鐘勁松

1 前言

臺(tái)灣地區(qū)學(xué)科能力測(cè)試（簡(jiǎn)稱“學(xué)測(cè)”）包括國(guó)文、英文、數(shù)學(xué)、社會(huì)、自然五科，旨在測(cè)驗(yàn)考生是否具有接受大學(xué)教育的基本學(xué)科能力，是大學(xué)校系初步篩選學(xué)生的門檻. 2020年臺(tái)灣地區(qū)數(shù)學(xué)測(cè)試考試共20道題，其中單選題7道（試題1-7），多選題6道（試題8-13），選填題7道.考試時(shí)間共100分鐘，滿分100分.本文對(duì)臺(tái)灣地區(qū)學(xué)測(cè)考試（數(shù)學(xué)）的選擇題進(jìn)行解析和點(diǎn)評(píng)，并對(duì)其特點(diǎn)進(jìn)行總結(jié)，旨在讓讀者大致了解臺(tái)灣地區(qū)學(xué)測(cè)考試的主要內(nèi)容和特點(diǎn).

2 試題賞析

試題1 已知兩個(gè)直角三角形三邊長(zhǎng)分別為3、4、5，5、12、13，α，β分別為它們的一角，如圖1所示. 試選出正確的選項(xiàng)（）.

解析 根據(jù)圖形可知，sinα=35，sinβ=513，因?yàn)閟in30°=12，又因?yàn)?13<12<35，所以sinβ

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正弦在直角三角形中的定義，

根據(jù)正弦函數(shù)y=sinx，x∈0，π2的單調(diào)性

比較數(shù)值大小即可得到答案，屬于一道較容易題.

試題2 空間中有相異四點(diǎn)A，B，C，D，已知內(nèi)積AB·AC=AB·AD.試選出正確的選項(xiàng).

（1）AB·CD=0;（2）AC=AD;（3）AB與CD平行;（4）AD·BC=0;（5）A，B，C，D四點(diǎn)在同一平面上.

解析 根據(jù)題意可知AB·AC=AB·AD，所以

AB·AC-AB·AD=0AB·AC-AD=0AB·CD=0，所以選項(xiàng)（1）正確，故選（1）.

點(diǎn)評(píng) 本題無(wú)需計(jì)算出數(shù)量積的具體數(shù)值，只需要稍作變形即可得到答案.實(shí)際上，根據(jù)AB·AC=AB·AD可知AC，AD在AB上的投影相等，且C，D是不同的兩點(diǎn)，所以有AB·CD=0.

試題3 如圖2所示，O為正六邊形之中心.試問(wèn)下列哪個(gè)向量的終點(diǎn)P落在△ODE內(nèi)部（不含邊界）？

解析 要使終點(diǎn)P在△ODE內(nèi)（不含邊界），不僅要結(jié)果向量的方向在邊界內(nèi)，而且還要使結(jié)果向量的終點(diǎn)落在△ODE區(qū)域內(nèi).據(jù)向量加法的幾何意義，選項(xiàng)（1）對(duì)應(yīng)的點(diǎn)P在射線OD上，且OP=OD=OC+OE，

同理，根據(jù)向量加法的幾何意義知

選項(xiàng)（3）（4）（5）對(duì)應(yīng)的點(diǎn)P（OP的方向）均不在△ODE區(qū)域內(nèi)，所以選項(xiàng)（2）正確.

點(diǎn)評(píng) 本題考查了向量的有關(guān)運(yùn)算（向量的加法和數(shù)乘），本題不需要設(shè)坐標(biāo)進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算，只需要了解和理解向量加法的幾何意義即可.本題以特殊的平面圖形——正六邊形為載體，從形的方面考查對(duì)向量加法幾何意義本質(zhì)的理解.

試題4 令I(lǐng)=1001，A=1134，B=I+A+A-1，試選出代表BA的選項(xiàng).

（1）1001;（2）6006;（3）4-1-31;（4）1134;（5）661824.

解析 因?yàn)锽=I+A+A-1，等式兩邊同乘以矩陣A可得.

