盧建新 張楠

(中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)交叉學(xué)科理論研究中心, 彭桓武高能基礎(chǔ)理論研究中心, 合肥 230026)(2020年1月6日收到; 2020年3月1日收到修改稿)

本文較為詳細(xì)地介紹了作者之一及其合作者近期在Type II 弦理論中有關(guān)D 膜間相互作用, 開(kāi)弦對(duì)產(chǎn)生以及這種對(duì)產(chǎn)生在一定情況下的增強(qiáng)效應(yīng)的系列研究工作. 具體包括計(jì)算了帶有一般世界體常數(shù)電磁場(chǎng)情況下平行放置且有一定間距的兩張D 膜間的相互作用, 討論了相關(guān)特性, 比如相互作用的吸引或排斥情況.當(dāng)其中至少一張膜帶電場(chǎng)時(shí), 這種相互作用振幅通常有一個(gè)虛部, 反映了該系統(tǒng)的一種不穩(wěn)定性即開(kāi)弦對(duì)的產(chǎn)生, 并給出相應(yīng)的衰變率和開(kāi)弦對(duì)產(chǎn)生率. 另外, 探討了這種開(kāi)弦對(duì)產(chǎn)生率的增強(qiáng)效應(yīng), 發(fā)現(xiàn)其與所加的電場(chǎng)和磁場(chǎng)的方向和大小相關(guān)聯(lián). 當(dāng)其中一個(gè)膜的空間維度為3, 另一個(gè)膜的空間維度為1時(shí), 這種開(kāi)弦對(duì)產(chǎn)生率可以大到人類(lèi)實(shí)驗(yàn)室條件下得以檢驗(yàn). 開(kāi)弦對(duì)的產(chǎn)生率與兩膜沿額外維方向的間距密切關(guān)聯(lián), 如果假定弦理論的正確性及人類(lèi)的4 維時(shí)空可以看成一張D3 膜的話(huà), 測(cè)量開(kāi)弦對(duì)產(chǎn)生所給出的(比如)電流并驗(yàn)證其與所加電磁場(chǎng)的關(guān)系符合預(yù)言, 由此可以檢驗(yàn)額外維的存在性. 同時(shí), 這也為弦理論提供了一種實(shí)驗(yàn)檢驗(yàn), 并且這是一種無(wú)須將該理論緊化到四維時(shí)空的全新方式.

1 引 言

引力的量子化是一個(gè)迄今沒(méi)有解決的物理學(xué)基本問(wèn)題. 引力的量子行為涉及相互作用的本質(zhì)及其統(tǒng)一, 是理解比如黑洞奇點(diǎn)和宇宙學(xué)奇點(diǎn)以及暗能量本質(zhì)的出發(fā)點(diǎn). 目前存在兩種比較認(rèn)可的量子化引力嘗試. 一種是圈量子引力, 另一種是弦/M-理論. 如果從物質(zhì)和相互作用的統(tǒng)一的角度, 弦/M-理論是目前惟一的量子引力候選理論.

弦/M-理論的研究, 至少?gòu)睦碚摻嵌? 為我們揭示了很多內(nèi)涵和新的窗口, 突破了一些常規(guī)認(rèn)知. 比如在場(chǎng)論方面, 它告訴我們不包括引力情況下量子場(chǎng)論存在的最大時(shí)空維度為6, 有的量子場(chǎng)論沒(méi)有拉氏量描述, 比如6維 ( 2,0) 共形場(chǎng)論. 另外, 最近基于弦理論的研究告訴我們, 當(dāng)考慮引力相互作用時(shí), 并不是任何一個(gè)有效理論都具備紫外完備推廣, 即使其在沒(méi)有考慮引力時(shí)具有紫外完備.

本文將局限討論弦/M-理論中一類(lèi)重要的動(dòng)力學(xué)客體——D 膜[1?5]的相關(guān)動(dòng)力學(xué). 這是基于作者之一和其合作者近期的一系列工作[6?15]. 討論將局限于第二類(lèi)(Type II)超弦理論中的非微擾Dp膜, 這里p代表該D 膜的空間維度. 在我們的討論中, Dp膜是沿p維空間方向無(wú)窮延展的. 比如,從膜圖景來(lái)看, D3 膜可以是我們生活的4 維時(shí)空,因此可能與我們的現(xiàn)實(shí)世界有關(guān). 我們有兩種第二類(lèi)超弦理論, 通常稱(chēng)為IIA和IIB超弦理論. 除相應(yīng)的非微擾Dp膜和NS5膜外, 每一個(gè)僅包括閉弦, 都要求時(shí)空維度為10, 具有兩個(gè)時(shí)空超對(duì)稱(chēng).它們的區(qū)別是前者不是一個(gè)手征理論(即兩個(gè)超對(duì)稱(chēng)具有相反的手征性)而后者是(兩個(gè)超對(duì)稱(chēng)具有同樣的手征性). 對(duì)于IIA 理論,p可分別取0,2,4,6,8 , 而對(duì)于IIB,p=?1,1,3,5,7,9 . 這里p=?1 代表D 瞬子,p=9 通常又稱(chēng)為時(shí)空填充(spacetime-filling)膜. 除p=9外, 一般總有p ?p′=2k(假定這里k=0,1,2,3,4 .

對(duì)于一張無(wú)窮延展的Dp膜, 其具有如下張力[5]:

它的質(zhì)量是該張力乘以其無(wú)窮大體積, 因此具有無(wú)窮大質(zhì)量. 這里gs是閉弦的耦合常數(shù), 與后面提到的D 膜的開(kāi)弦描述的開(kāi)弦耦合常數(shù)的關(guān)系為具有長(zhǎng)度平方量綱的常數(shù)α′與基本弦的張力關(guān)系為弦基本長(zhǎng)度也是弦理論的一個(gè)基本常數(shù).垂直于膜的方向上有漸近平坦的行為, 要求p6[3,4].對(duì)于p>6 ,時(shí)空都會(huì)有不好的奇異行為, 比如圓錐

如同把一個(gè)大質(zhì)量放入通常的四維時(shí)空, 當(dāng)把這樣一張具有無(wú)窮大質(zhì)量的Dp膜放入10 維平坦時(shí)空時(shí), 它也會(huì)引起周?chē)臅r(shí)空彎曲. 如果堅(jiān)持沿奇點(diǎn). 基于這一點(diǎn)以及后面要考慮的內(nèi)容, 從現(xiàn)在開(kāi)始限制即D 瞬子, 與要考慮的內(nèi)容沒(méi)有特別關(guān)系, 將不考慮它.

如果把N張重疊的Dp膜放入10 維平坦時(shí)空, 得到的時(shí)空度規(guī)為[3,4]

其中r是垂直于膜方向的徑向距離,x∥是Dp膜時(shí)空延展的方向, 而x⊥是垂直膜的方向. 這里參數(shù)kp ≈Ngsα′(7?p)/2(見(jiàn)文獻(xiàn)[6]中的討論). 如果弦耦合常數(shù)gs?1 使得gsN ?1 , 即使探測(cè)的距離上述度規(guī)基本是平坦的. 換句話(huà)說(shuō), 在弱耦合情況下把N張重疊的D 膜放入平坦時(shí)空, 該時(shí)空即使在弦尺度下仍然保持平坦. 也就是說(shuō)在弱耦合下可以把D 膜看成是剛性的. 這也是后面討論的出發(fā)點(diǎn).

D 膜有一個(gè)重要的特性, 它具有兩種等效的描述: 開(kāi)弦描述和閉弦描述. 當(dāng)弦耦合常數(shù)大時(shí), 其僅有的描述為保持一半時(shí)空超對(duì)稱(chēng)的孤子態(tài)或孤子解, 通常稱(chēng)為1/2 BPS 態(tài). 比如其重要的作為孤子的特性是(1)式表示的張力與開(kāi)弦的耦合常數(shù)平方成反比, 但僅僅與閉弦的耦合常數(shù)本身成反比. 因此嚴(yán)格來(lái)說(shuō), D膜不完全是閉弦的孤子而應(yīng)看成開(kāi)弦的孤子. 當(dāng)弦的耦合常數(shù)很小時(shí), 如上文所述D 膜本身可看成是剛性的, 其動(dòng)力學(xué)可以用閉弦或開(kāi)弦的微擾理論來(lái)研究. 從閉弦角度, D膜可以用所謂的邊界態(tài)來(lái)描述(一種弦理論的相干態(tài), 見(jiàn)文獻(xiàn)[16,17]). 除最低階的一些研究, 通常用這種描述還是很困難的. 從開(kāi)弦角度, D膜的動(dòng)力學(xué)可以用一個(gè)滿(mǎn)足一定邊界條件的微擾開(kāi)弦來(lái)刻畫(huà)[5]. 這是D 膜作為一個(gè)非微擾客體最重要的特性, 即一個(gè)非微擾的動(dòng)力學(xué)客體存在一個(gè)微擾理論的描述. 這也是弦理論中特有的現(xiàn)象.

圖1 D膜Fig. 1. D-brane.

這種開(kāi)弦需要滿(mǎn)足的邊界條件如下: 開(kāi)弦的兩個(gè)端點(diǎn)在沿Dp延展的方向滿(mǎn)足所謂的紐曼(Neumann)邊界條件而在垂直膜方向上滿(mǎn)足所謂的狄里克萊(Dirichlet)邊界條件, 如圖1所示. 當(dāng)考慮一張Dp膜時(shí), 這種開(kāi)弦的無(wú)質(zhì)量態(tài)給出的就是 ( 1+p) 維下的U(1) 超對(duì)稱(chēng)規(guī)范理論①如果是N 張重疊的Dp 膜, 對(duì)應(yīng)的無(wú)質(zhì)量態(tài)構(gòu)成 ( 1+p) 維的 U (N) 超對(duì)稱(chēng)規(guī)范理論., 具有(p ?1)矢量自由度, ( 9?p) 標(biāo)量自由度, 總共給出8個(gè)玻色自由度, 另外還有8個(gè)無(wú)質(zhì)量費(fèi)米自由度.如圖1所示, 開(kāi)弦的兩個(gè)端點(diǎn)分別帶大小相等、方向相反的U(1)電荷, 因此開(kāi)弦整體來(lái)說(shuō)沒(méi)有凈余的電荷. 通常又稱(chēng)這樣的開(kāi)弦為電中性開(kāi)弦. 第二類(lèi)超弦理論中描述D膜的開(kāi)弦都是這種電中性開(kāi)弦.

