郭釗汝, 何秋燕, 袁 曉, 蒲亦非
(1.四川大學(xué)電子信息學(xué)院, 成都 610064; 2.四川大學(xué)計算機學(xué)院, 成都 610064)
近年來,分?jǐn)?shù)階微積分理論與應(yīng)用在電磁學(xué)、流體力學(xué)、圖像處理、聲音處理等眾多領(lǐng)域都引起了廣泛關(guān)注.具有分?jǐn)?shù)階微積分運算功能的元器件稱為分抗元(Fractor).理想階分抗元的阻抗函數(shù)為
I(μ)(s)=F(μ)sμ(0<|μ|<1,s∈C)
(1)
式中,μ為運算階數(shù)(Operational order);s是運算變量,又稱復(fù)頻率或拉普拉斯變量;F(μ)是分抗元的集總特征值—分抗值(Fractance),簡稱分抗;sμ稱為μ階微積分算子,當(dāng)μ取分?jǐn)?shù)(0<|μ|<1)時,將sμ稱為分?jǐn)?shù)階微積分算子,簡稱分?jǐn)?shù)階算子或分?jǐn)?shù)算子[1].
為了敘述簡潔方便而又不失一般性,定義歸一化運算變量(也稱歸一化頻率變量) .
w=τs=s/Ωτ
(2)
式中,τ為時間常數(shù);Ωτ為對應(yīng)的特征頻率.由此可將理想分抗元的阻抗函數(shù)歸一化為
(3)
歸一化變量w與函數(shù)ι(μ)(w)均為量綱一的量.(歸一化)算子wμ是一個無理函數(shù)[1].因此,算子wμ的有理逼近就轉(zhuǎn)化為了一個數(shù)學(xué)問題:構(gòu)造一個有理函數(shù)序列{yk(w),(k∈N)},收斂于一確定的極限阻抗函數(shù)y(w),即有
(4)
式中,極限阻抗函數(shù)y(w)等于ι(μ)(w)的逼近稱為理想逼近,在一定條件下或一定頻率范圍內(nèi)近似等于ι(μ)(w)的逼近稱為非理想逼近.
人們提出二項式展開法[2-3]、連分式展開法[4-5]、Padé有理逼近法[6]等方法構(gòu)造算子wμ的迭代函數(shù).本文根據(jù)連分式展開法,利用標(biāo)度拓展理論[1,7-9]推出一組全新的非正則標(biāo)度方程—奇異標(biāo)度方程(Strange Scaling Equation).目的考察奇異標(biāo)度方程在迭代過程中,所獲得的有理函數(shù)序列{yk(w)}是否滿足分抗逼近所必須滿足的基本性質(zhì)與運算性能.通過零極點分布探究物理可實現(xiàn)性、運算振蕩現(xiàn)象和運算振蕩周期.
半階算子w±1/2的有理迭代逼近過程[7-11],以及許多經(jīng)典的半階分抗逼近電路(比如Oldham分形鏈電路[12],Carlson分形格電路[7-8]等)可用簡單的代數(shù)迭代方程—半階算子迭代方程式(5)來描述.
y(w)=F(y(w))
(5)
即給定一個恰當(dāng)?shù)某跏加欣砗瘮?shù)y0(w)=N0(w)/D0(w),由迭代函數(shù)F(·)可以得到
(6)
文獻[1]根據(jù)半階有效的Oldham分形鏈分抗與任意階有效的Liu-kaplan分形鏈分抗的對比分析發(fā)現(xiàn),描述Oldham分形鏈分抗電路的代數(shù)迭代方程(5)是描述Liu-kaplan分形鏈分抗電路的非正則標(biāo)度方程(Irregular Scaling Equation)的特例.由此袁曉[1]提出由半階算子迭代方程直接標(biāo)度化生成非正則標(biāo)度方程:
(7)
即可用來描述任意階算子wμ的有理逼近過程.式中正實數(shù)α,β稱為標(biāo)度特征參量,σ=αβ稱為標(biāo)度因子(Scaling Factor).當(dāng)取0<|σ|<1稱為反比拓展,當(dāng)取1<|σ|<稱為正比拓展[1,7-9].
根據(jù)標(biāo)度拓展理論,文獻[7]將全頻有效的半階Carlson分形格分抗電路拓展到任意階標(biāo)度分形格電路,文獻[13-14]提出任意階格形標(biāo)度分?jǐn)?shù)憶阻概念與電路實現(xiàn).這些成果說明,標(biāo)度拓展是獲得任意階算子有理逼近的一種有效手段.
連分式展開法[15]有理逼近的理論基礎(chǔ)是恒等關(guān)系.
