行至某一時(shí)刻t,設(shè)備Ex的退化度Fx第i次到達(dá)預(yù)防性維護(hù)閾值DPM,系統(tǒng)須停機(jī)對(duì)設(shè)備Ex進(jìn)行預(yù)防性維護(hù)或者更新.與此同時(shí),對(duì)退化度達(dá)到機(jī)會(huì)維護(hù)閾值DOM的其他設(shè)備進(jìn)行機(jī)會(huì)維護(hù)或者機(jī)會(huì)更新.DPM和DOM可以通過(guò)分析歷史運(yùn)行數(shù)據(jù)得到,也可以通過(guò)設(shè)定目標(biāo)函數(shù)優(yōu)化求得.研究串行生產(chǎn)系統(tǒng)在該機(jī)會(huì)維護(hù)策略下的維護(hù)排程,各組成設(shè)備的更新時(shí)間以及廣義時(shí)間價(jià)值對(duì)設(shè)備更新時(shí)間的影響是本文的主要研究目標(biāo).
圖1 串行生產(chǎn)系統(tǒng)模型Fig.1 Model of series system
假設(shè):
(1) 串行系統(tǒng)中的所有組成設(shè)備在正常工作中的突發(fā)性故障用小修恢復(fù),小修不改變?cè)O(shè)備的退化狀態(tài),僅恢復(fù)設(shè)備功能,且時(shí)間和費(fèi)用很小,可忽略不計(jì).
(2) 串行系統(tǒng)各工序在任意時(shí)刻的生產(chǎn)能力均保持平衡,除設(shè)備維修維護(hù)和更新外,系統(tǒng)無(wú)停機(jī).
(3) 設(shè)串行系統(tǒng)所有組成設(shè)備的生產(chǎn)能力保持不變,設(shè)備生產(chǎn)的在制品中出現(xiàn)次品的概率與該設(shè)備的退化度成正比.
則有:
式中:rx(t)和Fx(t)分別表示設(shè)備Ex在t時(shí)刻的次品率和退化度.
Gamma過(guò)程為隨機(jī)退化過(guò)程提供了有效工具,本文采用Gamma過(guò)程對(duì)設(shè)備的退化進(jìn)行建模.Gamma過(guò)程具有以下特性:
(1)X(0)=0;
(2) {X(t),t≥0}具有獨(dú)立穩(wěn)定的增量;
(3)對(duì)于任意的t>0,Δt>0,
ΔX(t)=X(t+Δt)-X(t)~Ga(αΔt,β)
其中:X(t)為退化量;α為形狀參數(shù),β為尺度參數(shù),滿足α>0,β>0;G(αΔt,β)為Gamma分布密度函數(shù),
G(x|αΔt,β)=
Δt為時(shí)間差;Γ為Gamma函數(shù),且有
為指示函數(shù),當(dāng)x∈(0,∞)時(shí),I(0,∞)(x)=1,其他情況為0.
對(duì)于一臺(tái)設(shè)備而言,當(dāng)其退化量達(dá)到某一事先預(yù)設(shè)的閾值后就會(huì)失效.設(shè)設(shè)備Ex的退化量閾值為dx,在t時(shí)刻的退化量為Xx(t),將設(shè)備Ex在t時(shí)刻的退化度Fx(t)定義為Xx(t)>dx的概率,具體可用下式表示:
(3)
式中:fXx(t)(x)=G(x|αt,β)表示t時(shí)刻設(shè)備Ex退化量的概率分布密度函數(shù).