每一張(或N張重疊的)這種Dp膜保持1/2時(shí)空超對(duì)稱(chēng), 稱(chēng)為1/2 BPS態(tài), 因此本身是穩(wěn)定的, 類(lèi)似穩(wěn)定真空態(tài). 如同量子電動(dòng)力學(xué)(QED)真空中虛的正反電子對(duì)漲落, 該Dp膜本身也有量子漲落, 表現(xiàn)為所謂的虛的正反開(kāi)弦對(duì), 如圖2 所示(暫時(shí)忽略圖中膜上加的電場(chǎng)).

圖2 虛開(kāi)弦對(duì)Fig. 2. Virtual open string pair.

在QED中, 如果對(duì)QED真空加一均勻電場(chǎng),我們知道該電場(chǎng)有一定的幾率把虛的正反電子對(duì)拉成可觀察的實(shí)的正反電子對(duì), 即著名的施溫格(Schwinger)對(duì)[18]. 這里自然會(huì)問(wèn), 如果在該Dp膜上加一個(gè)電場(chǎng)(該電場(chǎng)會(huì)作用在虛的正反開(kāi)弦對(duì)的帶電的端點(diǎn)), 是否也有一定的幾率把虛的正反開(kāi)弦對(duì)拉開(kāi)成為實(shí)的正反開(kāi)弦對(duì)？對(duì)單張Dp膜, 答案一般是否定的. 這是因?yàn)槊恳粋€(gè)開(kāi)弦兩端帶的電荷大小相等但符號(hào)相反, 所加的電場(chǎng)至多只能把每一個(gè)開(kāi)弦拉直, 但無(wú)法把該虛的正反開(kāi)弦對(duì)分離.有一種例外就是如果所加的電場(chǎng)達(dá)到所謂的臨界值, 即由弦張力決定的電場(chǎng), 這時(shí)該臨界電場(chǎng)可以把開(kāi)弦拉斷, 由此可以產(chǎn)生正反開(kāi)弦對(duì).

通常實(shí)驗(yàn)室可控的電磁場(chǎng)都不大(比如目前實(shí)驗(yàn)室可實(shí)現(xiàn)的最大均勻電場(chǎng)約 1010V/m ), 這也是至今未能在實(shí)驗(yàn)上觀察到施溫格對(duì)產(chǎn)生的主要原因(需要的電場(chǎng) 約 1018V/m ). 在可以預(yù)見(jiàn)的將來(lái)不可能在實(shí)驗(yàn)室條件下實(shí)現(xiàn)弦理論臨界電場(chǎng), 它的值比現(xiàn)有的實(shí)驗(yàn)室可以實(shí)現(xiàn)的最大電場(chǎng)至少大20個(gè)數(shù)量級(jí).

是否能在小于弦理論臨界電場(chǎng)的情況下仍然可以產(chǎn)生正反開(kāi)弦對(duì)？在沒(méi)有取向的玻色弦或第一類(lèi)(Type I)超弦理論中, 該問(wèn)題在20世紀(jì)90年代初已由Bachas 和Porrati[19,20]作出了回答,答案是肯定的. 由于所涉及的開(kāi)弦沒(méi)有取向, 開(kāi)弦的兩個(gè)端點(diǎn)所帶的電荷不必大小相等、方向相反,因此沒(méi)有這里出現(xiàn)的問(wèn)題. 但要把這種開(kāi)弦對(duì)的產(chǎn)生與四維時(shí)空的觀察聯(lián)系起來(lái), 必須要把26 維的玻色弦或10維的第一類(lèi)超弦緊致到四維時(shí)空. 這與我們的出發(fā)點(diǎn)不一樣. 我們希望提供一種不需要緊致化時(shí)空來(lái)檢驗(yàn)弦理論的手段. 這也是我們考慮具有取向的第二類(lèi)超弦理論中D 膜的原因.作用(因此是經(jīng)典的)的等價(jià)性是所謂開(kāi)弦/閉弦對(duì)偶的基礎(chǔ). 把這種對(duì)偶性應(yīng)用到p=3情形并考慮所謂的退耦極限就給出著名的AdS/CFT對(duì)應(yīng).

對(duì)上述兩張Dp膜系統(tǒng), 無(wú)論用開(kāi)弦描述還是用閉弦描述, 兩者間的相互作用有兩部分貢獻(xiàn). 一部分來(lái)自所謂R-R分部(sector), 給出的是兩張

描述D 膜動(dòng)力學(xué)的開(kāi)弦所具有的電中性是其固有的特性, 無(wú)法改變. 要期待產(chǎn)生開(kāi)弦對(duì), 只能在開(kāi)弦?guī)щ姷膬啥思由喜煌耐怆妶?chǎng). 對(duì)同一張D 膜要做到這一點(diǎn)極其困難, 這要求在弦尺度上有大的電場(chǎng)梯度, 現(xiàn)實(shí)中這是不可能的. 一種比較可取且簡(jiǎn)單的做法是考慮平行放置且有一定間距的兩張Dp膜. 這時(shí)的開(kāi)弦漲落有三種可能. 其中的兩種是漲落的虛的正反開(kāi)弦對(duì)的四個(gè)帶電端點(diǎn)分別落在第一張Dp膜或第二張Dp膜上. 但這兩種中的任一種與單張Dp膜一樣不可能給出開(kāi)弦對(duì)的產(chǎn)生. 還有一種情況就是虛的開(kāi)弦對(duì)其中的兩個(gè)端點(diǎn)落在一張Dp膜上, 另外兩個(gè)端點(diǎn)落在另一張Dp膜上. 在沒(méi)有加任何膜上電場(chǎng)的情況下, 這種開(kāi)弦漲落描述的是兩膜間的開(kāi)弦單圈環(huán)帶相互作用(annulus amplitude). 它可以看成一根虛的開(kāi)弦, 一個(gè)端點(diǎn)落在第一張Dp膜上而第二個(gè)端點(diǎn)落在第二張Dp膜上, 繞時(shí)間方向轉(zhuǎn)了一個(gè)閉合時(shí)間圈. 由于弦理論具有共形對(duì)稱(chēng)性, 這種開(kāi)弦的真空單圈效應(yīng)等價(jià)于第一張Dp膜在某時(shí)刻發(fā)出一根虛的閉弦, 傳播一段時(shí)間, 然后被第二張Dp膜吸收(類(lèi)似于用量子場(chǎng)論計(jì)算兩個(gè)電荷間的庫(kù)侖相互作用或兩個(gè)靜止質(zhì)量間的牛頓相互作用). 這種相互作用通常被稱(chēng)為閉弦的樹(shù)圖柱面相互作用(cylinder amplitude), 可以由圖3 表示. 這種開(kāi)弦單圈相互作用(因此是量子的)與閉弦的樹(shù)圖相互Dp膜帶同樣所謂R-R 電荷引起的排斥相互作用.另一部分來(lái)自所謂的NS-NS 分部(sector), 給出的是兩張Dp膜具有張力(因此有質(zhì)量)引起的相互吸引作用. 由于每一張膜都是1/2 BPS, 其質(zhì)量和RR 電荷在一定單位制下相同, 由此給出這兩張Dp膜間的兩部分相互作用大小相等但符號(hào)相反,因此總的相互作用為零. 換句話(huà)說(shuō), 平行放置有一定間距的兩張Dp膜間沒(méi)有相互作用, 因此與單張Dp膜一樣仍然是1/2 BPS.

圖3 閉弦樹(shù)圖相互作用與開(kāi)弦單圈相互作用的等價(jià)性Fig. 3. The equivalence of a closed string tree-level cylinder amplitude and an open string one-loop annulus amplitude.

現(xiàn)在再回到原來(lái)的有關(guān)開(kāi)弦對(duì)產(chǎn)生的問(wèn)題. 上述提到的一根虛的開(kāi)弦轉(zhuǎn)了一個(gè)閉合時(shí)間圈也可以看成一根虛的開(kāi)弦和一根虛的反開(kāi)弦在某時(shí)刻產(chǎn)生, 過(guò)了一段時(shí)間又相互湮滅, 見(jiàn)圖4. 如果在第一張Dp膜上加的電場(chǎng)不同于第二張Dp膜上加的電場(chǎng), 不難看出這兩根虛的開(kāi)弦端點(diǎn)所受的力會(huì)使它們分離, 因此存在一定的幾率產(chǎn)生正反開(kāi)弦對(duì).換句話(huà)說(shuō), 即使不做任何計(jì)算(后面會(huì)用計(jì)算證實(shí)這一點(diǎn)), 這種簡(jiǎn)單的物理分析會(huì)告訴我們這樣的簡(jiǎn)單系統(tǒng)一定會(huì)產(chǎn)生正反開(kāi)弦對(duì).

圖4 一根虛開(kāi)弦轉(zhuǎn)一個(gè)閉合時(shí)間圈等價(jià)于虛正反開(kāi)弦對(duì)的產(chǎn)生和湮滅Fig. 4. A virtual open string circulating a closed time loop can be viewed as a pair of virtual open stringand virtual anti open string creating and annihilating.

