郭釗汝， 何秋燕， 袁 曉， 蒲亦非

(1.四川大學(xué)電子信息學(xué)院， 成都 610064； 2.四川大學(xué)計算機學(xué)院， 成都 610064)

1 引 言

近年來，分?jǐn)?shù)階微積分理論與應(yīng)用在電磁學(xué)、流體力學(xué)、圖像處理、聲音處理等眾多領(lǐng)域都引起了廣泛關(guān)注.具有分?jǐn)?shù)階微積分運算功能的元器件稱為分抗元(Fractor).理想階分抗元的阻抗函數(shù)為

I(μ)(s)=F(μ)sμ(0<|μ|<1,s∈C)

(1)

式中，μ為運算階數(shù)(Operational order)；s是運算變量，又稱復(fù)頻率或拉普拉斯變量；F(μ)是分抗元的集總特征值—分抗值(Fractance)，簡稱分抗；sμ稱為μ階微積分算子，當(dāng)μ取分?jǐn)?shù)(0<|μ|<1)時，將sμ稱為分?jǐn)?shù)階微積分算子，簡稱分?jǐn)?shù)階算子或分?jǐn)?shù)算子[1].

為了敘述簡潔方便而又不失一般性，定義歸一化運算變量(也稱歸一化頻率變量) .

w=τs=s/Ωτ

(2)

式中，τ為時間常數(shù)；Ωτ為對應(yīng)的特征頻率.由此可將理想分抗元的阻抗函數(shù)歸一化為

(3)

歸一化變量w與函數(shù)ι(μ)(w)均為量綱一的量.(歸一化)算子wμ是一個無理函數(shù)[1].因此，算子wμ的有理逼近就轉(zhuǎn)化為了一個數(shù)學(xué)問題：構(gòu)造一個有理函數(shù)序列{yk(w)，(k∈N)}，收斂于一確定的極限阻抗函數(shù)y(w)，即有

(4)

式中，極限阻抗函數(shù)y(w)等于ι(μ)(w)的逼近稱為理想逼近，在一定條件下或一定頻率范圍內(nèi)近似等于ι(μ)(w)的逼近稱為非理想逼近.

人們提出二項式展開法[2-3]、連分式展開法[4-5]、Padé有理逼近法[6]等方法構(gòu)造算子wμ的迭代函數(shù).本文根據(jù)連分式展開法，利用標(biāo)度拓展理論[1,7-9]推出一組全新的非正則標(biāo)度方程—奇異標(biāo)度方程(Strange Scaling Equation).目的考察奇異標(biāo)度方程在迭代過程中，所獲得的有理函數(shù)序列{yk(w)}是否滿足分抗逼近所必須滿足的基本性質(zhì)與運算性能.通過零極點分布探究物理可實現(xiàn)性、運算振蕩現(xiàn)象和運算振蕩周期.

2 標(biāo)度拓展理論與奇異標(biāo)度方程

2.1 半階算子迭代方程

半階算子w±1/2的有理迭代逼近過程[7-11]，以及許多經(jīng)典的半階分抗逼近電路(比如Oldham分形鏈電路[12]，Carlson分形格電路[7-8]等)可用簡單的代數(shù)迭代方程—半階算子迭代方程式(5)來描述.

y(w)=F(y(w))

(5)

即給定一個恰當(dāng)?shù)某跏加欣砗瘮?shù)y0(w)=N0(w)/D0(w)，由迭代函數(shù)F(·)可以得到

(6)

2.2 標(biāo)度拓展—任意階算子與非正則標(biāo)度方程

文獻[1]根據(jù)半階有效的Oldham分形鏈分抗與任意階有效的Liu-kaplan分形鏈分抗的對比分析發(fā)現(xiàn)，描述Oldham分形鏈分抗電路的代數(shù)迭代方程(5)是描述Liu-kaplan分形鏈分抗電路的非正則標(biāo)度方程(Irregular Scaling Equation)的特例.由此袁曉[1]提出由半階算子迭代方程直接標(biāo)度化生成非正則標(biāo)度方程：

(7)

即可用來描述任意階算子wμ的有理逼近過程.式中正實數(shù)α，β稱為標(biāo)度特征參量，σ=αβ稱為標(biāo)度因子(Scaling Factor).當(dāng)取0<|σ|<1稱為反比拓展，當(dāng)取1<|σ|<稱為正比拓展[1,7-9].

根據(jù)標(biāo)度拓展理論，文獻[7]將全頻有效的半階Carlson分形格分抗電路拓展到任意階標(biāo)度分形格電路，文獻[13-14]提出任意階格形標(biāo)度分?jǐn)?shù)憶阻概念與電路實現(xiàn).這些成果說明，標(biāo)度拓展是獲得任意階算子有理逼近的一種有效手段.

