文 封霞霖

（作者單位：江南大學(xué)附屬實驗中學(xué)）

統(tǒng)計學(xué)是通過收集、整理、描述、分析數(shù)據(jù)等手段，推斷所測對象的本質(zhì)，甚至預(yù)測對象未來的一門綜合性科學(xué)。統(tǒng)計研究的是數(shù)據(jù)和隨機現(xiàn)象。在本章，同學(xué)們在學(xué)習(xí)時要注重數(shù)據(jù)分析，學(xué)會提取有用的數(shù)據(jù)，正確運用數(shù)據(jù)做決策，而不是單純地學(xué)習(xí)名詞、計算公式等。

考點一：平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、極差

例1某市從不同學(xué)校隨機抽取100名初中生，對“學(xué)校統(tǒng)一使用數(shù)學(xué)教輔用書的冊數(shù)”進行調(diào)查，統(tǒng)計結(jié)果如下：

23冊數(shù)人數(shù)0 1 2 3 13 35 29

關(guān)于這組數(shù)據(jù)，下列說法正確的是（ ）。

A.眾數(shù)是2冊 B.中位數(shù)是2冊

C.極差是2冊 D.平均數(shù)是2冊

【分析】平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)反映數(shù)據(jù)的集中程度，極差和方差反映數(shù)據(jù)的離散程度。

解：出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)是1冊，出現(xiàn)了35次，所以眾數(shù)是1冊；100名學(xué)生，排序后處于中間位置的有兩個數(shù)，第50個數(shù)和第51個數(shù)，由于這兩個數(shù)都是2冊，那么平均數(shù)是2冊，所以中位數(shù)是2冊；最大值是3冊，最小值是0冊，所以極差為3-0=3冊；平均數(shù)=（0×13+1×35+2×29+3×23）÷100=1.62冊。故選B。

【點評】平均數(shù)是所有數(shù)據(jù)的平均值。將一組數(shù)據(jù)按大小排序，如果數(shù)據(jù)的個數(shù)是奇數(shù)，處于中間位置的數(shù)叫作中位數(shù)；如果數(shù)據(jù)的個數(shù)是偶數(shù)，那么中間位置的兩個數(shù)的平均數(shù)叫作中位數(shù)。眾數(shù)是出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)。平均數(shù)很重要，應(yīng)用也很廣泛，但是容易受到極端數(shù)據(jù)的影響。如果數(shù)據(jù)中有差異較大的數(shù)據(jù)，用中位數(shù)和眾數(shù)反映數(shù)據(jù)的集中程度就比較客觀一些。極差反映了一組數(shù)據(jù)的變化范圍，在一定程度上描述了這組數(shù)據(jù)的離散程度，極差=最大值-最小值。

考點二：加權(quán)平均數(shù)

例2某公司需招聘一名員工，對應(yīng)聘者甲、乙、丙從筆試、面試、體能三個方面進行量化考核。甲、乙、丙各項得分如下表：

體能90 75 73甲乙丙筆試83 85 80面試79 80 90

（1）根據(jù)三項得分的平均分，從高到低確定三名應(yīng)聘者的排名順序。

（2）該公司規(guī)定：筆試、面試、體能得分分別不得低于80分、80分、70分，并按60%、30%、10%的比例計入總分。根據(jù)規(guī)定，請你說明誰將被錄用。

【分析】（1）根據(jù)三人各項成績求出它們的平均分，然后按照平均成績從高到低進行排序。（2）根據(jù)要求判斷甲不符合規(guī)定，然后按照分數(shù)的比例求出乙和丙的分數(shù)，再按照分數(shù)的高低錄取分數(shù)較高的人。

解：（1）甲、乙、丙三人的平均分分別是84、80、81。所以三人的平均分從高到低是：甲、丙、乙。

（2）因為甲的面試分不合格，所以甲首先被淘汰。

乙的加權(quán)平均分是：85×60%+80×30%+75×10%=82.5。

丙的加權(quán)平均分是：80×60%+90×30%+73×10%=82.3。

因為乙的加權(quán)平均分較高，所以乙將被錄用。

【點評】一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，不僅與這組數(shù)據(jù)中各個數(shù)據(jù)的值有關(guān)，而且與各個數(shù)據(jù)的“重要程度”有關(guān)。我們把衡量各個數(shù)據(jù)的“重要程度”的數(shù)值叫作權(quán)。

考點三：方差

例3某校要從甲、乙兩名跳高運動員中挑選一人參加一項校際比賽，在最近的8次選拔賽中，他們的成績（單位：m）如下：

甲 ：1.70，1.65，1.68，1.69，1.72，1.73，1.68，1.67；

乙 ：1.60，1.73，1.72，1.61，1.62，1.71，1.70，1.75。

（1）他們的平均成績分別是多少？

（2）哪個人的成績更為穩(wěn)定？

（3）經(jīng)預(yù)測，跳過1.65m就很可能獲得冠軍，該校為了獲取跳高比賽冠軍，選哪位運動員參賽更好？若預(yù)測跳過1.70m方可獲得冠軍選誰更好？

【分析】第（1）問求平均數(shù)比較簡單，直接代入公式就可以。第（2）問可用方差來解釋，方差越小越穩(wěn)定。第（3）問是做決策，可以利用第一問和第二問的計算結(jié)果做出判斷。

解：（1）甲的平均成績是1.69m，乙的平均成績是1.68m。

（2）甲、乙兩名運動員8次比賽成績的方差分別是0.0006和0.00315，因此甲的成績較穩(wěn)定。

（3）可以選甲運動員參賽，因為甲運動員8次的比賽成績都超過1.65m，而乙運動員有3次成績低于1.65m，所以甲得冠軍的可能性更大。若預(yù)測跳過1.70m可獲冠軍，因乙有5次在1.70m以上，故選乙。

【點評】若跳過1.65m就可能獲得冠軍，相比之下選甲比較可靠；但需跳過1.70m方可獲得冠軍，則選乙較好，因為甲運動員僅有3次成績超過1.70m，而乙運動員有5次成績超過1.70m，乙獲得冠軍的機會更大。統(tǒng)計學(xué)對結(jié)果的判斷是“好壞”，而不是“對錯”。決策要有科學(xué)依據(jù)，要會用數(shù)據(jù)來說話。