本文將探討這種開(kāi)弦對(duì)的產(chǎn)生以及在什么情況下這種開(kāi)弦對(duì)產(chǎn)生有增強(qiáng)效應(yīng). 我們最關(guān)心的是在何種情況下這種增強(qiáng)的開(kāi)弦對(duì)產(chǎn)生可以在地球?qū)嶒?yàn)室給予檢驗(yàn), 從而為檢驗(yàn)弦理論提供一種全新的方法. 因分析這種開(kāi)弦對(duì)的產(chǎn)生涉及到計(jì)算兩膜間的相互作用(注意當(dāng)膜上帶有不同的電磁場(chǎng)時(shí),兩膜間的相互作用一般不為零). 為此, 將要討論如何計(jì)算帶有一般世界體常數(shù)電磁場(chǎng)、平行放置、具有一定橫向間距的一張Dp膜和另一張膜(不失一般性假設(shè)間的相互作用. 這里“橫向”的意思是指垂直于Dp膜的方向或?qū)p膜上的觀察者來(lái)說(shuō)是額外維空間的方向.

2 D 膜邊界態(tài)及一般閉弦樹(shù)圖柱面振幅的計(jì)算

利用D膜的邊界態(tài)表示來(lái)討論計(jì)算前述兩張D 膜間的相互作用. 本節(jié)將參照文獻(xiàn)[14]對(duì)D 膜邊界態(tài)給一個(gè)簡(jiǎn)單介紹. 有關(guān)D 膜邊界態(tài)較全面的介紹, 請(qǐng)參看文獻(xiàn)[16,17]. 如前所述, 描述一個(gè)D 膜有兩部分, 稱(chēng)為NS-NS 分部(sector)和RR 分部(sector). 對(duì)于每一分部, 對(duì)D膜的邊界條件還有兩種選取的方式, 給出兩個(gè)邊界態(tài)|, 這里η=±. 然而, 只有下面的組合:

才分別是NS-NS 和R-R分部(sector)滿(mǎn)足所謂Gliozzi-Scherk-Olive(GSO)投影所選擇的邊界態(tài).對(duì)于一張Dp膜, 上述邊界態(tài)|可以表述為物質(zhì)部分和鬼部分貢獻(xiàn)的乘積, 具體為[16,17,21],

其中

如文獻(xiàn)[17,22]所指出, 上述Dp膜邊界態(tài)的算子結(jié)構(gòu)即使在帶有一般世界體常電磁通量情況下也是成立的, 對(duì)玻色物質(zhì)場(chǎng)Xμ, 有如下一般的形式:

而對(duì)R-R分部

鬼邊界態(tài)與膜上電磁通量無(wú)關(guān), 它們具有標(biāo)準(zhǔn)的形式, 這里將不列出其具體的形式, 可以參考文獻(xiàn)[21]. 膜上電磁通量的信息分別由上述M矩陣, 玻色零模|BX0和R-R分部的費(fèi)米零膜|Bψ,η0R所刻畫(huà)[17,22?25]. 具體為

和

上面的約定為: 希臘指標(biāo)α,β,···標(biāo)記的是膜延展的時(shí)空方向0,1,··· ,p而拉丁指標(biāo)i,j,···代表的是垂直于膜的空間方向, 即p+1,··· ,9 .|代表R-R分部的真空態(tài).還定義了無(wú)量綱的電磁通量其中F是膜世界體上的通常常數(shù)電磁場(chǎng).yi標(biāo)記Dp膜沿其橫向方向的位置,C是電荷共軛矩陣,U為如下矩陣:

其中符號(hào);; 標(biāo)記上面指數(shù)展開(kāi)的每一項(xiàng)中的10 維Γ矩陣指標(biāo)為反對(duì)稱(chēng)化. 另外, 注意上面的η標(biāo)記正反號(hào)±或膜世界體閔氏平坦度規(guī), 這很容易從相關(guān)表達(dá)式的具體形式看出.

有上面的準(zhǔn)備, 就可以計(jì)算如前所述的一張Dp膜和一張Dp′膜間的閉弦樹(shù)圖柱面相互作用振幅, 具體為

其中D是閉弦傳播子

其中L0和分別是考慮超鬼、鬼和物質(zhì)場(chǎng)貢獻(xiàn)的左行和右行總的零模Virasoro 生存元. 比如這 里和分別為物質(zhì)場(chǎng)物質(zhì)場(chǎng)鬼b和c, 以及超鬼β和γ對(duì)應(yīng)的貢獻(xiàn), 它們的具體表達(dá)式可以在任何標(biāo)準(zhǔn)超弦理論的討論中找到, 比如參考文獻(xiàn)[16], 因此這里不再列出.

如前所述, 總的相互作用振幅有兩部分貢獻(xiàn),一部分來(lái)自所謂的NS-NS 分部, 另一部分來(lái)自RR 分部. 可將此表達(dá)為Γp,p′=ΓNSNS+ΓRR. 在計(jì)算ΓNSNS或ΓRR, 要記住應(yīng)該用(3)式給的GSO 投影邊界態(tài).

由前述邊界態(tài)的結(jié)構(gòu), 振幅Γ(η′η) 可有如下的因子化

這里有

上面的鬼矩陣元Abc和超鬼矩陣元AβΓ(η′η) 與所涉及的D 膜維度以及所帶電磁通量無(wú)關(guān), 可以分別直接計(jì)算得到

和NS-NS 分部的

以及R-R 分部的

有了上述準(zhǔn)備, 對(duì)所考慮的系統(tǒng)可以開(kāi)始計(jì)算相應(yīng)閉弦樹(shù)圖柱面振幅. 接下來(lái), 將先計(jì)算p=p′情形下的閉弦樹(shù)圖柱面振幅. 我們將看到, 這一計(jì)算也為計(jì)算p?=p′情形下的相應(yīng)振幅奠定了基礎(chǔ).這里的討論主要基于文獻(xiàn)[11,14]給出的一般步驟.一旦獲得閉弦樹(shù)圖柱面振幅, 相應(yīng)的開(kāi)弦單圈環(huán)帶(annulus)振幅可由該閉弦振幅通過(guò)一個(gè)雅可比變換得到. 將在接下來(lái)的兩節(jié)討論這些.

3 相互作用振幅及其特性: p =p′ 情形

由前節(jié)討論不難知道閉弦樹(shù)圖柱面振幅的計(jì)算主要是計(jì)算(17)式中物質(zhì)場(chǎng)矩陣元AX和Aψ.為此, 我們希望指出(9)式矩陣M的如下特性

可以用來(lái)極大簡(jiǎn)化這一計(jì)算, 其中T標(biāo)記矩陣的轉(zhuǎn)置. 對(duì)于平行放置且有一定間距y的兩個(gè)Dp膜,其中一個(gè)膜帶一般電磁通量而另一個(gè)帶, 在文獻(xiàn)[11]中已經(jīng)計(jì)算了

NS-NS 分部的

及R-R 分部的

其中矩陣M或M′由(9)式給出, 對(duì)應(yīng)的電磁通量分別為或, I 代表單位矩陣. 矩陣w(1+p)×(1+p)可用矩陣s和s′表述為

這里

s′與s的表達(dá)式一樣, 就是把通量換為注意s中的兩個(gè)矩陣因子 ( I) 和 ( I+)?1是可以交換的,s′也類(lèi)似. 這里“ I ”代表 ( 1+p)×(1+p) 單位矩陣. 矩陣s滿(mǎn)足關(guān)系矩陣s′和矩陣w也滿(mǎn)足類(lèi)似的關(guān)系. 由此, 有

矩陣W來(lái)源于矩陣元(22)式或(23)式或(24)式的計(jì)算中通過(guò)對(duì)相關(guān)振動(dòng)模式, 比如的重新定義獲得. 這種重新定義振動(dòng)模式以及W矩陣所滿(mǎn)足的關(guān)系(28)式可以用來(lái)極大地簡(jiǎn)化相應(yīng)矩陣元的計(jì)算. 下面將用一個(gè)具體例子來(lái)演示如何得到矩陣W. 為得到(22)式的需要計(jì)算下列n>0的矩陣元,

這里|0標(biāo)記相應(yīng)的真空態(tài). 僅僅從簡(jiǎn)化上述等式右邊矩陣元計(jì)算的角度, 基于是一實(shí)矩陣, 可以定義因同樣滿(mǎn)足(21)式, 因此仍然有對(duì)易關(guān)系(這里n, m可正、可負(fù)). 真空態(tài)|0仍然為真空. 由上述的定義并利用矩陣M′的性質(zhì)(21)式, 也有對(duì)n>0 , 把和分別用上面定義對(duì)應(yīng)的和取代并代入(29)式的右邊, 有

這里W正好是(25)式給出的矩陣. 在(30)式中已拿掉上一撇的記號(hào)“′”. 文獻(xiàn)[14]的第3 節(jié)及附錄A 中仔細(xì)地討論了矩陣W的對(duì)角化及其本征值的性質(zhì), 有興趣的讀者請(qǐng)參考此文獻(xiàn). 下面將簡(jiǎn)單地總結(jié)一下結(jié)論. 對(duì)角化后, 矩陣元(30)式成為

該矩陣元的計(jì)算與沒(méi)有電磁通量時(shí)的計(jì)算沒(méi)有本質(zhì)差別, 因此得以極大地簡(jiǎn)化. 這里10個(gè)本征值λρ中有 ( 9?p)個(gè) 為1, 另外 ( 1+p)個(gè)對(duì)應(yīng)(26)式中定義的w(1+p)×(1+p)矩陣的本征值, 且具有如下特性: 對(duì)每一個(gè)本征值λ, 它的倒數(shù)λ?1也是本征值.換句話(huà)說(shuō), 該 ( 1+p)個(gè)本征值是成對(duì)出現(xiàn)的. 當(dāng)p為偶數(shù)時(shí), 其中必有一個(gè)本征值為1. 為討論方便,下面將按下列方式標(biāo)記成對(duì)出現(xiàn)的本征值, 即記為λα和其中α=0,1···[(p ?1)/2] 且當(dāng)p為偶數(shù)時(shí), 取最后一個(gè)本征值λ=1 . 這里 [ (p ?1)/2] 標(biāo)記(p ?1)/2 的整數(shù)部分. 比如p=6時(shí), 它給出整數(shù)2.

