楊曉東

(上海飛機(jī)設(shè)計(jì)研究院，上海 201210)

飛機(jī)自然網(wǎng)格有限元模型以飛機(jī)結(jié)構(gòu)骨架數(shù)模(機(jī)身按框/長(zhǎng)桁，翼面按肋/長(zhǎng)桁)作為網(wǎng)格劃分標(biāo)準(zhǔn)，反映飛機(jī)結(jié)構(gòu)主承力構(gòu)件的傳力特征，是飛機(jī)結(jié)構(gòu)強(qiáng)度設(shè)計(jì)、分析的主要依據(jù)和基礎(chǔ)[1-2]。

復(fù)合材料在航空領(lǐng)域的使用已越來(lái)越普及，現(xiàn)今復(fù)合材料的使用率已經(jīng)成為飛機(jī)先進(jìn)性的評(píng)判標(biāo)準(zhǔn)之一。復(fù)合材料結(jié)構(gòu)復(fù)雜，給飛機(jī)蒙皮的有限元建模及分析帶來(lái)很多挑戰(zhàn)。比如，有的結(jié)構(gòu)鋪層變化劇烈，呈階梯狀。而在自然網(wǎng)格下，長(zhǎng)桁間或框/肋間通常只有一個(gè)規(guī)則的板殼單元，無(wú)法反映階梯狀的鋪層變化。

因此本文提出一種新的建模方法，以求能夠保證等效后的變形與實(shí)際結(jié)構(gòu)變形相近。具體思路為：第一步，按階梯邊界把單元分塊，求解出每一塊綜合的剛度矩陣；第二步，考察整個(gè)單元在單向拉壓和純剪切作用下的變形，在一定假設(shè)下，求出4個(gè)等效剛度；第三步，用一個(gè)新的0°鋪層來(lái)代替原單元，合理設(shè)置4個(gè)獨(dú)立彈性常數(shù)E1,E2,υ12,G12，使得等效后的4個(gè)剛度與實(shí)際值相同。

1 理論推導(dǎo)

1.1 標(biāo)準(zhǔn)層壓板理論

層壓板板長(zhǎng)為l，寬為b，單層厚為h，共有n層，x方向?yàn)檠亻L(zhǎng)度方向，y方向?yàn)檠貙挾确较?，如圖1所示。

圖1 典型復(fù)合材料層壓板示意圖

每一層都應(yīng)滿(mǎn)足式(1)：

(1)

式中：σx和σy分別為任意正交x和y方向正應(yīng)力；

τxy為xy平面內(nèi)剪應(yīng)力；εx和εy分別為對(duì)應(yīng)x和y方向正應(yīng)變；γxy為xy平面內(nèi)剪應(yīng)變；下標(biāo)1，2分別表示纖維方向和垂直于纖維方向；E1,E2分別為1方向和2方向的彈性模量；υ12為當(dāng)在1方向受拉伸時(shí)決定2方向收縮量的泊松比；υ21為當(dāng)在2方向受拉伸時(shí)決定1方向收縮量的泊松比；G12為面內(nèi)剪切模量；c為纖維方向與x方向夾角的余弦值；s為纖維方向與x方向夾角的正弦值。

(2)

式中Kij可由式(1)對(duì)應(yīng)位置求出。

假設(shè)層壓板單層內(nèi)應(yīng)力應(yīng)變與z坐標(biāo)無(wú)關(guān)，并且不同層間的同一個(gè)(x,y)坐標(biāo)點(diǎn)具有相同的位移和應(yīng)變。

定義應(yīng)力合力：

(3)

式中：Nx，Ny分別為x和y方向的正應(yīng)力合力;Ns為剪應(yīng)力合力；p為鋪層序號(hào)。

將式(3)代入式(2)得到：

(4)

同時(shí)將n層看作一個(gè)整體:

(5)

對(duì)比式(4)、式(5)得到層壓板的剛度矩陣各分量Kij滿(mǎn)足：

(6)

而對(duì)于不等厚的層壓板，各分量容易證明滿(mǎn)足

當(dāng)鋪層對(duì)稱(chēng)，并且均衡(對(duì)于不為0°或90°的角度θ，每有一個(gè)θ的鋪層就對(duì)應(yīng)存在一個(gè)-θ的鋪層)時(shí)，層壓板剛度矩陣分量K13,K23,K31,K32均為0，即拉壓和剪切解耦[4]。

1.2 階梯狀層壓板理論推導(dǎo)

1.2.1剛度定義

如圖2所示，單元按階梯邊界可分為n塊，從左至右依次為第1,2,…,n塊?？紤]掉層后仍滿(mǎn)足對(duì)稱(chēng)以及±θ角度對(duì)應(yīng)鋪層，則可以將每一塊等效為一層后再進(jìn)行計(jì)算。

圖2 階梯狀層壓板示意圖

對(duì)剛度矩陣K取逆，得到柔度矩陣λ。

(7)

式中：λmn為相應(yīng)柔度系數(shù)。

結(jié)合式(2)得到

(8)

對(duì)于某一塊，有

(9)

對(duì)剛度作如下定義：

(10)

式中：kx,ky分別為x,y方向單向拉伸剛度；kxy,kγ分別為xy方向耦合剛度及剪切剛度。

1.2.2x方向單向拉壓響應(yīng)

(11)

式中：Δl，Δb分別為長(zhǎng)度和寬度方向的變化量。

(12)

