題1 把四個(gè)面都是直角三角形的四面體叫做鱉臑.

若從鱉臑的六條棱中任取兩條棱，則它們互相垂直的概率是p1;若從鱉臑的六條棱和四個(gè)面中任取一條棱和一個(gè)面（要求棱不在面上），則它們互相垂直的概率是p2;若從鱉臑的四個(gè)面中任取兩個(gè)面，則它們互相垂直的概率是p3.可得p1，p2，p3的值分別是（）.

A.13，16，12B.13，12，16C.16，12，13D.13，1，12

圖1

解 A.可以證明：鱉臑就是從一個(gè)Rt△BCD（可不妨設(shè)∠BCD=90°）的銳角頂點(diǎn)（可不妨設(shè)為點(diǎn)B）處作平面BCD的垂線段BA而后得到的四面體ABCD（如圖1所示，可把鱉臑ABCD放置在長方體中），因而我們可在如圖1所示的鱉臑ABCD中來求解.

（1）可得鱉臑ABCD的六條棱中任取兩條有C26=15種取法，其中互相垂直的情形有5種：AB⊥BC，AB⊥BD，AB⊥CD，AC⊥CD，BC⊥CD.

所以所求概率是515=13.

（2）從鱉臑ABCD的六條棱和四個(gè)面中任取一條棱和一個(gè)面（要求棱不在面上），有3·4=12種，其中它們互相垂直的情形有2種：AB⊥平面BCD，DC⊥平面ABC.

所以所求概率是212=16.

（3）從鱉臑ABCD的四個(gè)面中任取兩個(gè)面有C24=6種取法，其中互相垂直的情形有3種：平面ABC⊥平面BCD，平面ABC⊥平面ACD，平面ABD⊥平面BCD.

所以所求概率是36=12.

考查目標(biāo) （1）對文字（新定義）的閱讀理解及等價(jià)轉(zhuǎn)化;（2）對立體幾何圖形中“垂直”的理解及其應(yīng)用：包括直線與直線垂直、直線與平面垂直、平面與平面垂直的定義、判定及性質(zhì);（3）用枚舉法求古典概型.

設(shè)計(jì)思路 2015年高考湖北卷理科第19題及文科第20題均是涉及“鱉臑”的數(shù)學(xué)文化高考題;普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書《數(shù)學(xué)2·必修·A版》（人民教育出版社，2007年第3版）第69頁的例3，第69頁的“探究”， 第73頁的第3題也均涉及“鱉臑”.

鱉臑是一種特殊的四面體，值得深入研究，因而編擬了本題.

甘志國編著《2019年高考數(shù)學(xué)真題研究》（哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社，2020）中收錄的文章《鱉臑的形狀》中證明了結(jié)論：鱉臑就是從一個(gè)Rt△BCD（可不妨設(shè)∠BCD=90°）的銳角頂點(diǎn)（可不妨設(shè)為點(diǎn)B）處作平面BCD的垂線段BA而后得到的四面體ABCD，鱉臑也是恰好是在兩個(gè)頂點(diǎn)處的三個(gè)角中均恰有兩個(gè)角是直角的四面體.

難度估計(jì) 0.66.

題2 已知多項(xiàng)式p（x）=x3-3x+1有三個(gè)零點(diǎn)a，b，c（a

A.是aB.是bC.是cD.不是b且不是c

假設(shè)p（x）的三個(gè)實(shí)根中有兩個(gè)是互為相反數(shù)（設(shè)為s，-s），可得

考查目標(biāo) （1）考查連續(xù)函數(shù)根的存在定理（也叫堪根定理）的應(yīng)用;（2）集合元素的互異性及其在解題中的應(yīng)用;（3）邏輯推理特別是反證法在解題中的應(yīng)用.

設(shè)計(jì)思路 筆者曾經(jīng)研究過多項(xiàng)式p（x）=x3-3x+1的零點(diǎn)問題，并且得到了其三個(gè)零點(diǎn)從小到大依次是-2cos20°，2sin10°，2cos40°.但該結(jié)論對于廣大高中師生都很陌生，筆者深入研究此結(jié)論后，編擬了這道漂亮的選擇題.

難度估計(jì) 0.48.

解 A.可得題設(shè)f′（x）<2f（x）即f′（x）-2f（x）<0.聯(lián)想到求導(dǎo)運(yùn)算法則uv′=u′v-uv′v2，可構(gòu)造待定的函數(shù)g（x）=f（x）eax（其中a是待定的常數(shù)）.

可得g′（x）=f′（x）-af（x）eax，與題設(shè)“f′（x）-2f（x）<0”相對照知，可選a=2.

進(jìn)而可得g（x）=f（x）e2x，g′（x）=f′（x）-2f（x）e2x<0，g（x）是減函數(shù).

由ln32gln52，即5fln32>3fln52.

考查目標(biāo) （1）構(gòu)造函數(shù)解決抽象函數(shù)問題;（2）用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的單調(diào)性，再解決相應(yīng)的抽象函數(shù)問題.

設(shè)計(jì)思路 用導(dǎo)數(shù)解決抽象函數(shù)問題難度較大，解答的關(guān)鍵是構(gòu)造出合理的函數(shù).本題由此作為出發(fā)點(diǎn)編擬而成.

難度估計(jì) 0.49.

題4 華夏人壽保險(xiǎn)股份有限公司推出了一種“華夏富貴竹年金保險(xiǎn)（3年期）”的保險(xiǎn)產(chǎn)品：購買者須在三年的同一時(shí)間段各買一筆保險(xiǎn)a（a≥1，10a∈N*）萬元（共購買3次，每次a萬元），從第一次購買后可續(xù)存b（0.01b∈N*）元，且續(xù)存的這些錢將從次日起按每天0.11 ‰的利率復(fù)利計(jì)息，續(xù)存款的本息可隨時(shí)取出（到自己的銀行賬戶）.G先生于2017年3月1日買了1.5萬元“華夏富貴竹年金保險(xiǎn)（3年期）”，接著又于2017年4月1日續(xù)存了2.22萬元，等到2018年4月1日（到了這一天，存期是1年即365天）G先生的這筆續(xù)存款產(chǎn)生的本息和是（答案中的冪不必計(jì)算）.

解 2.22×1.00011365萬元.由復(fù)利計(jì)算本息和公式，可得所求答案是

2.22×（1+0.11‰）365=2.22×1.00011365（萬元）.

考查目標(biāo) 對文字的閱讀理解并轉(zhuǎn)化成相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型（本題的模型是指數(shù)函數(shù)中的復(fù)利計(jì)算本息和公式）.

設(shè)計(jì)思路 本題是由真實(shí)生活中遇到的問題編擬而成.

考查目標(biāo) （1）考查空間角問題（包括線與線、線與面、面與面之間的平行、垂直）;（2）均值不等式及導(dǎo)數(shù)在求取值范圍問題中的應(yīng)用.

設(shè)計(jì)思路 可以說立體幾何只包含兩大類問題：空間角與空間距離.教材以空間角為重點(diǎn)，考題也是如此.把本題第（2）問改為“（2）設(shè)直線PB與平面PAC所成角的大小為θ，當(dāng)θ變化時(shí)，求sinθ的最大值”后，可作為文科學(xué)生練習(xí)，且不需求導(dǎo)，用均值不等式即可求解;圖5中的四面體PABC是鱉臑.

難度估計(jì) 0.50.

作者簡介 甘志國（1971—），湖北竹溪人，研究生學(xué)歷.正高級教師，特級教師，湖北名師.研究方向：解題研究、高考研究和初等數(shù)學(xué)研究.