對(duì)于p6時(shí), 至多需要三個(gè)方程來(lái)確定相應(yīng)的本征值這里α=0,1,··· ,[(p ?1)/2] ,且當(dāng)p為偶數(shù)時(shí)還要加上一個(gè)本征值λ=1 . 具體的情況列在表1 中.

我們希望指出的是: 實(shí)際計(jì)算振幅時(shí), 表1中本征值所滿(mǎn)足的方程就足夠了, 并不需要具體求解相應(yīng)的本征值. 下面舉一個(gè)具體例子來(lái)給予說(shuō)明.為此, 考慮p=3 情形. 比如, (22)式中的如下乘積可用trw,(trw)2和t rw2來(lái)表示

換句話(huà)說(shuō), 矩陣元可以直接用電磁通量通過(guò)矩陣w來(lái)表示.

有了上面的準(zhǔn)備, 可以給出前節(jié)中的NSNS 或R-R 分部振幅(16)式的具體緊湊表達(dá)式.對(duì)NS-NS分部, 利用bc鬼矩陣元(18)式,βγ鬼矩陣元(19)式, 物質(zhì)場(chǎng)Xμ矩陣元(22)式以及物質(zhì)場(chǎng)ψμ矩陣元(23)式, 對(duì)應(yīng)的NSNS 振幅為

表1 對(duì)于p6 , 決定相應(yīng)本征值所需要的方程Table 1. The equations needed to determine the corresponding eigenvalues for p 6 .

表1 對(duì)于p6 , 決定相應(yīng)本征值所需要的方程Table 1. The equations needed to determine the corresponding eigenvalues for p 6 .

p 本征值滿(mǎn)足的關(guān)系0 λ=11 λ0+λ?0 1=trw 2 λ0+λ?0 1=trw ?1 λ=1,∑1∑13(λα+λ?α 1)=trw,(λ2α+λ?α 2)=trw2 α=0 α=0∑1∑14(λα+λ?α 1)=trw ?1,(λ2α+λ?α 2)=trw2 ?1, λ=1 α=0 α=0∑2∑2∑25(λα+λ?α 1)=trw,(λ2α+λ?α 2)=trw2,(λ3α+λ?α 3)=trw3 α=0 α=0 α=0∑2∑2∑26(λα+λ?α 1)=trw ?1,(λ2α+λ?α 2)=trw2 ?1,(λ3α+λ?α 3)=trw3 ?1,λ=1 α=0 α=0 α=0

類(lèi)似地, 對(duì)R-R 分部, 利用相應(yīng)的矩陣元(18)式, (20)式, (22)式和(24)式, 有

在獲得上述振幅的過(guò)程中, 利用了如下的一些關(guān)系

這里利用了緊接著(5)式后面給出的cp的顯式以及前面給的|z|=e?πt. 上面R-R 振幅中的零模貢獻(xiàn)

由(33)式和(34)式, 并利用(15)式, 得到如下GSO投影的NSNS 振幅:

以及GSO 投影的RR 振幅:

其中

在獲得(39)式時(shí), 利用了零模(37)式只有當(dāng)ηη′=+時(shí)才不為0的特性.

進(jìn)一步, 為方便后面的討論, 將本征值重新表述為λα=e2πiνα, 其中α=0,···[(p ?1)/2] . 對(duì)每一個(gè)να, 它的取值要么是實(shí)的, 要么是純虛的. 對(duì)于前者, 考慮到RR 振幅中零模的貢獻(xiàn)(具體見(jiàn)文獻(xiàn)[14]中附錄B 的討論), 有να ∈[0,1) . 對(duì)于后面這種情形, 可以證明(見(jiàn)文獻(xiàn)[14]附錄A)在所有的να中, 最多只有一個(gè)可以取虛值. 通常取因λ+λ?1=只需取中最多只有一個(gè)可以取虛值主要源于矩陣w((26)式)是一個(gè)一般洛倫茲變換, 而計(jì)算的相互作用振幅是一個(gè)洛倫茲不變量. 當(dāng)所加的電場(chǎng)一般不能通過(guò)一個(gè)洛倫茲變換消除時(shí), 就有這樣一個(gè)虛的ν出現(xiàn).

有了上面的準(zhǔn)備, 現(xiàn)在可以用θ函數(shù)和Dedekindη函數(shù)(這些函數(shù)的定義請(qǐng)參考文獻(xiàn), 比如文獻(xiàn)[27])來(lái)簡(jiǎn)潔地表達(dá)NSNS 振幅:

類(lèi)似地, 對(duì)RR 振幅((39)式), 也有

其中零模貢獻(xiàn), 由文獻(xiàn)[14]附錄B 得

盡管看上去不是很明確, 上面振幅表達(dá)式方括號(hào)中的三項(xiàng)每一項(xiàng)都是四個(gè)同類(lèi)型θ函數(shù)的乘積. 為方便和明確起見(jiàn), 在表2 中列出了每一種情況.

表2 振幅表達(dá)式((44)式)方括號(hào)中 θ 項(xiàng)及其簡(jiǎn)化Table 2. The θ -terms in the square bracket in Eq. (44) and their simplification.

在表2 中, 還利用了文獻(xiàn)[28]中有關(guān)θ函數(shù)的如下恒等式

其中w′,x′,y′和z′與w,x,y,z有如下的關(guān)系:

特別地,θ1(0|τ)=0 . 由表2, 可以觀測(cè)到p=4 或 3 ,p=2 或 1 及p=0 情形可以通過(guò)p=6 或5情形分別取ν2=0 ,ν2=ν1=0 以及ν2=ν1=ν0=0 或它們相應(yīng)的極限獲得. 只要取相應(yīng)的極限, 這一特性使得對(duì)應(yīng)的p=p′ <5 的振幅((44)式)可以看成p=p′=6 或 5時(shí)的振幅在如下表達(dá)式意義下的一種特例:

其中

從(47)式中的第一個(gè)等式, 通過(guò)積分變量t的雅可比變換t→t′=1/t, 可以獲得相應(yīng)的開(kāi)弦單圈環(huán)帶(annulus)振幅為

在獲得(51)式第一個(gè)等式時(shí), 利用了θ1函數(shù)和Dedekindη函數(shù)的如下特性:

而在(51)式第二個(gè)等式中, 已經(jīng)去掉t上的一撇. 在有電場(chǎng)出現(xiàn)時(shí), 考慮其中一個(gè)να, 比如ν0是虛的情況.為此, 取其中對(duì)這種情況, 開(kāi)弦單圈環(huán)帶(annulus)振幅(51)式的第二式可寫(xiě)為

這里的Zn仍由(52)式給出, 只是現(xiàn)在考察振幅(56)式中的被積函數(shù), 注意到其分母中有一個(gè)因子它在正t軸上(注意積分變量t>0 )有無(wú)窮多零點(diǎn), 發(fā)生在這里k=1,2,···. 這些零點(diǎn)是該被積函數(shù)的單極點(diǎn), 恰好反映前面討論的在加電場(chǎng)時(shí)系統(tǒng)的不穩(wěn)定性, 即系統(tǒng)在這些極點(diǎn)處產(chǎn)生正反開(kāi)弦對(duì), 釋放由所加電場(chǎng)造成的多余能量使其衰變成能量更低的穩(wěn)定狀態(tài). 由文獻(xiàn)[19], 該系統(tǒng)單位體積非微擾衰變率是該被積函數(shù)在這些極點(diǎn)處留數(shù)的和并乘以 π , 結(jié)果為

其中

下面將討論相互作用振幅(47)式或(51)式及正反開(kāi)弦對(duì)產(chǎn)生率(59)式的一般特性. 對(duì)每一具體p的相互作用一般特性(排斥還是吸引)的討論,可參考文獻(xiàn)[14]. 這里將主要相關(guān)結(jié)論總結(jié)一下.采用的約定為: 振幅大于零對(duì)應(yīng)吸引相互作用, 而振幅為負(fù)對(duì)應(yīng)排斥相互作用. 研究[14]發(fā)現(xiàn): 1)當(dāng)三個(gè)參數(shù)ν0,ν1,ν2至少有一個(gè)為零或其中有一個(gè)為虛數(shù)時(shí), 對(duì)應(yīng)的相互作用為吸引; 2)僅當(dāng)這三參數(shù)都為實(shí)且都不為零時(shí), 排斥相互作用才有可能, 即僅當(dāng)p=6時(shí)才有可能. 具體分兩種子情形來(lái)討論: a)ν0+ν1+ν2<2 , 這 里να ∈[0,1) ,α=0,1,2. 當(dāng)這三個(gè)參數(shù)中最大的一個(gè)小于另外兩個(gè)之和時(shí), 對(duì)應(yīng)的相互作用為排斥; 反之, 相互作用則為吸引. b)ν0+ν1+ν2>2 . 不難驗(yàn)證, 給定να ∈[0,1) , 三個(gè)參數(shù)中最大的只能小于另外兩個(gè)之和, 這時(shí)對(duì)應(yīng)的相互作用為吸引. 換句話(huà)說(shuō),這種情況下相互作用只能是吸引的. 另外一種特殊情況是ν0+ν1+ν2=2 , 對(duì)應(yīng)的相互作用為零.

