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        分類例說,突破一次函數(shù)應用問題的“重圍”

        2020-06-05 04:29:30文張?zhí)锾?/span>
        初中生世界 2020年15期

        文張?zhí)锾?/p>

        專題復習:函數(shù)

        領(lǐng) 銜 人:何君青

        組稿團隊:江蘇省初中數(shù)學反思型教學課題組

        一、同一個坐標系里只有一個分段一次函數(shù)

        這類問題一般有三問:第一問識別圖像,例如解釋折點處的基本信息等;第二問用待定系數(shù)法確定一次函數(shù)的表達式;第三問用一次函數(shù)解決簡單實際問題。同學們需觀察一次函數(shù)圖像,細致分析題意,能將一次函數(shù)的知識與建立方程模型相結(jié)合。

        例1 圖1 中的折線ABC表示某汽車的耗油量y(單位:L/km)與速度x(單位:km/h)之間的函數(shù)關(guān)系(30≤x≤120)。已知線段BC表示的函數(shù)關(guān)系中,該汽車的速度每增加1km/h,耗油量增加0.002L/km。

        (1)當速度為50km/h、100km/h 時,該汽車的耗油量分別為 L/km、 L/km。

        (2)求線段AB所表示的y與x之間的函數(shù)表達式。

        (3)速度是多少時,該汽車的耗油量最低?最低是多少?

        【分析】此題以耗油量問題為背景,以一次函數(shù)的圖像為載體,分析某汽車的耗油量y與速度x之間的函數(shù)關(guān)系,考查識圖、用圖的能力。題中自變量不同取值范圍所對應的函數(shù)表達式不同,其函數(shù)圖像是一個折線。解決分段函數(shù)問題,要與自變量所在取值范圍對應,大家要會用待定系數(shù)法求一次函數(shù)表達式,且用好“折點處”的坐標。

        解:(1)0.13,0.14。

        (2)設線段AB所表示的y與x之間的函數(shù)表達式為y=kx+b。

        因為y=kx+b的圖像過點(30,0.15)與(60,0.12),所以

        解方程組,得

        所以線段AB所表示的y與x之間的函數(shù)表達式為y=-0.001x+0.18。

        (3)根據(jù)題意,得線段BC所表示的y與x之間的函數(shù)表達式為y=0.12+0.002(x-90)=0.002x-0.06。

        由圖像可知,B是折線ABC的最低點。

        【點評】此類題型通過函數(shù)圖像及一定的文字說明作為載體來傳遞解題信息,為問題提供條件。解決這類問題的關(guān)鍵是善于從圖像的位置、特殊點及發(fā)展變化趨勢等相關(guān)信息中受到啟發(fā),并獲取有用的信息,獲得解決問題的途徑,進行推理計算,最終解決問題。此類問題的切入口往往是對折點的解讀,所以要重視折點及折點前后的狀態(tài)。

        二、同一個坐標系里有兩個一次函數(shù)

        在同一個坐標系中,同一自變量有兩個不同的因變量,表示不同的一次函數(shù),這對解題造成干擾,更考查大家對圖像的理解以及綜合分析解決問題能力。下面以一個行程問題為背景,與同學們交流。

        例2 甲、乙兩地相距400 千米,一輛貨車和一輛轎車先后從甲地出發(fā)駛向乙地。如圖2,線段OA表示貨車離甲地的路程y(km)與所用時間x(h)之間的函數(shù)關(guān)系;折線BCD表示轎車離甲地的路程y(km)與所用時間x(h)之間的函數(shù)關(guān)系。根據(jù)圖像解答下列問題:

        (1)求線段CD對應的函數(shù)表達式。

        (2)求E點的坐標,并解釋E點的實際意義。

        (3)若已知轎車比貨車晚出發(fā)20 分鐘,且到達乙地后在原地等待貨車,則當x為多少小時,貨車和轎車相距30km?

        【分析】本題考查了一次函數(shù)在行程問題中的應用。(1)求線段對應的函數(shù)表達式是常規(guī)考法,方法有兩種,一種是根據(jù)實際意義直接列出,另一種是讀取圖中數(shù)據(jù),借助待定系數(shù)法求出表達式;(2)求E點的坐標仍有兩種方法,一種是聯(lián)立線段OA、CD的表達式求解,另一種是列一元一次方程求解追及時間(即點E的橫坐標),再代入線段CD對應的函數(shù)表達式求點E的縱坐標;(3)由“貨車和轎車相距30km”可求得多解。

        解:(1)線段CD所表示的y與x之間的函數(shù)表達式為y=120x-140(2≤x≤4.5)。

        (2)點E坐標為(3.5,280),點E的實際意義是當貨車行駛3.5 小時,轎車追上貨車,這時它們離甲地距離為280千米。

        【點評】解決此類問題的一般方法是解讀折點、分段圖像的實際意義,結(jié)合實際行程問題,運用分類思想,正確地找出某個狀態(tài)下的速度、時間、路程,然后轉(zhuǎn)化成代數(shù)模型來解決。

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