因?yàn)锽A=IA+A2+A-1A=10011134+11342+1001=661824，所以BA=661824，故選（5）.

點(diǎn)評(píng) 本題考查了矩陣的加法和乘法運(yùn)算，特別注意的是運(yùn)算技巧，不要首先將矩陣B算出來(lái)，再與矩陣A相乘，這樣比較復(fù)雜. 同樣也不要將計(jì)算矩陣BA的值算成計(jì)算矩陣AB的值.一般情況下，矩陣的乘法不滿足交換律.實(shí)際上，上面的計(jì)算過(guò)程還可以簡(jiǎn)化為BA=IA+A2+A-1A=IA+A2+I=（I+A）A+I，同樣可以得到正確的結(jié)果.

試題5 試問(wèn)數(shù)線上有多少個(gè)整數(shù)點(diǎn)與101的距離小于5，但與點(diǎn)38的距離大于3？

（1）1個(gè);（2）4個(gè);（3）6個(gè);（4）8個(gè);（5）10個(gè).

解析 因?yàn)?0<101<11，所以數(shù)線上與101小于5的整數(shù)點(diǎn)有x=6，7，8，9，10，11，12，14，15，共10個(gè);又因?yàn)?<38<7，所以數(shù)線上到38的距離大于3的整數(shù)點(diǎn)滿足x10或x≤3. 所以，滿足與101的距離小于5，且與點(diǎn)38的距離大于3的整數(shù)點(diǎn)有x=10，11，12，13，14，15，共6個(gè)，故選（3）.

點(diǎn)評(píng) 本題考查了絕對(duì)值不等式的解法，將同時(shí)滿足兩個(gè)條件的整數(shù)點(diǎn)在數(shù)線（即數(shù)軸）上表示出來(lái)，不難得出共6個(gè)整數(shù)點(diǎn)滿足條件.實(shí)質(zhì)上，本題考查了數(shù)形結(jié)合的思想和估算的能力，考生若能運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想，并在估算方面能力較強(qiáng)，不需要運(yùn)算就可以又快又準(zhǔn)地得出答案.

試題6 連續(xù)投擲一公正骰子兩次，設(shè)出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)依序?yàn)閍，b.試問(wèn)發(fā)生log（a2）+logb>1的概率為多少？

（1）13;（2）12;（3）23;（4）34;（5）56.

解析 投擲一公正骰子兩次，共有6×6=36種可能結(jié)果.

又因?yàn)閘oga2+logb>1，所以a2b>10.

我們先考慮a2b≤10的情況：

當(dāng)a=1時(shí)，b=1，2，3，4，5，6，共6種結(jié)果;

當(dāng)a=2時(shí)，b=1，2，共2種結(jié)果;

當(dāng)a=3時(shí)，b=1，共1種結(jié)果.

所以，發(fā)生log（a2）+logb>1的概率p=36-（6+2+1）36=2736=34，故選（4）.

點(diǎn)評(píng) 本題為一道求古典概率題，從正面求滿足a2b>10的整數(shù)對(duì)（a，b）的個(gè)數(shù)較多，所以從反面求a2b≤10的整數(shù)對(duì)（a，b）的個(gè)數(shù)（共6+2+1=9（個(gè)）），體現(xiàn)了處理數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)正難則反的思想.本題將求古典概率與對(duì)數(shù)函數(shù)的變形交匯，在知識(shí)的交匯處命題.值得注意的是這里loga表示以10為底a的對(duì)數(shù)，等同于大陸教材中常用符號(hào)lga.

試題7 坐標(biāo)平面上，函數(shù)圖形y=-3x3上有兩點(diǎn)P，Q到原點(diǎn)距離皆為1.已知點(diǎn)P坐標(biāo)為cosθ，sinθ，試問(wèn)點(diǎn)Q坐標(biāo)為？

（1）（cos（-θ），sin（-θ））;（2）（-cosθ，sinθ）;（3）（cos（-θ），-sinθ）;（4）（-cosθ，sin（-θ））;（5）（cosθ，-sinθ）.