下面解釋為何閉弦柱面振幅(47)式, 只要取前面提到的ν2=0 或ν2=ν1=0 或ν2=ν1=ν0=0 就可以得到p=p′ <5 各種情形下對(duì)應(yīng)的振幅.在利用D 膜邊界態(tài)計(jì)算平行放置且有一定間距的兩張同維度或不同維度的D 膜間柱面振幅時(shí), 對(duì)應(yīng)每一個(gè)D 膜世界體的維度信息僅體現(xiàn)在它的M矩陣(9)式, 玻色零模(10)式以及物質(zhì)場(chǎng)RR 分部費(fèi)米零模(11)式中. 其他的都與這一維度無(wú)關(guān). 首先來(lái)仔細(xì)考察該M矩陣. 為方便起見(jiàn), 將其在這里重寫(xiě)一下,

其中α,β標(biāo)記沿膜的方向而i,j標(biāo)記垂直該膜的方向. 比如, 作為一個(gè)例子, 先考慮D6 膜. 這里有α,β=0,1,···6 及i,j=7,8,9 . 對(duì)其他的偶數(shù)p<6的Dp膜, 有沿膜方向α′,β′=0,1,···p, 垂直膜方向i′,j′=p+1,···9?p. 對(duì)應(yīng)一般世界體電磁通量的Mp矩陣可以看成為D6 膜M6矩陣的一種特殊情形. 對(duì)偶數(shù)p<6 的Dp膜, 有

現(xiàn)將α′,β′=0,1,··· ,p擴(kuò)展到α,β=0,1,···6以及Fp到F6并將之取如下特別的形式,

基于這種特殊選擇, 當(dāng)對(duì)所有k=1,··· ,(6?p)/2對(duì)應(yīng)磁通量取極限該M6矩陣正好給出Mp矩陣. 下面來(lái)具體看看細(xì)節(jié). 對(duì)于所取特殊通量(62)式, 有

對(duì)所有k=1,··· ,(6?p)/2 取極限gk →∞, 上面的(M6)αβ=((Mp)α′β′,?δk′l′) , 其中k′,l′=p+1,···6 .這樣就有M6=((Mp)α′β′,?δi′j′)=Mp. 換句話(huà)說(shuō),Mp實(shí)際上可看成為D6世界體通量取上述特殊情況下M6的一種特殊形式而已. 同樣的討論也適合從p=5 得到奇p<5 的情形.

同樣的結(jié)論也適合R-R 零模對(duì)振幅的貢獻(xiàn)(43)式. 相關(guān)的具體討論及細(xì)節(jié)請(qǐng)參考文獻(xiàn)[14]中的附錄B. 這兩方面的考慮解釋了振幅(47)式中被積函數(shù)中的如下部分:一般來(lái)說(shuō), (64)式對(duì)p=p′=5 或6適用. 但只要對(duì)應(yīng)的通量取如(62)式的特殊形式并取相應(yīng)的極限,(64)式就會(huì)約化為p=p′ <5 情形下期待的表達(dá)式. 然而, 玻色零模(10)式的情況卻不一樣. 除整體因子外, 該零模的其他部分與所加通量無(wú)關(guān), 因此上述對(duì)M矩陣和R-R 零模的技巧在這里不適用. 正是如此, 該零模對(duì)振幅的貢獻(xiàn)正好給出了被積函數(shù)的如下因子

其中VNN=Vp+1標(biāo)記Dp膜的世界體的體積(NN 代表開(kāi)弦的兩個(gè)端點(diǎn)同時(shí)滿(mǎn)足所謂紐曼邊界條件涉及世界體時(shí)空方向的個(gè)數(shù)), DD 代表開(kāi)弦的兩個(gè)端點(diǎn)同時(shí)滿(mǎn)足狄里克萊邊界條件空間方向的個(gè)數(shù). 這里有DD = 9?p. 很顯然,p=p′ <5時(shí)振幅(47)式中的被積函數(shù)因子t?(9?p)/2是不可能通過(guò)取特殊通量及取相關(guān)極限從p=p′=5 或 6 獲得的. 由此解釋了柱面振幅(47)式為何對(duì)p=p′ <5情形也適用.

下面來(lái)討論開(kāi)弦對(duì)產(chǎn)生率的可能增強(qiáng)效應(yīng), 目的是探討這種對(duì)產(chǎn)生在實(shí)驗(yàn)室探測(cè)的可能性. 已有的一系列研究表明[8,10,11,13,14](后面將以p=3 情況為例從物理角度給予解釋), 給出最大增強(qiáng)效應(yīng)的電磁場(chǎng)具有如下形式:

這里電磁場(chǎng)張量矩陣為 ( 1+p)×(1+p) 的方陣. 不難看出, 這一形式的電磁場(chǎng)要求對(duì)這種形式的電磁場(chǎng), 開(kāi)弦對(duì)產(chǎn)生率(59)式的具體表達(dá)式為

一般來(lái)說(shuō), 我們只能對(duì)我們所生活的膜加電磁場(chǎng), 對(duì)另外一張膜無(wú)法控制. 為簡(jiǎn)單起見(jiàn), 下面將另外一張膜上的電磁場(chǎng)設(shè)為零, 比如取另外, 目前實(shí)驗(yàn)室能實(shí)現(xiàn)的直流電場(chǎng)和磁場(chǎng)相對(duì)弦尺度來(lái)說(shuō)都非常小eE ≈這里me為電子的質(zhì)量(比如①我們沒(méi)有找到實(shí)驗(yàn)室目前能實(shí)現(xiàn)直流電場(chǎng)極限的相關(guān)文獻(xiàn). 這里引用的是趙政國(guó)教授提供給我們的相關(guān)信息. 在此對(duì)他表示感謝.對(duì)磁場(chǎng), 見(jiàn)參考文獻(xiàn)[29]). 通常在QED 中, 探測(cè)施溫格對(duì)需要的電場(chǎng)為對(duì)應(yīng)前面給出的E ≈1018V/m.如果取實(shí)驗(yàn)允許的最低弦標(biāo)度約幾個(gè)TeV[30],有由(69)式 ,有因 此基于此,反映在這種情況下只有開(kāi)弦最低模式對(duì)產(chǎn)生率有貢獻(xiàn). 對(duì)此,無(wú)量綱的開(kāi)弦對(duì)產(chǎn)生率為

對(duì)p=3 , 開(kāi)弦對(duì)產(chǎn)生率(70) 式可以用實(shí)驗(yàn)室下的電場(chǎng)E和磁場(chǎng)B重新寫(xiě)為

從D3膜觀察者的角度來(lái)說(shuō), 開(kāi)弦端點(diǎn)表現(xiàn)為帶電粒子,m就是該粒子的質(zhì)量. 下面從弦理論角度來(lái)理解上述產(chǎn)生率. 在沒(méi)有電磁場(chǎng)時(shí), 連接兩張D3 膜開(kāi)弦的質(zhì)量譜為

這里p=(k,0) ,k為沿世界體方向的時(shí)空動(dòng)量,NR和NNS分別為R 分部和NS分部的粒子數(shù)算子, 它們的標(biāo)準(zhǔn)表達(dá)式為:

先將產(chǎn)生率(71) 式與QED 相關(guān)的對(duì)產(chǎn)生率分別做一比較. 在電場(chǎng)和磁場(chǎng)同時(shí)出現(xiàn)時(shí), 帶電QED 標(biāo)量對(duì)和QED 旋量對(duì)產(chǎn)生率分別為[31,32]:

而帶電矢量玻色子(比如W-玻色子)對(duì)產(chǎn)生率為[33]

以上式子中, 質(zhì)量的下標(biāo)代表的是該粒子的自旋即ms. 在沒(méi)有磁場(chǎng)時(shí)(B=0 ), 如果取所有的質(zhì)量相等為m, 不難檢驗(yàn)有

上述結(jié)果表明, 如果所有自由度具有同樣的質(zhì)量(所帶電荷絕對(duì)值都為e), 在沒(méi)有磁場(chǎng)時(shí)每一個(gè)自由度正反荷對(duì)的產(chǎn)生率是一樣的. 這一結(jié)論可以從Wscalar=Wspinor/2=Wvector/3關(guān)系得出, 因一個(gè)標(biāo)量具有一個(gè)物理自由度, 一個(gè)旋量有兩個(gè)物理自由度, 而一個(gè)有質(zhì)量的矢量有三個(gè)物理自由度. 同時(shí)這也解釋了上面得到的W(1)與其他產(chǎn)生率的關(guān)系(78) 式. 再考慮另外一種情況, 即當(dāng)B/E很大時(shí)(對(duì)給定的E, 這意味著大磁場(chǎng)或有限的B但E ≈0). 這時(shí)有:

考察上面這些產(chǎn)生率, 首先發(fā)現(xiàn)它們的非指數(shù)因子完全與標(biāo)量對(duì)的一樣, 反映這種情況下對(duì)產(chǎn)生率的貢獻(xiàn)只有一個(gè)自由度對(duì). 對(duì)指數(shù)因子, 所加磁場(chǎng)對(duì)標(biāo)量、旋量和矢量情形下的影響各不一樣, 但這里的W(1)與矢量情況完全一致. 下面將對(duì)這些差別和相同之處給出解釋. 為此, 考慮一個(gè)質(zhì)量為ms,自旋為S帶正電e的粒子放入弱磁場(chǎng)B背景中的運(yùn)動(dòng), 其能譜為(見(jiàn)參考文獻(xiàn)[34])

其中g(shù)S(gyromagnetic ratio)為回旋磁比(這里gS=2 ),N為朗道能級(jí). 對(duì)最低朗道能級(jí)(N=0 ),由(80) 式有最低的能量為

