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        ?

        變換
        ——讓拋物線演繹新的精彩

        2020-06-04 06:00:36崔恒劉
        初中生世界 2020年23期
        關(guān)鍵詞:拋物線解題

        文 崔恒劉

        平移、旋轉(zhuǎn)和翻折是幾何變換中的三種基本變換,近年來,它們攜手拋物線,共同演繹了新的精彩。

        一、平移

        例1(2019·山東淄博)將二次函數(shù)y=x2-4x+a的圖像向左平移1個單位,再向上平移1個單位。若得到的函數(shù)圖像與直線y=2有兩個交點(diǎn),則a的取值范圍是( )。

        A.a>3 B.a<3 C.a>5 D.a<5

        【解析】我們應(yīng)先利用配方法將y=x2-4x+a化為頂點(diǎn)式,即y=x2-4x+a=(x-2)2-4+a,得頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2,-4+a)。圖像向左平移1個單位,再向上平移1個單位,則其頂點(diǎn)為(1,-3+a),因此得到的函數(shù)解析式為y=(x-1)2-3+a=x2-2x+a-2。再將y=2代入,得 2=x2-2x+a-2,即x2-2x+a-4=0。由題意“函數(shù)圖像與直線y=2有兩個交點(diǎn)”,所以Δ=4-4(a-4)>0,解得a<5。故選D。

        【點(diǎn)評】幾何圖形平移變換后,改變的只是位置,而形狀、大小都沒有變。對于二次函數(shù)拋物線而言,平移不改變拋物線的開口方向、大小(二次項(xiàng)系數(shù)不變)。同學(xué)們解題時要抓住拋物線平移的關(guān)鍵——頂點(diǎn),由頂點(diǎn)的平移判斷整個拋物線的平移,據(jù)此求出函數(shù)解析式。

        二、翻折

        例2(2019·四川資陽)圖1是函數(shù)y=x2-2x-3(0≤x≤4)的圖像,直線l∥x軸且過點(diǎn)(0,m),將該函數(shù)在直線l上方的圖像沿直線l向下翻折,在直線l下方的圖像保持不變,得到一個新圖像。若新圖像對應(yīng)的函數(shù)的最大值與最小值之差不大于5,則m的取值范圍是( )。

        圖1

        A.m≥1 B.m≤0

        C.0≤m≤1 D.m≥1或m≤0

        【解析】已知圖像是二次函數(shù)y=x2-2x-3上的一部分。我們先求出圖像上的關(guān)鍵點(diǎn):由y=(x-1)2-4,得其頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1,-4)。當(dāng)x=0時,y=-3,所以A(0,-3);當(dāng)x=4時,y=5,所以C(4,5)。

        直線l與x軸平行,移動直線l,觀察:當(dāng)m=0時,如圖2所示,D(4,-5),此時最大值為0,最小值為-5;當(dāng)m=1時,如圖3所示,此時最小值為-4,最大值為1;當(dāng)1<m<5時,最大值與最小值之差大于5,不合題意。綜上所述:0≤m≤1,故選C。

        圖2

        圖3

        【點(diǎn)評】此題將幾何變換的翻折引入二次函數(shù)的問題中,解題時我們應(yīng)結(jié)合函數(shù)圖像,借助幾何直觀,不斷嘗試操作,改變動直線的位置,找出最大值和最小值的差剛好為5的m的臨界值。

        三、旋轉(zhuǎn)

        例3(2019·遼寧大連)把函數(shù)C1:y=ax2-2ax-3a(a≠0)的圖像繞點(diǎn)P(m,0)旋轉(zhuǎn)180°,得到新函數(shù)C2的圖像,我們稱C2是C1關(guān)于點(diǎn)P的相關(guān)函數(shù)。C2的圖像的對稱軸與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)為(t,0)。

        (1)填空:t的值為________;(用含m的代數(shù)式表示。)

        (2)若a=-1,當(dāng)時,函數(shù)C1的最大值為y1,最小值為y2,且y1-y2=1,求C2的解析式;

        (3)當(dāng)m=0時,C2的圖像與x軸相交于A、B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的右側(cè)),與y軸相交于點(diǎn)D。把線段AD繞原點(diǎn)O逆時針旋轉(zhuǎn)90°,得到它的對應(yīng)線段A′D′,若線段A′D′與C2的圖像有公共點(diǎn),結(jié)合函數(shù)圖像,求a的取值范圍。

        【解析】(1)C1:y=ax2-2ax-3a=a(x-1)2-4a,頂點(diǎn)(1,-4a)繞點(diǎn)P(m,0)旋轉(zhuǎn)180°的對稱點(diǎn)為(2m-1,4a),C2:y=-a(x-2m+1)2+4a,函數(shù)的對稱軸為x=2m-1,所以t=2m-1,故填2m-1。

        (2)當(dāng)a=-1時,C1:y=-(x-1)2+4。

        ①當(dāng)時,則時,有最小值時,有最大值y1=-(t-1)2+4,則,無解。

        ②當(dāng)時,則x=1時,有最大值y1=時,有最小值(舍去)。

        ③當(dāng)時,則x=1時,有最大值y1=4;x=t時,有最小值y2=-(t-1)2+4,則y1-y2=(t-1)2=1,解得t1=0(舍去),t2=2。

        故C2:y=(x-2)2-4=x2-4x。

        (3)m=0,C2:y=-a(x+1)2+4a。

        則各點(diǎn)坐標(biāo)分別是A(1,0)、B(-3,0)、D(0,3a)、A′(0,1)、D′(-3a,0)。

        當(dāng)a>0時,a越大,則OD越大,點(diǎn)D′越靠左。

        當(dāng)C2過點(diǎn)A′時,y=-a(0+1)2+4a=1,解得當(dāng)C2過點(diǎn)D′時,同理可得a=1,故或a≥1。

        當(dāng)a<0時,當(dāng)C2過點(diǎn)D′時,-3a=1,解得,故。

        【點(diǎn)評】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),涉及中心對稱,圖形全等,一次函數(shù)、二次函數(shù)的性質(zhì)等,綜合性強(qiáng),解題的關(guān)鍵是求出二次函數(shù)圖像的頂點(diǎn)坐標(biāo)。

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