解析 因?yàn)閥=-3x3是奇函數(shù)，其圖形關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱，P，Q到原點(diǎn)距離皆為1，所以P，Q兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱，因?yàn)镻cosθ，sinθ，所以Q（-cosθ，-sinθ），即Q（-cosθ，sin（-θ）），所以選（4）.

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)有冪函數(shù)和三角函數(shù)的性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)P，Q兩點(diǎn)到原點(diǎn)距離皆為1推導(dǎo)出P，Q關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱.

試題8 有一個(gè)游戲的規(guī)則如下：丟三顆公正的骰子，若所得的點(diǎn)數(shù)恰滿足下列（A）或（B）兩個(gè)條件之一，可得到獎(jiǎng)金100元;若兩個(gè)條件都滿足，則共得200元獎(jiǎng)金;若兩個(gè)條件都不滿足，則無(wú)獎(jiǎng)金.

（A）三個(gè)點(diǎn)數(shù)皆為奇數(shù)或者皆為偶數(shù)

（B）三個(gè)點(diǎn)數(shù)由小排到大為等差數(shù)列

若已知有兩顆骰子的點(diǎn)數(shù)分別為1，3，且所得的獎(jiǎng)金為100元，則未知的骰子點(diǎn)數(shù)可能為何？

（1）2;（2）3;（3）4;（4）5;（5）6.

解析 因?yàn)樗锚?jiǎng)金為100元，則三個(gè)點(diǎn)數(shù)滿足條件（A）（B）之一.

當(dāng)未知的骰子的點(diǎn)數(shù)為2時(shí)，符合條件（B），但不符合條件（A），所以選項(xiàng)（1）正確;

當(dāng)未知的骰子的點(diǎn)數(shù)為3時(shí)，符合條件（A），但不符合條件（B），所以選項(xiàng)（2）正確;

當(dāng)未知的骰子的點(diǎn)數(shù)為4時(shí)，條件（A）（B）均不滿足，選項(xiàng)（3）錯(cuò)誤;

當(dāng)未知的骰子的點(diǎn)數(shù)為5時(shí)，條件（A）（B）均滿足，選項(xiàng)（4）錯(cuò)誤;

當(dāng)未知的骰子的點(diǎn)數(shù)為6時(shí)，條件（A）（B）均不滿足，選項(xiàng)（5）錯(cuò)誤.

故選（1）（2）.

點(diǎn)評(píng) 本題是多項(xiàng)選擇題，較為容易，認(rèn)真審題即可得到正確答案.

試題9 在坐標(biāo)平面上，有一通過(guò)原點(diǎn)O的直線L，以及一半徑為2、圓心為原點(diǎn)O的圓Γ.P，Q為Γ上相異兩點(diǎn)，且OP，OQ分別與L所夾的銳角皆為30°，試選出內(nèi)積OP·OQ之值可能發(fā)生的選項(xiàng).

（1）23;（2）-23;（3）0;（4）-2;（5）-4.

解析 根據(jù)題意可知，OP，OQ的夾角可能為60°，120°，180°，所以O(shè)P·OQ=|OP||OQ|cos〈OP，OQ〉.

當(dāng)〈OP，OQ〉=60°時(shí)，OP·OQ=22cos60°=2;

當(dāng)〈OP，OQ〉=120°時(shí)，OP·OQ=22cos120°=-2;

當(dāng)〈OP，OQ〉=180°時(shí)，OP·OQ=22cos180°=-4;

所以，正確的選項(xiàng)為（4）（5）.

點(diǎn)評(píng) 本題考查了考生的分類討論的思想和向量的數(shù)量積等知識(shí)的運(yùn)用，注意到直線和向量的區(qū)別. 根據(jù)題意，OP，OQ的夾角有3種情形，如圖3所示，即〈OP，OQ〉=180°，〈OP，OQ1〉=60°，〈OP，OQ2〉=120°.值得一提的是，選項(xiàng)中并沒(méi)有答案為“2”這一選項(xiàng)，也就是說(shuō)，在多項(xiàng)選擇題的命制中，選項(xiàng)不一定要覆蓋所有可能值.