(8)
(9)
分別令
(10)
則得到兩個半階有效的(代數(shù))迭代方程
(11)
(12)
容易驗證,上述兩組迭代方程構(gòu)造的迭代過程
(13)
(14)
滿足計算有理性,運算有效性[1,7].
對迭代方程(11),(12)分別進行標(biāo)度拓展,得到兩組非正則標(biāo)度方程—I型奇異標(biāo)度方程
(15)
與II型奇異標(biāo)度方程
(16)
顯然,該組方程滿足計算有理性.也即是說,給定初始有理函數(shù)y0(w)時,迭代生成有理函數(shù)序列
(17)
(18)
計算有理性(Computational Rationality)是構(gòu)建分抗的有理函數(shù)序列yk(w)的基本要求.因為在分抗逼近電路中,應(yīng)當(dāng)使用可獲得的基本電路元器件—整數(shù)階元器件,而盡可能避免使用分抗元器件.
那么,奇異標(biāo)度方程的有理函數(shù)序列yk(w)(式(17),(18))是否具有分抗逼近所必須滿足的運算有效性與物理可實現(xiàn)性成為下節(jié)要探究的問題.
運算有效性是指非正則標(biāo)度方程y(w)=F(αy(σw))的真實解(Actual Solution),也即迭代過程(給定初始有理函數(shù)y0(w))
yk(w)=F(αyk-1(σw)),k∈+
(19)
判定非正則標(biāo)度方程的運算有效性,是分抗有理逼近或者標(biāo)度方程描述的過程或系統(tǒng)是否具有分?jǐn)?shù)階運算功能或分?jǐn)?shù)階過程與現(xiàn)象的核心問題.但對于非正則標(biāo)度方程[9,16]運算有效性的準(zhǔn)確求解(特別是解析解的獲得)是一個極具挑戰(zhàn)性的課題[1].為了考察運算有效性,在不知如何求得真實解的情況下,只有采用近似求解法,考察奇異標(biāo)度方程(15)和(16)的近似解是否包含簡單的算子wμ項.
在極端條件下,對于I型奇異標(biāo)度方程(15)有
(20)
因此,在極端頻率條件0←|w±1|<<1下,得到近似解
(21)
而在極端頻率條件1<|w±1|→時,方程(15)簡化為一個準(zhǔn)正則(quasi-regular)標(biāo)度方程
(22)
并有近似解析解(approach analytic solution)
(23)
近似解析解(23)表明,方程(15)描述了一個半階算子的運算有效性.
如果α=1,σ≠1,則有奇異標(biāo)度方程
(24)
顯然,這是一個半階有效的非正則奇異標(biāo)度方程.
對于II型奇異標(biāo)度方程(16),在極端頻率條件下有
(25)
在極端頻率條件1<<|w±1|→下,近似得到一個準(zhǔn)正則標(biāo)度方程
(26)
并有近似的解析粗解
(27)
另一方面,在極端頻率條件0←|w±1|<<1時,近似得到一個標(biāo)準(zhǔn)的(normal)正則標(biāo)度方程
(28)
并有近似的解析解—Liu氏粗解[1]
(29)
這兩種近似解的結(jié)果表明:II型奇異標(biāo)度方程,不但描述了一種任意階算子的運算有效性—近似解為Liu氏粗解(29),而且還描述了半階算子的運算有效性—近似的解析粗解為式(27).
近似求解只能判定奇異標(biāo)度方程的運算有效性.數(shù)值求解能夠直觀地探究奇異標(biāo)度方程迭代生成的有理函數(shù)序列所描述的運算性能和逼近性能.
根據(jù)式(4),以I型奇異標(biāo)度方程迭代生成的有理函數(shù)序列(17)為例,有
(30)
記分子多項式Nk(w)和分母多項式Dk(w)的系數(shù)矢量[1,7]為
βk=[βknk,βknk-1,...,βk0]
(31)
αk=[αknk,αknk-1,...,αk0]
(32)
并定義等次擴項運算
(33a)
(33b)
和增次擴項運算
(34a)
(34b)
則得
(35)
同理求得兩類奇異標(biāo)度方程的有理函數(shù)序列的系數(shù)矢量序列,整理于表1中.
表1中,算符°:等長矢量的點積運算;頂標(biāo)算符=:等次擴項;頂標(biāo)算符←:增次擴項.
yk(j·10?)=Ak(?)exp(j·θk(?))
(36)
幅頻特征
Ak(?)=|yk(j·10?)|
(37a)
Λk(?)=lgAk(?)
