文康葉紅
“以形助數(shù)”“以數(shù)解形”,使復(fù)雜問題簡單化,是數(shù)學(xué)的規(guī)律性和靈活性的有機(jī)結(jié)合。我們從形的直觀和數(shù)的嚴(yán)謹(jǐn)兩方面思考問題,便拓寬了解題思路,使問題得以更快解決。
原題呈現(xiàn) 蘇科版《數(shù)學(xué)》九年級下冊第17頁例題:
畫出二次函數(shù)y=-x2-4x-5 的圖像,并指出它的開口方向、頂點(diǎn)坐標(biāo)、對稱軸、最大值或最小值。
【解析】本題考查的是二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)。想要畫出二次函數(shù)y=-x2-4x-5 的圖像,可先將函數(shù)表達(dá)式變形為y=a(x-h)2+k的形式。結(jié)合圖像,得出二次函數(shù)的圖像特征和函數(shù)最值。
解:y=-x2-4x-5
二次項系數(shù)a=-1<0,函數(shù)圖像開口向下,頂點(diǎn)坐標(biāo)是(-2,-1),對稱軸是直線x=-2。
二次函數(shù)y=-x2-4x-5 的圖像如圖1所示。
當(dāng)x=-2 時,y的 值 最 大,最 大 值是-1。
【總結(jié)】借助函數(shù)圖像上點(diǎn)的位置的“直觀變化”,結(jié)合函數(shù)表達(dá)式確定的“數(shù)量變化”,可求二次函數(shù)的最大值和最小值。
因此,歸納如下:
二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像是一條拋物線,它的頂點(diǎn)坐標(biāo)是對稱軸是直線
當(dāng)a>0 時,拋物線開口向上,當(dāng)x=時,函數(shù)y=ax2+bx+c的值最小,
當(dāng)a<0 時,拋物線開口向下,當(dāng)x=時,函數(shù)y=ax2+bx+c的值最大,
繼續(xù)思考
【變式一】已知二次函數(shù)y=-x2-4x-5,當(dāng)-3≤x≤0 時,求函數(shù)的最大值和最小值。
【解析】由例題可知:y=-x2-4x-5=-(x+2)2-1。與例題不同的是,自變量x的取值范圍:例題中x可取一切實數(shù),但在變式一中,x的取值范圍是-3≤x≤0,即原來二次函數(shù)y=-x2-4x-5 的圖像的一部分。畫出圖像,直觀判斷,從而求出最值。
解:y=-x2-4x-5=-(x+2)2-1。
二次項系數(shù)a=-1<0,函數(shù)圖像開口向下,頂點(diǎn)坐標(biāo)是(-2,-1),對稱軸是直線x=-2。
當(dāng)-3≤x≤0 時,二次函數(shù)y=-x2-4x-5的圖像如圖2所示。
觀察圖像可知:當(dāng)x=0 時,y的值最小,y最小值=-5;當(dāng)x=-2 時,y的值最大,y最大值=-1。
【變式二】已知二次函數(shù)y=x2-2x-3,當(dāng)時,求函數(shù)的最大值和最小值。
【解析】此問題是求二次函數(shù)y=x2-2x-3 的最值,但自變量x的取值范圍是畫出二次函數(shù)的圖像并觀察,我們不難發(fā)現(xiàn)最值與x的取值范圍有關(guān)。如圖3,當(dāng)時,y隨x的增大而減小,當(dāng)時,y隨x的增大而增大。
鞏固提升
【變式三】已知二次函數(shù)y=-x2+2x+2,當(dāng)t≤x≤t+2 時,求函數(shù)的最大值和最小值。
【解析】觀察題目,要求函數(shù)的最值,可畫出函數(shù)圖像,根據(jù)函數(shù)圖像的性質(zhì)進(jìn)行判斷。題中給出的x的取值范圍含有參數(shù),則需對其進(jìn)行分類討論,根據(jù)原函數(shù)的對稱軸為直線x=1,試著進(jìn)行分析。結(jié)合所學(xué),我們可分對稱軸在所給范圍左側(cè)、之間、右側(cè)三種情況進(jìn)行討論,畫出圖像,根據(jù)圖像性質(zhì)求出最值。
解:y=-x2+2x+2=-(x2-2x+1-1)+2=-(x-1)2+3。
二次項系數(shù)a=-1<0,函數(shù)圖像開口向下,頂點(diǎn)坐標(biāo)是(1,3),對稱軸是直線x=1。
(1)當(dāng)t+2≤1 時,即t≤-1 時,由圖4知,當(dāng)x=t時,y的值最小,y最小值=-t2+2t+2;當(dāng)x=t+2 時,y的值最大,y最大值=-(t+2-1)2+3=-(t+1)2+3=-t2-2t+2。
(2)當(dāng)t<1<t+2時,知-1<t<1。
①當(dāng)-1<t≤0 時,由圖5 知,當(dāng)x=t時,y的值最小,y最小值=-t2+2t+2;當(dāng)x=1時,y的值最大,y最大值=3。
②當(dāng)0<t<1 時,由圖6 知,當(dāng)x=t+2時,y的值最小,y最小值=-(t+2-1)2+3=-t2-2t+2;當(dāng)x=1時,y的值最大,y最大值=3。
(3)當(dāng)t≥1 時,由圖7 知,當(dāng)x=t+2時,y的值最小,y最小值=-(t+2-1)2+3=-t2-2t+2;當(dāng)x=t時,y的值最大,y最大值=-t2+2t+2。