試題10 已知多項(xiàng)式f（x）=3x4+11x2-4，試選出正確的選項(xiàng).

（1）y=f（x）的圖形與y軸交點(diǎn)的y坐標(biāo)小于0;

（2）f（x）=0有4個(gè)實(shí)根;

（3）f（x）=0至少有一個(gè)有理根;

（4）f（x）=0有一根介于0與1之間;

（5）f（x）=0有一根介于1與2之間.

解析 對(duì)于選項(xiàng)（1）來(lái)說(shuō)，y=f（x）的圖形與y軸交點(diǎn)的y坐標(biāo)，即當(dāng)x=0時(shí)y的值，顯然有y=f（0）=-4<0，選項(xiàng)（1）正確;

對(duì)于選項(xiàng)（2），因?yàn)閒（x）=3x4+11x2-4=（3x2-1）（x2+4），當(dāng)f（x）=0時(shí)，有3x2-1=0或x2+4=0，顯然，f（x）=0只有兩個(gè)不同的實(shí)根x1，2=±33，其余兩個(gè)根為虛根x3，4=±2i（i為虛數(shù)單位，即i2=-1），故選項(xiàng)（2）錯(cuò)誤;

對(duì)于選項(xiàng)（3），由選項(xiàng)（2）可知，f（x）=0沒(méi)有一個(gè)有理根，4個(gè)根分別為兩個(gè)無(wú)理根，兩個(gè)虛根，故選項(xiàng)（3）錯(cuò)誤;

對(duì)于選項(xiàng)（4），因?yàn)?<33<1，故f（x）=0有一根介于0與1之間，選項(xiàng)（4）正確，選項(xiàng)（5）錯(cuò)誤.

點(diǎn)評(píng) 本題從多個(gè)方面考查了多項(xiàng)式函數(shù)（次數(shù)為4）的圖形和性質(zhì)，如圖形與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)的正負(fù)，根的類型和根的范圍等等. 首先，遇到與多項(xiàng)式函數(shù)有關(guān)的問(wèn)題時(shí)，因式分解是關(guān)鍵，將高次降為低次進(jìn)行問(wèn)題解決. 其次，若不能夠因式分解，則運(yùn)用多形式函數(shù)的有關(guān)定理，如余數(shù)定理、綜合除法、虛根成對(duì)定理、代數(shù)基本定理和插值公式來(lái)解決問(wèn)題.

試題11 設(shè)a，b，c為實(shí)數(shù)且滿足loga=1.1，logb=2.2，logc=3.3.試選出正確的選項(xiàng).

（1）a+c=2b;（2）1

解析 對(duì)于選項(xiàng)（1），因?yàn)閘oga+logc=2logb，所以有b2=ac，并不能推導(dǎo)出a+c=2b，故選項(xiàng)（1）錯(cuò)誤;實(shí)際上，因?yàn)閏=a3，b=a2，若a+c=2b，則有a+a3=2a2，又因?yàn)閍>10，所以a+a3=2a2無(wú)解，所以a+c=2b錯(cuò)誤;

對(duì)于選項(xiàng)（2），因?yàn)閍=101.1>10，與1

對(duì)于選項(xiàng)（3），因?yàn)閏=103.3=103·100.3，顯然有100.3>1，若100.3>2，則有0.3>log2，而log2≈0.3010，與0.3>log2矛盾，所以1<100.3<2，因此1000

對(duì)于選項(xiàng)（4），因?yàn)閘ogbloga=2，所以b=a2，不能推導(dǎo)出b=2a，若b=2a，則兩邊取以10為底的對(duì)數(shù)，則有l(wèi)ogb=log2a=log2+loga，所以log2=logb-loga=1.1，與log2≈0.3010矛盾，故選項(xiàng)（4）錯(cuò)誤;

對(duì)于選項(xiàng)（5），因?yàn)?logb=loga+logc=4.4，所以有b2=ac，所以a，b，c成等比數(shù)列，故選項(xiàng)（5）正確.