(37b)
相頻特征
θk(?)=Arg{yk(j·10?)},?∈R,
(38)
階頻特征
(39)
表1 奇異標(biāo)度方程的迭代算法公式
Tab.1 Iterative algorithm formulas of the strange scaling equations
y±k(w)βkαky+Ik(w)αk+αk-1σk-1←αk-1σk-1+αβk-1σk-1y-Ik(w)αk+αk-1σk-1αk-1σk-1←+αβk-1σk-1←y+IIk(w)αβk-1σk-1+αk-1σk-1←αk-1σk-1+αβk-1σk-1y-IIk(w)αβk-1σk-1←+αk-1σk-1αk-1σk-1←+αβk-1σk-1←
運算性能由相頻特征和階頻特征完全表征.接下來以初始阻抗y0(w)=1為例,對比標(biāo)度拓展前后的頻域特征曲線來著重考察奇異標(biāo)度方程迭代生成的有理函數(shù)序列的運算性能與逼近性能[17].
圖1 標(biāo)度拓展前的頻域特征
(a) Amplitude-frequency characteristics; (b) phase-frequency characteristics; (c) order-frequency characteristics
圖2 標(biāo)度拓展前的階頻特征
圖3 標(biāo)度后的階頻特征
Fig.3 Order-frequency characteristics after the scaling
(a) Proportional expansion; (b) inverse expansion
II型奇異標(biāo)度方程,既描述了一種半階算子的運算有效性,又描述了任意階算子的運算有效性—這是標(biāo)度拓展理論的升華.
圖4 標(biāo)度拓展前的階頻特征
Fig.4 Order-frequency characteristics before scaling expansion
(40a)
(40b)
奇異標(biāo)度方程的本征Κ指標(biāo)為Κ=lg4.
標(biāo)度拓展后,I型和II型奇異標(biāo)度方程迭代生成的有理函數(shù)序列的逼近帶寬指數(shù)分別為
(41a)
(41b)
奇異標(biāo)度方程的運算振蕩周期W=2|lgσ|.
圖的階頻特征
逼近效益(approximation benefit)—逼近帶寬指數(shù)與迭代次數(shù)之比.標(biāo)度拓展前,逼近效益分別為
(42a)
(42b)
標(biāo)度拓展后,逼近效益分別為
(43a)
(43b)
拓展增益(extension gain)能夠定量表征標(biāo)度拓展后相對于標(biāo)度拓展前獲得的更高的逼近效益程度.
(44a)
(44b)
由此可見,標(biāo)度拓展極大地提高了逼近帶寬和逼近效益.
標(biāo)度拓展后的逼近帶寬指數(shù)和逼近效益與迭代次數(shù)k以及運算振蕩周期W密切相關(guān),下一節(jié)將介紹運算振蕩現(xiàn)象和運算振蕩周期.
奇異標(biāo)度方程迭代生成的有理函數(shù)序列{yk(w),k∈}可表示為
(45)
其中,zi為零點值;pi為極點值. k次迭代后,分別對應(yīng)有k/2個零點,k/2個極點,交錯成對出現(xiàn).
在復(fù)平面內(nèi)的零極點分布[18]決定了奇異標(biāo)度方程迭代生成的有理函數(shù)序列yk(w)的物理可實現(xiàn)性.根據(jù)零極點頻率指數(shù)與運算特征的局域化特征關(guān)系,可分析運算振蕩現(xiàn)象和運算振蕩周期.
物理可實現(xiàn)性要求阻抗函數(shù)的零極點或是在復(fù)平面(即黎曼曲面的主葉)的負(fù)實軸上,或是共軛成對出現(xiàn)在復(fù)平面的左半平面.復(fù)平面零極點分布在實軸上為強逼近,分布在虛軸上為弱逼近,阻抗函數(shù)在整個復(fù)平面上達(dá)到一致收斂—強逼近要求往往難以實現(xiàn)[1].
圖7 I型奇異標(biāo)度方程在復(fù)平面內(nèi)的零極點圖
Fig.7 Zero-pole map in complex planes of the type I singular scaling equations
為了更好地觀察和探究奇異標(biāo)度方程有理函數(shù)序列yk(w)的零極點分布規(guī)律,根據(jù)零極點頻率指數(shù)oi和χi與零極點關(guān)系式
(46)
得到有理函數(shù)序列的零極點頻率指數(shù)分布(如圖8和圖9),令第i對零極點頻率指數(shù)為第i個一次子系統(tǒng)Ei(w),那么一次子系統(tǒng)Ei(w)的頻域特征函數(shù)——相頻特征.