現(xiàn)假設(shè)整個(gè)單元在y方向變形是一致的，位移為Δb，因此在受到拉力Fx作用的同時(shí)，還存在y方向的自平衡力系，設(shè)第p塊上受到y(tǒng)方向的拉力為F0p,整個(gè)單元上F0p合力為0。

對(duì)于整個(gè)單元：

(13)

1.2.3y方向單向拉壓響應(yīng)

考慮到y(tǒng)方向變形一致，則每一塊階梯狀層壓板都承受y方向的拉力。

(14)

式中：Fyp為第p塊y方向拉力。

1.2.4純剪切響應(yīng)

(15)

對(duì)其變形可得：

(16)

1.3 等效常數(shù)確定

(17)

2 建模驗(yàn)證

2.1 建模及參數(shù)計(jì)算

建模及仿真計(jì)算采用ABAQUS 6.11軟件。設(shè)置材料為碳/環(huán)氧樹(shù)脂，材料常數(shù)為E1=137.44 GPa，E2=11.71 GPa,υ12=0.25，υ21=0.021 3，G12=5.51 GPa。

復(fù)合材料層壓板共鋪12層，每層厚度0.2 mm，長(zhǎng)度為80 cm，寬度為30 cm，其中0°鋪2層，45°鋪4層，-45°鋪4層，90°鋪2層，滿(mǎn)足對(duì)稱(chēng)鋪層的要求。層壓板右側(cè)有20 cm長(zhǎng)度區(qū)域設(shè)置4層掉層，分別為45°2層，-45°2層，不掉層和掉層區(qū)域長(zhǎng)度分別為60 cm和20 cm。

按照第1節(jié)中的計(jì)算過(guò)程，求得等效材料常數(shù)為E1=42.206 GPa，E2=42.568 GPa，υ12=0.392 4，G12=21.241 GPa。

2.2 不同工況加載對(duì)比

2.2.1x方向單向受拉載荷

約束左下角節(jié)點(diǎn)x,y方向位移和左邊線(xiàn)節(jié)點(diǎn)x方向位移，并在右邊線(xiàn)節(jié)點(diǎn)的x方向上施加3 000 N/m的拉力。仿真得到的實(shí)際結(jié)構(gòu)x方向位移云圖如圖3所示，等效處理后，約束和加載情況不變，得到的位移云圖如圖4所示。

圖3 等效處理前x方向位移云圖(x單向受拉)

圖4 等效處理后x方向位移云圖(x單向受拉)

2.2.2y方向單向受拉載荷

y方向單向受拉載荷和x方向類(lèi)似，約束左下角節(jié)點(diǎn)x,y方向位移和下邊線(xiàn)節(jié)點(diǎn)y方向位移，在單元的y方向邊界上施加3 000 N/m的拉力,得到的實(shí)際結(jié)構(gòu)位移云圖如圖5所示。等效處理后，約束和加載情況不變，得到的位移云圖如圖6所示。

圖5 等效處理前y方向位移云圖(y單向受拉)

圖6 等效處理后y方向位移云圖(y單向受拉)

2.2.3純剪切載荷

約束左下角節(jié)點(diǎn)x,y方向位移和下邊線(xiàn)未丟層60 cm區(qū)域y方向位移，在層壓板四邊施加3 000 N/m的剪力。得到的實(shí)際結(jié)構(gòu)位移云圖如圖7所示。等效處理后，約束左下角節(jié)點(diǎn)x,y方向位移和右下角節(jié)點(diǎn)y方向位移，單元四邊加載3 000 N/m的剪力，得到的位移云圖如圖8所示。

圖7 等效處理前x方向位移云圖(純剪切)

圖8 等效處理后x方向位移云圖(純剪切)

等效處理后，從場(chǎng)輸出報(bào)告得到剪切角γ′=5.884 1×10-5rad。

2.3 結(jié)果對(duì)比分析

將不同工況下實(shí)際結(jié)構(gòu)位移和等效建模計(jì)算位移列在表1中，可以看出：等效模型能夠很好地模擬實(shí)際情況的拉壓、剪切工況，對(duì)于文中所給的示例，誤差在1%以?xún)?nèi)。

表1 不同工況下等效結(jié)果比較

3 結(jié)束語(yǔ)

本文通過(guò)理論推導(dǎo)的方式，在一定假設(shè)下，得出了復(fù)合材料階梯狀蒙皮的等效方法。通過(guò)ABAQUS軟件建模仿真驗(yàn)證，表明該方法能夠很好地模擬實(shí)際結(jié)構(gòu)的拉壓、剪切響應(yīng)。工程實(shí)際中蒙皮主要承受拉壓、剪切載荷，很少承受彎矩，因此等效方法在工程中是可行的。

同時(shí)文中分析過(guò)程也較容易退化至各向同性材料，可用于金屬材料蒙皮的等效。建模時(shí)需要注意的是，等效蒙皮厚度H并沒(méi)有實(shí)質(zhì)上的限制，只是為了跟原幾何尺寸保持一致，選取了原厚度h1。因而可以設(shè)想，通過(guò)調(diào)整等效蒙皮厚度H，在一定的假設(shè)和等效處理下，能夠很好地模擬實(shí)際模型彎曲工況下的變形。因此，本文提出的建模方法對(duì)于復(fù)合材料結(jié)構(gòu)有限元建模分析具有重要意義。