它們分別對(duì)應(yīng)B·S=0, B/2, B. 換句話(huà)說(shuō), 當(dāng)S ?=0時(shí), 自旋沿著磁場(chǎng)方向的極化分量或自由度給出的是最低能量(對(duì)帶負(fù)電荷的粒子對(duì)應(yīng)自旋極化正好相反). 對(duì)自旋S=0 的標(biāo)量, 加上磁場(chǎng)后,其原有的能級(jí)提升, 源于該粒子在加磁場(chǎng)后零點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的貢獻(xiàn); 對(duì)自旋S=1/2 的費(fèi)米子, 自旋與磁場(chǎng)同方向極化的能級(jí)與磁場(chǎng)無(wú)關(guān), 仍由其靜止質(zhì)量決定, 但其與磁場(chǎng)相反方向的極化對(duì)應(yīng)的能量為對(duì)自旋S=1 , 自旋與磁場(chǎng)同方向的極化降低其原有能級(jí), 而對(duì)于另外兩個(gè)極化B·S=0,?B, 對(duì)應(yīng)的能級(jí)都比原有的提高. 由于這里沒(méi)有考慮加電場(chǎng), 因此可視為B/E →∞. 在這種情況下, 自旋S=1/2 的兩個(gè)極化對(duì)相應(yīng)的正反自由度對(duì)的產(chǎn)生來(lái)說(shuō), 它們的對(duì)產(chǎn)生率之比為e?2eB/E →0. 換句話(huà)來(lái)說(shuō), 任何相對(duì)最低能量態(tài)高的能量態(tài)對(duì)產(chǎn)生率都可以視為零. 也就是說(shuō), 最多只需要考慮最低能量極化的對(duì)產(chǎn)生率. 這一結(jié)論同樣適用自旋S=1 情況. 總結(jié)一下, 當(dāng)B/E很大時(shí),對(duì)每一給定自旋, 只有自旋沿磁場(chǎng)方向這一極化對(duì)對(duì)產(chǎn)生率有貢獻(xiàn), 對(duì)應(yīng)的能量由(81) 式?jīng)Q定. 也就是說(shuō), 貢獻(xiàn)給對(duì)產(chǎn)生的只有一個(gè)自由度. 這解釋了為何(79) 式中各種自旋對(duì)產(chǎn)生率非指數(shù)因子完全一樣, 這同時(shí)也解釋了(79) 式中各種自旋對(duì)產(chǎn)生率中指數(shù)因子對(duì)磁場(chǎng)的關(guān)系. 當(dāng)B/E很大時(shí), 不同自旋的對(duì)產(chǎn)生率可以統(tǒng)一表述為

其中ES對(duì)不同自旋對(duì)應(yīng)(81) 式中相關(guān)量. 上面的討論同時(shí)說(shuō)明, 如果不同自旋的帶電粒子具有同樣的質(zhì)量, 當(dāng)B/E很大時(shí), 最低能量的矢量極化對(duì)產(chǎn)生率將遠(yuǎn)大于標(biāo)量和旋量對(duì)產(chǎn)生率. 產(chǎn)生矢量粒子對(duì)將是最可能的. 這也解釋了為何在B/E大時(shí),W(1)與矢量對(duì)產(chǎn)生率一致.

從前面的討論知道, 對(duì)產(chǎn)生率(71) 式實(shí)際上是5個(gè)帶電標(biāo)量對(duì), 4個(gè)帶電旋量對(duì)以及1個(gè)帶電矢量對(duì)的貢獻(xiàn), 這些自由度都具有同樣的質(zhì)量. 由此, 當(dāng)取所有自由度具有同樣質(zhì)量m時(shí), 我們期待有下列關(guān)系

可以利用弦理論計(jì)算結(jié)果(71) 式和場(chǎng)論計(jì)算結(jié)果(75) 式—(77) 式對(duì)(83) 式給予直接檢驗(yàn), 發(fā)現(xiàn)的確正確. 注意(83) 式左邊是弦理論計(jì)算結(jié)果而右邊是場(chǎng)論計(jì)算結(jié)果, 計(jì)算方式完全不同, 但物理上的考慮它們應(yīng)該一致. 這里驗(yàn)證了的確如此,這也從另一個(gè)角度說(shuō)明了計(jì)算的正確性, 理論上驗(yàn)證了弦理論的自洽性.

在結(jié)束本節(jié)前, 探討產(chǎn)生率(71) 式是否有觀測(cè)效應(yīng). 由于該系統(tǒng)在加電場(chǎng)和磁場(chǎng)前是超對(duì)稱(chēng)的, 歐洲核子中心大型強(qiáng)子對(duì)撞機(jī)目前沒(méi)有發(fā)現(xiàn)超對(duì)稱(chēng), 因此該公式中的質(zhì)量參數(shù)m應(yīng)該不小于TeV. 而實(shí)驗(yàn)室的電場(chǎng)和磁場(chǎng)eE ≈eB ≈10?8m2e遠(yuǎn)小于TeV, 因此在這種實(shí)驗(yàn)室條件下不可能探測(cè)到開(kāi)弦端點(diǎn)給出的正反電荷對(duì).

因此, 要尋求探測(cè)開(kāi)弦對(duì)產(chǎn)生的可能性, 需要考慮沒(méi)有加電磁場(chǎng)下的非超對(duì)稱(chēng)膜系統(tǒng). 如果這樣的系統(tǒng)可以有一個(gè)有效標(biāo)度與實(shí)驗(yàn)室可以實(shí)現(xiàn)的電場(chǎng)的標(biāo)度可比擬, 探測(cè)對(duì)應(yīng)的對(duì)產(chǎn)生就成為可能. 將在下一節(jié)中探討這種可能性.

4 相互作用振幅及其特性: p ?=p′ 情形

本節(jié)將首先計(jì)算兩個(gè)平行放置、有一定間距y、空間維度不一樣的Dp膜和 Dp′膜間的相互作用, 其中每一個(gè)都帶其膜上的一般常電磁通量. 不失一般性, 可以假設(shè)p>p′. 有p ?p′=κ=2,4,6且p6 . 本節(jié)將推廣上節(jié)使用的計(jì)算技巧從而可以利用前節(jié)p=p′計(jì)算的柱面(cylinder)振幅獲得本節(jié)p?=p′對(duì)應(yīng)的振幅. 一旦獲得了該柱面振幅,同樣可以用一個(gè)雅可比變換得到相應(yīng)的開(kāi)弦單圈環(huán)帶(annulus)振幅, 討論相關(guān)振幅的特性并在有電場(chǎng)出現(xiàn)的情況下討論對(duì)應(yīng)的開(kāi)弦對(duì)產(chǎn)生及探測(cè)的可能性.

上述提到的計(jì)算技巧應(yīng)用到這里就是把 Dp′膜上的一般通量按上節(jié)中把一個(gè)Dp膜(p<5 )上的通量擴(kuò)展到D5 或D6 膜上通量的類(lèi)似方式,擴(kuò)展到Dp膜上的通量換句話(huà)說(shuō), 首先把Dp′膜上的通量做如下擴(kuò)展:

其 中α,β=0,1,··· ,p;α′,β′=0,1,···p′及κ=2,4,6 . 與上節(jié)(p=p′)的情況一樣, 在計(jì)算的最后只要對(duì)每一個(gè)k=1,··· ,κ/2 對(duì)應(yīng)的磁通取極限這樣的擴(kuò)展就不會(huì)改變由(9)式給出當(dāng)前情況下對(duì)應(yīng)的矩陣以及物質(zhì)場(chǎng)RR 分部零模對(duì)振幅的貢獻(xiàn). 進(jìn)一步, 對(duì)物質(zhì)玻色場(chǎng)零模做同樣的考慮時(shí), 與前一節(jié)不一樣, 這里得到了意外的結(jié)果. 下面來(lái)對(duì)此給予具體的解釋. 按常規(guī), 如同(65)式一樣, 這里物質(zhì)玻色場(chǎng)零模對(duì)振幅的貢獻(xiàn)為

對(duì)目前的情形, 有VNN=Vp′+1和 DD=9?p. 如果采用前面提到的技巧, 則有

比較這兩者, 可以注意到一個(gè)好的特點(diǎn), 即兩者對(duì)t的依賴(lài)關(guān)系完全一樣. 它們的差別發(fā)生在對(duì)t無(wú)關(guān)的部分. 由(84)式 , 當(dāng)對(duì)每一個(gè)k=1,··· ,κ/2對(duì)應(yīng)的磁通量取極限有由此有

其中p?p′=κ且耦合前面的系數(shù)標(biāo)記著 Dp′膜以其張力為單位的量子化荷N. 換句話(huà)說(shuō), 有

即

由此, (86) 式可表述為

在上面(93)式的第一個(gè)等式中Γp,p是用擴(kuò)展的通量((84) 式)得到的柱面振幅(47)式 , 在第二個(gè)等式中用了Vp+1=Vp′+1Vκ以及(92)式,在第三個(gè)等式中用了表達(dá)式以及Cn繼續(xù)由(48)式給出. 另外, 在上面取了必要的極限(k=1,···κ/2 ), 前節(jié)中有關(guān)να的討論同樣適用這里. 顯然上面的柱面振幅的基本結(jié)構(gòu)與前節(jié)討論的p=p′情形一致. 由此我們期待同樣的振幅特性, 比如相互作用的本質(zhì)(吸引還是排斥)以及可能的不穩(wěn)定性. 相關(guān)的討論見(jiàn)文獻(xiàn)[14]且結(jié)論與前節(jié)p=p′時(shí)一致, 這里不再重復(fù). 對(duì)這里考慮的系統(tǒng), 我們也期待一些新的特點(diǎn)出現(xiàn), 將在本節(jié)的后面給予討論.

有了閉弦樹(shù)圖柱面振幅(94) 式, 對(duì)應(yīng)的開(kāi)弦單圈環(huán)帶振幅可從該式第一個(gè)等式通過(guò)一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的雅可比變換得到(具體見(jiàn)前節(jié)). 該開(kāi)弦單圈環(huán)帶振幅為

這里Zn繼續(xù)由(52) 式給出. 該開(kāi)弦單圈環(huán)帶振幅可以用來(lái)分析小y時(shí)的行為, 比如快子不穩(wěn)定性以及當(dāng)ν0為虛數(shù)的時(shí)候該系統(tǒng)通過(guò)產(chǎn)生開(kāi)弦對(duì)衰變的情況. 下面就這兩方面進(jìn)行討論.