(47)
階頻特征
(48)
具有偶對稱性和局域化特性(圖8(a)),正是這種每個一次子系統(tǒng)都會產(chǎn)生波峰的局域化特性,使得有理函數(shù)序列yk(w)在頻域產(chǎn)生了準(zhǔn)周期性的運算振蕩現(xiàn)象,運算振蕩現(xiàn)象是所有一次子系統(tǒng)的集體行為,如圖8(b)所示.
圖8 頻域特征與零極點頻率指數(shù)的關(guān)系
(a) 一次子系統(tǒng)Ei(w)的局域化特性;(b) 階頻特征的運算振蕩現(xiàn)象
Fig.8 The relationship between frequency performance and Zero-pole frequency index
(a) localization performance of the primary subsystem Ei(w); (b)operational oscillation of the order-frequency characteristics
奇異標(biāo)度方程,Oldham分形鏈,Carlson分形格等經(jīng)典的逼近過程均有準(zhǔn)周期性的運算振蕩現(xiàn)象. 拓展來說,任何一個具有物理意義或源自于物理可實現(xiàn)系統(tǒng)的非正則標(biāo)度方程,必定存在具有準(zhǔn)周期性運算振蕩現(xiàn)象的真實解.
下一節(jié)將介紹奇異標(biāo)度方程迭代生成的有理函數(shù)序列yk(w)的每個一次子系統(tǒng)之間的距離,也就是運算振蕩周期W是多少.
同理可得,兩類奇異標(biāo)度方程的有理函數(shù)序列的運算振蕩周期都為W=2|lgσ|.這與大多數(shù)描述標(biāo)度化電路的非正則標(biāo)度方程(格形標(biāo)度方程等[19]、Hill標(biāo)度方程[20]、Liu-Kaplan標(biāo)度方程[21])真實解的運算振蕩周期W=|lgσ|不同,這是奇異標(biāo)度方程的有理函數(shù)序列的另一奇特性質(zhì).
表2 I型奇異標(biāo)度方程迭代生成的有理函數(shù)序列的零極點頻率擬合方程
Tab.2 Zero-pole frequency fitting equations of the iterative generation’s rational function sequences of the type I strange scaling equations
標(biāo)度因子運算振蕩周期(2lgσ)零點頻率指數(shù)擬合方程極點頻率指數(shù)擬合方程y+Ik(w)σ=0.52lg0.5≈0.602 1oi=-0.64i+6.8χi=-0.64i+7.1y-Ik(w)σ=52lg5=1.397 9oi=-1.4i+0.95χi=-1.4i+0.16
通過方根連分式法和標(biāo)度拓展理論得到的奇異標(biāo)度方程的運算性能,呈現(xiàn)與以往所了解的方程不同的運算有效性:奇異標(biāo)度方程能夠等程度地、均勻地、平穩(wěn)地向高頻段或低頻段逼近算子wμ.I型奇異標(biāo)度方程的運算階與標(biāo)度因子無關(guān),是半階算子的非理想逼近過程.II型奇異標(biāo)度方程是理想逼近過程,受標(biāo)度因子的影響,在高頻或低頻域內(nèi),運算階可以是半階算子,也可以在一定條件下嚴(yán)格限定逼近任意階算子.
根據(jù)兩類奇異標(biāo)度方程迭代生成的有理函數(shù)序列{yk(w)},探究運算性能、逼近性能、物理可實現(xiàn)性與運算振蕩周期方面的特別之處.并解釋了物理可實現(xiàn)系統(tǒng)的非正則標(biāo)度方程的運算振蕩現(xiàn)象.由奇異標(biāo)度方程迭代生成的有理函數(shù)序列,用系數(shù)矢量序列迭代算法得到的頻域特征圖,驗證了近似求解的運算階的正確性且歸納了逼近帶寬指數(shù)、逼近效益和拓展增益,I型與II型奇異標(biāo)度方程迭代生成的有理函數(shù)序列標(biāo)度前后的逼近效益都因標(biāo)度拓展有了極大地提高.由零極點分布,得到兩類奇異標(biāo)度方程迭代生成的有理函數(shù)序列是強逼近且物理可實現(xiàn)的.運算振蕩周期和標(biāo)度因子有關(guān):W=2|lgσ|.
奇異標(biāo)度方程包含了十分豐富的內(nèi)容,關(guān)于奇異標(biāo)度方程還有許多問題值得深入研究.用K線圖、O、P指標(biāo)與逼近帶寬量化挖掘奇異標(biāo)度方程的其他奇特性質(zhì),搭建該方程的對應(yīng)電路.找尋奇異標(biāo)度方程在流體力學(xué)、黏彈力學(xué)、圖像處理、聲音處理、憶阻等方面的應(yīng)用.