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        “得比換比”證相似

        2020-06-04 06:00:36李長春特級教師
        初中生世界 2020年23期
        關(guān)鍵詞:性質(zhì)思路教材

        文 李長春(特級教師)

        (作者單位:江蘇省東臺市實驗中學(xué))

        用好教材例題,充分發(fā)揮其引領(lǐng)作用,能給大家的學(xué)習(xí)帶來積極的影響。下面老師結(jié)合蘇科版教材九(下)第58頁例4,與大家談?wù)劇白C明相似形—得到相似比—換成需要比—再證相似形”的問題。

        【原題再現(xiàn)】如圖1,點D在△ABC內(nèi),點E在△ABC外,且∠1=∠2,∠3=∠4?!鱀BE與△ABC相似嗎?為什么?

        解題過程見教材。

        圖1

        【拓展一】(2017·江蘇宿遷)如圖2,在△ABC中,AB=AC,點E在邊BC上移動(點E不與點B、C重合),滿足∠DEF=∠B,且點D、F分別在邊AB、AC上。

        圖2

        (1)求證:△BDE∽△CEF;

        (2)當(dāng)點E移動到BC的中點時,求證:FE平分∠DFC。

        【思路分析】(1)根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠B=∠C,根據(jù)“三角形的內(nèi)角和”及“平角的定義”得∠BDE=∠CEF,于是得到結(jié)論;(2)根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到等量代換得到,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論。

        證明:(1)∵AB=AC,∴∠B=∠C,

        ∵∠BDE=180°-∠B-∠DEB,

        ∠CEF=180°-∠DEF-∠DEB,

        ∠DEF=∠B,

        ∴∠BDE=∠CEF,

        ∴△BDE∽△CEF。

        (2)∵△BDE∽△CEF,。

        ∵點E是BC的中點,∴BE=CE,

        又∵∠DEF=∠B=∠C,

        ∴△DEF∽△ECF,

        ∴∠DFE=∠CFE,

        ∴FE平分∠DFC。

        【拓展反思】本題由“∠DEF=∠B=∠C(一線三等角)”證得“△BDE∽△CEF(相似兩邊找)”,在此基礎(chǔ)上,得到相似比,再將BE換成CE,形成新的比,最后再換成兩個三角形的對應(yīng)邊的比,結(jié)合其夾角相等,得出要證明的結(jié)論,形成“證明相似形—得到相似比—換成需要比—再證相似形”的思維鏈,將教材例題的功能充分發(fā)揮。另外,在證明∠BDE=∠CEF時,還可以運用外角性質(zhì),由∠CEF+∠DEF=∠CED=∠BDE+∠B,結(jié)合∠DEF=∠B,立即得到∠CEF=∠BDE。

        【拓展二】(2018·江蘇揚州改編)如圖3,點A在線段BD上,在BD的同側(cè)作等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE,CD與BE、AE分別交于點P、M。

        求證:(1)MP·MD=MA·ME;

        (2)2CB2=CP·CM。

        圖3

        【思路分析】(1)通過等積式倒推可知,需要證明△MPE∽△MAD或證明△PAM∽△EDM。結(jié)合條件可知,需要證明∠PEM=∠ADM或∠APM=∠DEA。對于前者,需要證明△BAE∽△CAD(兩邊成比例且夾角相等)。(2)等式左邊2CB2可以轉(zhuǎn)化為所以問題轉(zhuǎn)化為證明CA2=CP·CM。在(1)的基礎(chǔ)上得到比:結(jié)合對頂角相等證得△PAM∽△EDM,得到∠APM=90°后,在此基礎(chǔ)上再證明△CAP∽△CMA即可。你能根據(jù)上述思路分析寫出詳細解答過程嗎?

        【拓展反思】本題是以教材例題研究問題的思路設(shè)計的兩小問,均通過證明兩次相似解決問題,且第一次相似都在為第二次相似的證明做準備。我們在分析證明方法時可以逆向思考,執(zhí)果索因,即利用“得比換比”證明相似。

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