這里驗(yàn)證當(dāng)ν0,ν1和ν2都為實(shí)且ν0+ν1+ν2<2時(shí), 如果這三個(gè)磁參數(shù)最大的大于另外兩個(gè)之和, 對(duì)應(yīng)的相互作用為吸引. 這時(shí)當(dāng)膜間間距小于一定值時(shí)就會(huì)出現(xiàn)快子不穩(wěn)定性. 當(dāng)ν0+ν1+ν2>2時(shí), 盡管這時(shí)最大的參數(shù)只能小于兩個(gè)之和且相互作用只能是吸引, 同樣也有快子不穩(wěn)定性出現(xiàn). 由于振幅(95) 式對(duì)ν0,ν1,ν2是對(duì)稱(chēng)的, 不失一般性, 可以假定我們知道να ∈[0,1) (α=0,1,2 ). 首先考慮ν0+ν1+ν2<2和ν2>ν0+ν1. 這時(shí)振幅的被積函數(shù)對(duì)t→∞表現(xiàn)為

這里

對(duì)這種情形, 取D3 和D1 膜上的通量分別為:

對(duì)上述通量, 由(94)式第二等式得到(ν2=0 )閉弦柱面振幅為

其中|z|=e?πt, 參數(shù)和ν1由下面相應(yīng)的公式 確定

這里

我們希望指出, 這里的衰變率以及對(duì)產(chǎn)生率對(duì)應(yīng)一般表達(dá)式(97)式和(99)式取p=3,p′=1,ν2=0以及通量為(97)式的特殊情形.

有了上面的開(kāi)弦對(duì)產(chǎn)生率, 下面來(lái)討論實(shí)驗(yàn)上探測(cè)這種開(kāi)弦對(duì)產(chǎn)生的可能性. 假設(shè)這里的D3膜就是人們生活的(1 + 3)維時(shí)空. 對(duì)這樣的D3/D1系統(tǒng), 只能控制D3 膜上(實(shí)驗(yàn)室)的電場(chǎng)和磁場(chǎng), 對(duì)D1 上的電場(chǎng)無(wú)法控制. 為簡(jiǎn)單起見(jiàn), 設(shè)定相對(duì)弦尺度, D3 膜上實(shí)驗(yàn)室電場(chǎng)和磁場(chǎng)都很小, 即和由此, 從(102) 式有和ν1?1/2 . 注意 到以及開(kāi)弦對(duì)產(chǎn)生率(106) 式成為

在討論產(chǎn)生率(107) 式的用處之前, 先來(lái)確定該產(chǎn)生率起源于哪些開(kāi)弦模式. 為方便這里的討論, 采用本節(jié)開(kāi)始用的技巧, 即把這里的D1 有效地看成帶一個(gè)沿2和3方向無(wú)窮大的磁通的D3 膜. 該磁通的具體形式如下:

這里p=(k,0) , 其中k是沿膜方向上的動(dòng)量,NR和NNS分別是標(biāo)準(zhǔn)的R分部和NS 分部的粒子數(shù)算子, 它們的具體形式分別為:

當(dāng)y=0 , 每一個(gè)這種連接兩張D3 膜的超對(duì)稱(chēng)開(kāi)弦, 除有無(wú)窮多的質(zhì)量不為零的模式外, 還擁有16個(gè)無(wú)質(zhì)量模式, 其中8個(gè)為玻色自由度( 8B),8個(gè)為費(fèi)米自由度( 8F). 如果用D3 膜來(lái)描述這16個(gè)無(wú)質(zhì)量自由度, 它們對(duì)應(yīng)D= 4,N= 4 超對(duì)稱(chēng)U(2)規(guī)范理論中一個(gè)U(2)生存元. 當(dāng)y?=0 ,該生存元將破缺, 對(duì)應(yīng)的無(wú)質(zhì)量 8B(1個(gè)無(wú)質(zhì)量的矢量, 6個(gè)標(biāo)量)將獲得質(zhì)量, 成為1個(gè)有質(zhì)量的矢量, 5個(gè)有質(zhì)量的標(biāo)量(其中的一個(gè)無(wú)質(zhì)量標(biāo)量獲得真空期望值, 給出y?=0 ). 8個(gè)無(wú)質(zhì)量 8F將成為4個(gè)4 維有質(zhì)量Majorana 費(fèi)米子. 當(dāng)y=0→y ?=0,U(2)→U(1)×U(1) , 其中有兩個(gè)生存元破缺, 對(duì)應(yīng)的是兩根開(kāi)弦(正反開(kāi)弦對(duì))的無(wú)質(zhì)量模式獲得質(zhì)量, 沒(méi)有破缺的兩個(gè)U(1), 一個(gè)對(duì)應(yīng)的是人們生活的D3, 另一個(gè)對(duì)應(yīng)的是等效的D3. 從D3 膜上看, 一根開(kāi)弦的16個(gè)( 8B+8F)有質(zhì)量自由度每一個(gè)帶有對(duì)應(yīng)的沒(méi)有破缺的U(1)正電荷,另一根的16個(gè)( 8B+8F)自由度的每一個(gè)帶負(fù)電荷, 構(gòu)成了16對(duì)正反粒子對(duì), 其中1個(gè)矢量正反粒子對(duì), 5個(gè)標(biāo)量正反粒子對(duì), 4個(gè)Majorana 正反旋量粒子對(duì). 所有的這32個(gè)自由度都具有同樣的質(zhì) 量m=Tfy=y/(2πα′) , 對(duì) 應(yīng) (110)式 中NR=0, NNS=1/2. 所有這些自由度具有同樣的質(zhì)量源于規(guī)范對(duì)稱(chēng)破缺前后超對(duì)稱(chēng)沒(méi)有變化.

這里磁參數(shù)ν1由(109)式給定, 朗道能級(jí)沿23-向的自旋算子為

以及NS 分部沒(méi)有磁場(chǎng)的質(zhì)量譜為

現(xiàn)在

對(duì)自旋S=1 的態(tài)給出的質(zhì)量為零, 而y?=0 給出的質(zhì)量為非零. 后者也對(duì)應(yīng)上面提到的規(guī)范對(duì)稱(chēng)性破缺U(2)→U(1)×U(1) , 其中矢量玻色子的質(zhì)量m=y/(2πα′) .

由(117)式和(118)式不難看出, 自旋S=1的態(tài)具有最低能量, 為

其中ν1/2 通常稱(chēng)為快子移動(dòng)(tachyonic shift). 不難考察, 該最低能量就是接著開(kāi)弦產(chǎn)生率(107)式后定義的有效質(zhì)量meff. 這也暗示開(kāi)弦對(duì)產(chǎn)生率(107)式來(lái)源于一對(duì)具有上述能量的正反矢量極化模式. 其他模式以及其他自旋的各種極化模式對(duì)的貢獻(xiàn)在和的情況下都趨于零. 下面來(lái)解釋為何

與前節(jié)有關(guān)D3/D3 系統(tǒng)的討論不同[13], 即使對(duì)系統(tǒng)D3/D1 中的D3 膜上不加任何磁場(chǎng), 也有一個(gè)固有的ν1=1/2 . 這里的D1, 如上面的討論,等效地可看成一個(gè)帶無(wú)窮大磁通的D3. 正是如此,有因此在 2 (8F+8B) 中, 僅有一對(duì)具有相同最低能量或有效質(zhì)量的正反矢量極化對(duì)產(chǎn)生率有貢獻(xiàn), 給出產(chǎn)生率(107)式.

考慮探測(cè)這種對(duì)產(chǎn)生, 在生活的D3 膜上的實(shí)驗(yàn)室加共線(xiàn)的電場(chǎng)和磁場(chǎng)(100). 通常實(shí)驗(yàn)室的電場(chǎng)和磁場(chǎng)相對(duì)弦尺度(至少具有TeV 量級(jí), 見(jiàn)文獻(xiàn)[32]以及文獻(xiàn)[13]中的討論)都很小, 因此一般有以及從 (102)式有ν1?1/2 (因?qū)τ谶@種實(shí)驗(yàn)室所加的電場(chǎng)和磁場(chǎng), 這里把前節(jié)中D3/D3 系統(tǒng)的開(kāi)弦對(duì)產(chǎn)生率(71)式, QED 有質(zhì)量帶電矢量場(chǎng)對(duì)產(chǎn)生率(77)式[33]和這里計(jì)算的D3/D1 系統(tǒng)的產(chǎn)生率(107)式列在下面來(lái)做一個(gè)對(duì)比,

其中假定所有的模式都有相同的質(zhì)量m. 由前節(jié)的討論知,W(1)是D=4 ,N=4 有質(zhì)量超對(duì)稱(chēng)規(guī)范理論的對(duì)產(chǎn)生率, 包括5個(gè)帶電標(biāo)量對(duì), 4個(gè)帶電旋量對(duì)和1個(gè)帶電矢量對(duì)的貢獻(xiàn), 而QED 計(jì)算的Wvector僅包括1個(gè)矢量對(duì)的貢獻(xiàn). 所以這兩者的差異可以理解, 由(83)得以反映. 盡管W(1)是從弦理論計(jì)算得到的, 但在極限下, 它與 D =4 ,N=4有質(zhì)量帶電規(guī)范理論的計(jì)算結(jié)果應(yīng)該一樣.但有所不同. 從本節(jié)上面的討論知, 對(duì)其貢獻(xiàn)的只有一對(duì)具有最低能量的正反矢量模式, 而不是矢量場(chǎng)的三對(duì)模式. 由前節(jié)的討論知道, 如果B/E ?1, 也只有一對(duì)最低能量的矢量模式對(duì)W(1)和Wvector有貢獻(xiàn), 且

由上面的討論可知, 如果我們生活的世界可以看成為一張D3 膜且其附近(沿其垂直方向)有一張D1 膜, 就有可能探測(cè)到這種開(kāi)弦對(duì). 從D3 膜上的觀測(cè)者來(lái)說(shuō), 實(shí)際探測(cè)的是正反粒子對(duì)即正反開(kāi)弦對(duì)在D3 膜上的兩個(gè)帶正反荷的端點(diǎn), 比如由此給出的電流. 要探測(cè)到這種對(duì), 要求該D3 與D1 間的間距一方面這種要求使得D3 膜上任何實(shí)驗(yàn)室宏觀區(qū)域上的均勻電場(chǎng)和磁場(chǎng)都可以看成計(jì)算中使用的均勻電場(chǎng)和磁場(chǎng)(因這樣的宏觀尺度遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于膜間距y), 但另一方面這一要求對(duì)實(shí)現(xiàn)這樣要求的D3/D1 系統(tǒng)提出了挑戰(zhàn). 在快子凝聚發(fā)生前y>y0, D3和D1間的相互作用一般是吸引的, 這從(101)式或(103)式不難看出. 這一吸引力總可以使比較大的y能夠達(dá)到y(tǒng)?y0. 我們期待在量子引力起主導(dǎo)作用期間, 比如宇宙極早期, D3 和D1都會(huì)充滿(mǎn)10維時(shí)空. 在宇宙演化到今天(物質(zhì)為主以后),D3和D1間的吸引可能早已讓y達(dá)到y(tǒng)0, 并經(jīng)歷了快子凝聚, 形成了所謂1/2 BPS (D1, D3)束縛態(tài). 換句話(huà)說(shuō), D3 膜附近目前還存在這種D1 的幾率應(yīng)該不大, 這也使得探測(cè)這種正反開(kāi)弦對(duì)不可能那么容易, 更細(xì)節(jié)的討論見(jiàn)文獻(xiàn)[15].

