薛淑婷， 邊 紅， 于海征

（1.新疆師范大學數(shù)學科學學院，烏魯木齊 830017；2.新疆大學數(shù)學與系統(tǒng)科學學院，烏魯木齊 830046）

1 預備知識

令G是一個簡單連通圖，頂點集為V( G )，邊集為E( G ). 在圖G中，令d（v或dG(v)）表示頂點的度. 一個六角系統(tǒng)是一個沒有割點的有限連通平面圖，其中所有的內部面都是邊長為1的正六邊形，使得圖中任意兩個六邊形或者不相交，或者恰好有一條公共邊，并且沒有三個六邊形共享一條公共邊［1］. 如果一個六角系統(tǒng)中的每個六邊形最多和兩個六邊形相鄰，則稱這個六角系統(tǒng)為六角鏈. 顯然，在六角鏈中，除了首末兩端的六邊形外，每個六邊形都恰有兩個相鄰的六邊形. 六角鏈是理論化學的重要研究結構，因為它是苯類化合物的碳原子骨架圖的自然圖映射，同時化學數(shù)學中的許多研究也都與六角鏈（苯類化合物）有關［2］.

通過對線性六角鏈Ln的m個拷貝依次進行融合，就可以形成一個m層的多重隨機六角鏈. 一個多重隨機六角鏈是一種平面蜂窩晶格結構，它是通過兩種可能的融合方式，在一個線性六角鏈Ln的底部依次融合它的拷貝而形成的［3］，它也可以看作是在這兩類融合方式上通過伯努利分布而得到的. 一個雙六角鏈H2,n是由Ln的兩個拷貝融合而成的，有兩種方式的融合：一個稱作α-型融合，另一個稱作β-型融合. 一個m層的多重隨機六角鏈，用Hm,n=θ1θ2…θm-1來表示，其中θi∈{α ,β} ，i=1,2,…,m-1. 任海珍等［3］研究了多重隨機六角鏈上的dimer覆蓋的一些性質.

1972年Gutman I和Trinajsti? N在研究碳原子分子結構中電子能量的獨立性時，提出了第一、第二Zagreb指標［4-5］. 圖G的第一Zagreb指標和第二Zagreb 指標分別用M1( G )和M2( G )表示，定義如下：

一般Zagreb指標的概念最早是由Li和Zheng［6］提出的，定義為

Ranjini等［7］在2013年給出了修正的Zagreb指標，定義

在2011年，Azari等在文獻［8］中以G的點度為基礎，提出了連通圖G上的廣義Zagreb指標.

定義1［8］令G 是一個圖，頂點集為V( G )，邊集為E( G )，對于任意非負整數(shù)r 和s，圖G 的廣義Zagreb 指標定義如下：

推論1［8-9］令G是一個圖，頂點集為V(G )，邊集為E( G ). 則圖G的廣義Zagreb指標滿足如下性質：

Sarkar 等［10］研究了碳的三類同素異形體（石墨烯、碳石墨和碳的晶體立方結構）的廣義Zagreb 指標.2015 年，F(xiàn)arahani 等［12］研究了v-苯基納米管和Nanotori 的結構，并計算了它們的廣義Zagreb 指標. 2017 年，F(xiàn)arahani等［13］計算了樹狀納米星D3[ ]n 的廣義Zagreb指標. 2018年，Sarkar等［14］又研究了一些規(guī)則的樹狀大分子的廣義Zagreb指標，從而得到了一些基于頂點度的拓撲指標.

本文主要研究多重隨機六角鏈的廣義Zagreb指標和多重隨機六角鏈的廣義Zagreb指標的期望值.

圖1 C中的兩個點u和v的Para-位Fig.1 Para-position of two vertices u and v in C

2 多重隨機六角鏈的廣義Zagreb指標

首先考慮一個六邊形C，如果C 中的兩個點u 和v 在C 中的距離為2，就稱為是Para-位的. 圖1 給出了C 中兩個點是Para-位的例子. 如果一個六角鏈的每個六邊形是按Para-位拼接的，則被稱作Para-鏈（也叫線性六角鏈）［11］（如圖2所示）.