2.2.1維護(hù)效果 如圖2所示,設(shè)備每次維護(hù)后的退化度應(yīng)不低于設(shè)備前一次維護(hù)后的退化度,引入退化度恢復(fù)因子ε,第i次預(yù)防性維護(hù)對(duì)設(shè)備Ex的維護(hù)效果可表示為
(4)
圖2 設(shè)備退化度演化模型Fig.2 Evolution model of degradation degree
2.2.2維護(hù)時(shí)間 預(yù)防性維護(hù)時(shí)間的長(zhǎng)度通常依賴于F(t),并與設(shè)備已經(jīng)歷的維護(hù)次數(shù)i有關(guān).一般而言,相較于一臺(tái)年輕設(shè)備,維護(hù)一臺(tái)嚴(yán)重老化的設(shè)備需要消耗更多的時(shí)間.因此,設(shè)設(shè)備Ex第i次預(yù)防性維護(hù)的時(shí)長(zhǎng)mx i可表示為
(5)
式中:h,b為維護(hù)時(shí)間參數(shù),且滿足01.h,b可以假定,也可以通過(guò)已有數(shù)據(jù)進(jìn)行函數(shù)擬合求出.
假設(shè)串行系統(tǒng)在ti時(shí)刻有設(shè)備的退化度達(dá)到DPM,系統(tǒng)進(jìn)入第i次停機(jī)維護(hù),引入維護(hù)因子axi判別設(shè)備Ex在第i次系統(tǒng)維護(hù)時(shí)是否需要維護(hù)或者更新:
(6)
式中:ax i=1表示設(shè)備Ex需要進(jìn)行維護(hù)或者更新;ax i=0表示設(shè)備Ex不需要維護(hù)或者更新.再引入狀態(tài)因子ωx i判斷設(shè)備Ex采取的維護(hù)方式:
(7)
式中:ωx i=-1表示設(shè)備Ex停機(jī),ax i=0時(shí)必然有ωx i=-1;ωx i=0表示設(shè)備Ex進(jìn)行更新或機(jī)會(huì)更新;ωx i=1表示設(shè)備Ex進(jìn)行預(yù)防性維護(hù)或機(jī)會(huì)維護(hù).ωx i具體如何決策將在3.3節(jié)中詳述.結(jié)合ax i和ωx i可得設(shè)備Ex在系統(tǒng)第i次停機(jī)維護(hù)過(guò)程中需要占用的維護(hù)時(shí)長(zhǎng)mx i為
(8)
式中:px為設(shè)備Ex所需的更新時(shí)長(zhǎng):φx i表示系統(tǒng)第i次停機(jī)前,設(shè)備Ex已進(jìn)行的預(yù)防性維護(hù)次數(shù).經(jīng)推導(dǎo)φx i滿足關(guān)于i的遞推數(shù)列:
(9)
系統(tǒng)第i次停機(jī)維護(hù)的時(shí)間Mi取決于所有待維護(hù)或更新的設(shè)備中所需耗時(shí)最長(zhǎng)的設(shè)備.將所有設(shè)備的維護(hù)時(shí)間mx i寫(xiě)成矩陣的形式Ai,則Mi為矩陣Ai中的最大值:
對(duì)設(shè)備Ex在系統(tǒng)第i次停機(jī)維護(hù)前后的退化度Fx(t)變化進(jìn)行推導(dǎo).
(1)axi=0,ωxi=-1,設(shè)備Ex停機(jī),則Fx(t)變化如下:
(12)
(2)ax i=1,ωx i=0,設(shè)備Ex更新或者機(jī)會(huì)更新,則Fx(t)變化如下:
(13)
(3)axi=1,ωxi=1,設(shè)備Ex進(jìn)行預(yù)防性維護(hù)或者機(jī)會(huì)維護(hù),則Fx(t)變化如下:
(14)
經(jīng)推導(dǎo),Txi滿足關(guān)于i的遞推數(shù)列:
(15)
Fx(t)=
(16)
(17)
式(17)中的其他參數(shù)可以從系統(tǒng)的維護(hù)記錄中獲得,則設(shè)備Ex在任意時(shí)刻的退化度均可求出.