5 討論與總結(jié)

本文系統(tǒng)地討論了作者之一及其合作者近10年來(lái)關(guān)于平行放置、有一定間距且?guī)б话闶澜珞w常電磁通量的兩個(gè)D 膜間的相互作用及其特性的研究工作. 這兩個(gè)D 膜的空間維度可以一樣, 也可以不一樣, 比如一個(gè)為Dp膜, 另一個(gè)為 Dp′膜,且不失一般性, 假設(shè)為保證在弱弦耦合情況下, 相關(guān)的D 膜在不遠(yuǎn)小于弦尺度下可以看成是剛性的, 則要求

對(duì)這樣的兩張D膜間的閉弦柱面振幅的一般表達(dá)式為

其中Cn繼續(xù)由(48)式給定. 對(duì)每一對(duì)p和p′(p?p′=0,2,4,6 及p6 ), 對(duì)應(yīng)的振幅, 如前兩節(jié)描述的, 可以看成上面一般公式(122)式的特殊情形. 對(duì)應(yīng)的開(kāi)弦單圈環(huán)帶振幅可以由(122)式通過(guò)所謂雅可比變換t →t′=1/t以及對(duì)應(yīng)的θ1函數(shù)和Dedekindη函數(shù)關(guān)系(55)式給出為

上面已經(jīng)去掉開(kāi)弦變量t上的一撇, 且Zn也繼續(xù)由(52)式給定. 如果三參數(shù)ν0,ν1,ν2其中之一, 比如ν0,是虛的, 對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)要經(jīng)歷所謂的開(kāi)弦對(duì)產(chǎn)生過(guò)程. 對(duì)應(yīng)系統(tǒng)的衰變率為

基于上述公式, 討論了振幅的相關(guān)特性, 比如膜間相互作用特性(吸引或排斥), 開(kāi)弦快子不穩(wěn)定性, 開(kāi)弦對(duì)產(chǎn)生及其增強(qiáng)效應(yīng). 當(dāng)p′p=6 且ν0,ν1,ν2三參數(shù)都為非零實(shí)數(shù)以及ν0+ν1+ν2<2時(shí),如果其中最大的參數(shù)大于另外兩個(gè)參數(shù)之和, 對(duì)應(yīng)的相互作用為吸引, 反之則為排斥. 當(dāng)相互作用為吸引且兩膜間的間距小于一定距離時(shí), 開(kāi)弦快子不穩(wěn)定性就會(huì)出現(xiàn). 如果相互作用為排斥, 則沒(méi)有快子不穩(wěn)定性. 然而, 當(dāng)ν0+ν1+ν2>2時(shí), 這時(shí)最大的參數(shù)只能小于其余兩個(gè)之和且相互作用是吸引的, 同樣也有快子不穩(wěn)定出現(xiàn). 當(dāng)p′p<6時(shí), 膜間相互作用只能是吸引. 相關(guān)的物理原因已在正文中討論, 這里不再重復(fù).

當(dāng)三參數(shù)ν0,ν1,ν2其中之一為虛數(shù)時(shí), 對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)將通過(guò)產(chǎn)生開(kāi)弦對(duì)衰變. 這體現(xiàn)在開(kāi)弦單圈振幅有一個(gè)虛部. 不失一般性, 取其中振幅虛部的出現(xiàn)源于所加的電場(chǎng). 當(dāng)所加的電場(chǎng)達(dá)到其臨界值時(shí), 有這時(shí)不難從(125)式看出開(kāi)弦對(duì)產(chǎn)生率變?yōu)闊o(wú)窮大, 開(kāi)弦對(duì)這時(shí)將雪崩式地產(chǎn)生, 給出系統(tǒng)的另一種不穩(wěn)定性. 對(duì)于一般的非臨界電場(chǎng), 開(kāi)弦對(duì)產(chǎn)生率在加一定的磁場(chǎng)時(shí)會(huì)有增強(qiáng)效應(yīng). 這種增強(qiáng)效應(yīng)從弦理論角度來(lái)看, 與加磁場(chǎng)時(shí)出現(xiàn)的快子移動(dòng)有關(guān), 在一般情況下為|其中ν1,ν2∈[0,1) . 這一移動(dòng)的出現(xiàn), 可以把有些開(kāi)弦態(tài)的質(zhì)量平方減小正是由于這些虛開(kāi)弦模式對(duì)的質(zhì)量減少, 使得它們?cè)诩油瑯与妶?chǎng)的情況下更容易從虛對(duì)被拉成實(shí)的正反開(kāi)弦對(duì).

因快子移動(dòng)越大, 增強(qiáng)效應(yīng)越大. 基于此, 我們希望保留ν1和ν2中最大的一個(gè), 而取相應(yīng)的磁場(chǎng)使得其中小的一個(gè)為零, 這樣給出的快子移動(dòng)|ν1?ν2|/2 為最大. 不失一般性, 通常取ν2=0 .現(xiàn)在的問(wèn)題是加什么樣的電場(chǎng)和磁場(chǎng)可以給出最大的增強(qiáng)效應(yīng).

在實(shí)際實(shí)驗(yàn)室情況下, 由于所加電場(chǎng)和磁場(chǎng)相對(duì)弦尺度都很小, 因此很小. 從(98)式不難看出,根據(jù)第三節(jié)討論的情形, 這時(shí)也有ν1?1 , 且D3/D3 系統(tǒng)會(huì)給出最大開(kāi)弦對(duì)產(chǎn)生率. 但由于該系統(tǒng)在加實(shí)驗(yàn)室電場(chǎng)和磁場(chǎng)前保持一般時(shí)空超對(duì)稱(chēng), 因此連接這兩個(gè)D3的最低開(kāi)弦質(zhì)量應(yīng)不小于幾個(gè)TeV[32], 遠(yuǎn)大于實(shí)驗(yàn)室電場(chǎng)或磁場(chǎng)對(duì)應(yīng)的標(biāo)度. 換句話(huà)說(shuō), 實(shí)驗(yàn)室所加的電場(chǎng)和磁場(chǎng)不可能使虛的開(kāi)弦對(duì)成為實(shí)的, 從而不能被探測(cè)到. 第3節(jié)仔細(xì)討論了這種情況. 在第4 節(jié)中, 討論了p?p′=2 系統(tǒng). 我們發(fā)現(xiàn)對(duì)D3/D1系統(tǒng), 即使在D3 上不加任何電磁場(chǎng), D1 對(duì)連接D3 和D1 間開(kāi)弦所起的作用相當(dāng)于加了一個(gè)弦尺度的磁場(chǎng)使得ν1/2=1/4 , 因此可以給出一個(gè)大的增強(qiáng)效應(yīng). 也正是由于這樣一個(gè)大的等效磁場(chǎng)的出現(xiàn), 使得開(kāi)弦最低質(zhì)量譜中的有質(zhì)量帶電矢量模的其中一個(gè)極化的質(zhì)量被壓低(對(duì)反開(kāi)弦對(duì)應(yīng)的是反極化模式), 給出一個(gè)可以比較小的等效質(zhì)量, 從而使得所加實(shí)驗(yàn)室電場(chǎng)給出的eE可以與該等效質(zhì)量的平方相比擬, 因此有可能產(chǎn)生對(duì)應(yīng)矢量模式的正反極化對(duì). 第4節(jié)給出了詳細(xì)的討論. 我們希望強(qiáng)調(diào)對(duì)應(yīng)的產(chǎn)生率與所加電場(chǎng)和磁場(chǎng)的關(guān)系完全不同于通常QED 的計(jì)算結(jié)果, 因此可以看成為一種弦理論的特征行為. 如果我們的確驗(yàn)證了這種行為, 比如驗(yàn)證由正反極化模式給出的電流與實(shí)驗(yàn)室所加電場(chǎng)和磁場(chǎng)的關(guān)系符合計(jì)算, 這對(duì)弦理論是一種檢驗(yàn), 同時(shí)也預(yù)言了額外維的存在. 另外, 我們要強(qiáng)調(diào)的是每一個(gè)矢量極化模式的實(shí)際質(zhì)量至少為T(mén)eV, 其能被探測(cè)的原因是由于D1 給出一個(gè)大的等效磁場(chǎng)從而把該質(zhì)量壓低到一個(gè)比較小的等效質(zhì)量. 然而, 如文獻(xiàn)[15]中討論的, 要實(shí)現(xiàn)這種探測(cè)還是有一定難度的, 主要是實(shí)現(xiàn)所期待的D3/D1 系統(tǒng)并不容易.

作者之一(盧建新)感謝寧波、Shibaji Roy、徐山杉、魏然、賈強(qiáng)、吳子昊和祝笑穎對(duì)本綜述部分內(nèi)容的合作.