點(diǎn)評(píng) 本題以對(duì)數(shù)函數(shù)為載體，考查了對(duì)數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和等比數(shù)列的有關(guān)知識(shí).解決問(wèn)題的過(guò)程中，換底公式是關(guān)鍵，特別是第（3）小問(wèn)，需要利用的知識(shí)較為綜合，在試卷末的“參考公式及可能用到的數(shù)值”中給出了“l(fā)og2≈0.3010”，在解題的過(guò)程中需要用到.當(dāng)然，如果考生能夠記住該數(shù)值則更好.特別要注意的是，選項(xiàng)（1）（4）不能輕易否定，需要推理論證.

試題12 下表示2011年至2018年某國(guó)總就業(yè)人口與農(nóng)業(yè)就業(yè)人口的部分相關(guān)數(shù)據(jù)，各年度的人口以人數(shù)計(jì)，有些是以千人計(jì)，有些以萬(wàn)人計(jì)，例如 2011年總就業(yè)人口為1070.9萬(wàn)人，65歲以上男性農(nóng)業(yè)就業(yè)人口為69.1千人.試根據(jù)表格資料選出正確的選項(xiàng).

（1）從2013年至2018年，65歲以上的男性農(nóng)業(yè)就業(yè)人口逐年遞增;

（2）從2013年至2018年，50歲至64歲之男性農(nóng)業(yè)就業(yè)人口逐年遞增;

（3）上表中，每一年的男性農(nóng)業(yè)就業(yè)人口占總就業(yè)人口的比率都小于百分之五;

（4）上表中，每一年50歲至64歲之男性農(nóng)業(yè)就業(yè)人口都少于49歲以下之男性農(nóng)業(yè)就業(yè)人口;

（5）就65歲以上至男性農(nóng)業(yè)就業(yè)人口而言，2018年比2011年增加了不到一萬(wàn)人.

解析 對(duì)于選項(xiàng)（1），從表格的最右一列可以看出，從2013年至2018年，65歲以上的男性農(nóng)業(yè)就業(yè)人口逐年遞增，故選項(xiàng)（1）正確;

對(duì)于選項(xiàng)（2），觀察表格的第7列可知，2016年50歲至64歲男性農(nóng)業(yè)就業(yè)人口為176.4萬(wàn)，而2015年為181.3萬(wàn)，2016年相當(dāng)于2015年的男性農(nóng)業(yè)就業(yè)人口減少了，故選項(xiàng)（2）錯(cuò)誤;

對(duì)于選項(xiàng)（3），觀察表格第2、4列可以發(fā)現(xiàn)，將每年第4列對(duì)應(yīng)的數(shù)據(jù)分別除以第2列對(duì)應(yīng)的數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)，比值均小于百分之五，故選項(xiàng)（3）正確;

對(duì)于選項(xiàng)（4），觀察表格發(fā)現(xiàn)，每年的第5、6列的數(shù)據(jù)之和均大于第7列對(duì)應(yīng)的數(shù)據(jù)，也即是說(shuō)每一年50歲至64歲之男性農(nóng)業(yè)就業(yè)人口都大于49歲以下之男性農(nóng)業(yè)就業(yè)人口，故選項(xiàng)（4）錯(cuò)誤;

對(duì)于選項(xiàng)（5），65歲以上的男性農(nóng)業(yè)人口，2018年為79.4千人，2011年為69.1千人，所以2018年比2011年增加了79.4-69.1=10.3（千人），即增加的人數(shù)超過(guò)了一萬(wàn)人，故選項(xiàng)（5）錯(cuò)誤.

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了考生的讀圖、識(shí)表的能力，此題題干看上去文字很多，表格的數(shù)據(jù)也很多，但并不復(fù)雜. 實(shí)際上，認(rèn)真閱讀選項(xiàng)，根據(jù)選項(xiàng)從表格中尋找有用的信息（數(shù)據(jù)），稍加推理和估算即可得出正確答案.

試題13 如圖4所示，四面體OABC中，△OAB和△OAC均為正三角形，∠BOC=30°.試選出正確的選項(xiàng).