維護(hù)成本一直是生產(chǎn)系統(tǒng)維護(hù)更新策略中用來(lái)衡量策略表現(xiàn)的重要指標(biāo),從不同的角度考慮,其所包含的項(xiàng)目不同.如果不考慮廣義時(shí)間價(jià)值,本文中設(shè)備Ex的維護(hù)成本包括預(yù)防性維護(hù)成本、更新成本、停產(chǎn)損失成本以及次品成本.如果考慮廣義時(shí)間價(jià)值,維護(hù)成本除了以上提到的項(xiàng)目還包含:① 因設(shè)備重置成本持續(xù)降低導(dǎo)致單位時(shí)間折舊費(fèi)用增加的成本;② 因技術(shù)落后導(dǎo)致的單位時(shí)間生產(chǎn)費(fèi)用上升的成本;③ 因技術(shù)落后導(dǎo)致系統(tǒng)生產(chǎn)的商品缺乏競(jìng)爭(zhēng)力,致使單位商品利潤(rùn)率下降的成本.
(18)
(19)
(20)
(3) 設(shè)備Ex在t時(shí)刻次品率的表達(dá)式為rx(t)=rFFx(t).故系統(tǒng)生產(chǎn)出次品在設(shè)備Ex分?jǐn)傤~為
(21)
(4) 設(shè)備的折舊時(shí)間不僅包含工作時(shí)間,還包含維護(hù)時(shí)間和停機(jī)時(shí)間,故設(shè)備Ex因廣義時(shí)間價(jià)值增加的折舊費(fèi)用為
(22)
(5) 設(shè)備Ex由于廣義時(shí)間價(jià)值增加的生產(chǎn)費(fèi)用為
(23)
(6) 由于次品不能用于銷售,在計(jì)算產(chǎn)成品利潤(rùn)時(shí)需要減去.故系統(tǒng)所生產(chǎn)商品的利潤(rùn)下降額在設(shè)備Ex上的分?jǐn)傤~為
(24)
綜上,考慮廣義時(shí)間價(jià)值,系統(tǒng)第i-1次停機(jī)維護(hù)結(jié)束至第i次停機(jī)維護(hù)結(jié)束期間,設(shè)備Ex的總維護(hù)成本Cxi可表示為
(25)
(26)
(27)
通過(guò)對(duì)比設(shè)備Ex進(jìn)行預(yù)防性維護(hù)和更新時(shí)Kxi的大小,即可對(duì)ωxi的取值進(jìn)行決策,同時(shí)還要考慮設(shè)備Ex可用度的變化.設(shè)備可用度表示設(shè)備在一段時(shí)間內(nèi)工作時(shí)間與總時(shí)間的比值,由于在本文中,設(shè)備的停機(jī)是由于其他設(shè)備需要進(jìn)行維護(hù),系統(tǒng)無(wú)法進(jìn)行生產(chǎn)造成的,并非出自自身原因,故這里沒(méi)有將設(shè)備的停機(jī)時(shí)間計(jì)入總時(shí)間,設(shè)備Ex在ti時(shí)刻的可用度Axi可表示為
(28)
(29)
則依次可得到該串行生產(chǎn)系統(tǒng)各設(shè)備在系統(tǒng)每次維護(hù)時(shí)的維護(hù)行為,進(jìn)而得到各設(shè)備的更新時(shí)間.
圖3 串行生產(chǎn)系統(tǒng)示意圖Fig.3 Structure of series system
本文以某發(fā)動(dòng)機(jī)零部件串行生產(chǎn)系統(tǒng)為例,對(duì)以上維護(hù)更新策略進(jìn)行數(shù)值分析.該生產(chǎn)系統(tǒng)有負(fù)責(zé)5道不同工序的5種不用類型的設(shè)備,分別為磨床、車床、銑床、輥壓機(jī)床和拋光機(jī),該串行生產(chǎn)系統(tǒng)模型及設(shè)備編號(hào)如圖3所示.各設(shè)備的退化過(guò)程服從參數(shù)不同的Gamma分布,根據(jù)生產(chǎn)實(shí)際以及部分參考文獻(xiàn)[3-4],設(shè)置:
ε=0.85,rF=50%
h=5,b=0.95
px=5 d (x=1,2,…,5)
A0=0.6,Ld=10 000
d=100件,cpro=100元
其他維護(hù)與成本參數(shù)見(jiàn)表1.