（1）BC>OC;

（2）△OBC是等腰三角形;

（3）△OBC的面積大于△OAB的面積;

（4）∠CAB=30°;

（5）平面OAB與平面OAC的夾角（以銳角計(jì)）小于30°.

解析 不妨設(shè)兩個(gè)正△OAB，△OAC的邊長(zhǎng)為a，顯然有△OBC為等腰三角形，其中頂角∠BOC=30°，兩底角∠OBC=∠OCB=180°-30°2=75°，所以有BC

對(duì)于選項(xiàng)（2），△OBC為等腰三角形，故選項(xiàng)（2）正確;

對(duì)于選項(xiàng)（3），△OBC和△OAB共一條邊OB，△OAB的邊OB邊上高的長(zhǎng)為h1=a·sin60°=32a，而△OBC的OB邊上高的長(zhǎng)為h2=a·sin30°=a2，因?yàn)閔1>h2，S△OBC=12ah1，S△OAB=12ah2，所以S△OBC

對(duì)于選項(xiàng)（4），由已知條件容易判斷△COB和△CAB全等，根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等，所以∠CAB=∠COB=30°，故選項(xiàng)（4）正確;

對(duì)于選項(xiàng)（5），過(guò)點(diǎn)B，C分別作OA的垂線，兩個(gè)垂足分別為D，F(xiàn)，實(shí)為同一點(diǎn)（可以證明），不妨設(shè)為點(diǎn)D，所以平面OAB與平面OAC的夾角為∠BDC.

在三角形OCB中，由余弦定理可得BC2=a2+a2-2a·acos30°=2a21-32.

在三角形CDB中，有BC2=CD2+BD2-2CD·BDcos∠CDB，

又因?yàn)锽D=CD=32a，所以2a21-32=232a2-232a2cos∠CDB，

解得cos∠CDB=23-13.因?yàn)閏os∠CDB=23-13<32，且∠CDB<90°，所以∠CDB>30°，即平面OAB與平面OAC的夾角大于30°，故選項(xiàng)（5）錯(cuò)誤.

點(diǎn)評(píng) 本題是一道立體幾何題，考查了平面幾何中的有關(guān)長(zhǎng)度、面積、全等、等腰三角形，二面角的平面角等知識(shí)，5個(gè)選項(xiàng)分別從不同的方面考查考生解決問(wèn)題的能力，較為綜合.

3 試題特色

2020年臺(tái)灣地區(qū)學(xué)測(cè)考試（數(shù)學(xué)）的選填題（解答題）也很有特色，限于篇幅，本文不再贅述.選擇題的試題特色已在點(diǎn)評(píng)中敘述，從13道選擇題可以看出，2020年臺(tái)灣地區(qū)學(xué)測(cè)考試總體的主要特色如下：

1.注重對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)和核心能力的考查.重點(diǎn)考查的內(nèi)容有函數(shù)（三角函數(shù)、冪指對(duì)函數(shù)、多項(xiàng)式函數(shù)），向量（平面向量和空間向量），概率統(tǒng)計(jì)，矩陣，平面解析幾何和空間立體幾何、圓錐曲線等等.考查考生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，以及對(duì)基本概念及其本質(zhì)的掌握、理解和運(yùn)用的能力，閱讀理解（讀圖識(shí)表）的能力，邏輯推理、運(yùn)算求解和估算的能力等等.特別重視閱讀理解（如試題8和試題12）能力和數(shù)學(xué)思想的考查，比如分類討論的思想、數(shù)形結(jié)合的思想等等.

2.在知識(shí)的交匯處命題.大部分試題均不止考查一個(gè)知識(shí)點(diǎn)，而是對(duì)多個(gè)知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行交匯考查，將不同內(nèi)容的知識(shí)聯(lián)系起來(lái).如試題6綜合考查了概率和對(duì)數(shù)函數(shù)內(nèi)容，試題7綜合考查了冪函數(shù)和三角函數(shù)內(nèi)容，試題11綜合考查了對(duì)數(shù)函數(shù)和等比數(shù)列內(nèi)容等等.