首先對(duì)設(shè)備的DPM和DOM進(jìn)行優(yōu)化決策,以串行生產(chǎn)系統(tǒng)500天內(nèi)的所有設(shè)備的維護(hù)成本和Csys為優(yōu)化判據(jù),Csys可表示為
(30)
表1 維護(hù)與成本參數(shù)Tab.1 Parameters of maintenance and cost
表2 預(yù)防性維護(hù)計(jì)劃Tab.2 PM schedule
表3 設(shè)備更新時(shí)間與維護(hù)次數(shù)Tab.3 Replacement time and PM times
圖4 設(shè)備退化度與可用度變化過(guò)程Fig.4 Evolution of degradation degree and availability
取使得Csys最小的閾值組合(DPM,DOM)作為該串行系統(tǒng)維護(hù)閾值.采用MATLAB編程計(jì)算,通過(guò)遍歷DPM∈[0.1,0.9],DPM∈[0.1,DPM]內(nèi)的所有組合得到使Csys最小的閾值組合為DPM=0.85,DOM=0.7,所得的最小成本Csys=347.69萬(wàn)元.
令DPM=0.85,DOM=0.7,采用MATLAB編程計(jì)算得到該串行生產(chǎn)系統(tǒng)在所有設(shè)備均完成一次更新前的維護(hù)工作排程如表2所示(由于篇幅有限,只列舉了系統(tǒng)前4次停機(jī)和有設(shè)備更新時(shí)的維護(hù)排程).表中:1代表預(yù)防性維護(hù)和機(jī)會(huì)維護(hù);0代表更新;空白代表停機(jī);…代表省略的維護(hù)排程.各工序設(shè)備的首次更新時(shí)間以及更新前經(jīng)歷的維護(hù)次數(shù)如表3所示.各設(shè)備的退化度隨時(shí)間的演變過(guò)程以及可用度隨維護(hù)次數(shù)的演變過(guò)程如圖4所示.
由圖4可知:所有設(shè)備的更新原因在于Km>Kp,設(shè)備可用度均未超出限值.分析表3可知:負(fù)責(zé)不同工序的設(shè)備,其更新時(shí)間均相差較大,說(shuō)明針對(duì)串行生產(chǎn)系統(tǒng)的更新策略應(yīng)該針對(duì)單臺(tái)設(shè)備具體實(shí)施,此操作比系統(tǒng)整體更新的策略更加準(zhǔn)確.
由表3可知:不考慮廣義時(shí)間價(jià)值下,各設(shè)備的更新時(shí)間均大于考慮廣義時(shí)間價(jià)值下的值.進(jìn)一步說(shuō)明,廣義時(shí)間價(jià)值會(huì)加速設(shè)備的老化,縮短設(shè)備的使用壽命.
考慮廣義時(shí)間價(jià)值,針對(duì)串行退化生產(chǎn)系統(tǒng)進(jìn)行了維護(hù)更新策略的研究.提出了設(shè)備層維護(hù)模型以及系統(tǒng)層的維護(hù)更新模型,算例仿真優(yōu)化了設(shè)備維護(hù)閾值,證實(shí)了廣義時(shí)間價(jià)值會(huì)加速設(shè)備的老化,縮短設(shè)備使用壽命的作用,為企業(yè)制定串行系統(tǒng)維護(hù)更新策略提供了新的嘗試.然而,本文在建立生產(chǎn)系統(tǒng)模型時(shí)未考慮緩存空間的作用,故還有待進(jìn)一步深入研究.