2.3 連分式展開法與奇異標(biāo)度方程

連分式展開法[15]有理逼近的理論基礎(chǔ)是恒等關(guān)系.

(8)

(9)

分別令

(10)

則得到兩個半階有效的(代數(shù))迭代方程

(11)

(12)

容易驗證，上述兩組迭代方程構(gòu)造的迭代過程

(13)

(14)

滿足計算有理性，運算有效性[1,7].

對迭代方程(11)，(12)分別進行標(biāo)度拓展，得到兩組非正則標(biāo)度方程—I型奇異標(biāo)度方程

(15)

與II型奇異標(biāo)度方程

(16)

顯然，該組方程滿足計算有理性.也即是說，給定初始有理函數(shù)y0(w)時，迭代生成有理函數(shù)序列

(17)

(18)

計算有理性(Computational Rationality)是構(gòu)建分抗的有理函數(shù)序列yk(w)的基本要求.因為在分抗逼近電路中，應(yīng)當(dāng)使用可獲得的基本電路元器件—整數(shù)階元器件，而盡可能避免使用分抗元器件.

那么，奇異標(biāo)度方程的有理函數(shù)序列yk(w)(式(17)，(18))是否具有分抗逼近所必須滿足的運算有效性與物理可實現(xiàn)性成為下節(jié)要探究的問題.

3 運算有效性—奇異標(biāo)度方程的近似求解

運算有效性是指非正則標(biāo)度方程y(w)=F(αy(σw))的真實解(Actual Solution)，也即迭代過程(給定初始有理函數(shù)y0(w))

yk(w)=F(αyk-1(σw)),k∈+

(19)

判定非正則標(biāo)度方程的運算有效性，是分抗有理逼近或者標(biāo)度方程描述的過程或系統(tǒng)是否具有分?jǐn)?shù)階運算功能或分?jǐn)?shù)階過程與現(xiàn)象的核心問題.但對于非正則標(biāo)度方程[9,16]運算有效性的準(zhǔn)確求解(特別是解析解的獲得)是一個極具挑戰(zhàn)性的課題[1].為了考察運算有效性，在不知如何求得真實解的情況下，只有采用近似求解法，考察奇異標(biāo)度方程(15)和(16)的近似解是否包含簡單的算子wμ項.

3.1 I型奇異標(biāo)度方程的近似求解

在極端條件下，對于I型奇異標(biāo)度方程(15)有

(20)

因此，在極端頻率條件0←|w±1|<<1下，得到近似解

(21)

而在極端頻率條件1<|w±1|→時，方程(15)簡化為一個準(zhǔn)正則(quasi-regular)標(biāo)度方程

(22)

并有近似解析解(approach analytic solution)

(23)

近似解析解(23)表明，方程(15)描述了一個半階算子的運算有效性.

如果α=1,σ≠1，則有奇異標(biāo)度方程

(24)

顯然，這是一個半階有效的非正則奇異標(biāo)度方程.

3.2 II型奇異標(biāo)度方程的近似求解

對于II型奇異標(biāo)度方程(16)，在極端頻率條件下有

(25)

在極端頻率條件1<<|w±1|→下，近似得到一個準(zhǔn)正則標(biāo)度方程

(26)

并有近似的解析粗解

(27)

另一方面，在極端頻率條件0←|w±1|<<1時，近似得到一個標(biāo)準(zhǔn)的(normal)正則標(biāo)度方程

(28)

并有近似的解析解—Liu氏粗解[1]

(29)

這兩種近似解的結(jié)果表明：II型奇異標(biāo)度方程，不但描述了一種任意階算子的運算有效性—近似解為Liu氏粗解(29)，而且還描述了半階算子的運算有效性—近似的解析粗解為式(27).

4 運算性能和逼近性能—奇異標(biāo)度方程的數(shù)值求解

近似求解只能判定奇異標(biāo)度方程的運算有效性.數(shù)值求解能夠直觀地探究奇異標(biāo)度方程迭代生成的有理函數(shù)序列所描述的運算性能和逼近性能.

4.1 數(shù)值求解算法—系數(shù)矢量序列迭代算法

根據(jù)式(4)，以I型奇異標(biāo)度方程迭代生成的有理函數(shù)序列(17)為例，有

(30)

記分子多項式Nk(w)和分母多項式Dk(w)的系數(shù)矢量[1,7]為

βk=[βknk,βknk-1,...，βk0]

(31)

αk=[αknk,αknk-1,...,αk0]

(32)

并定義等次擴項運算

(33a)

(33b)

和增次擴項運算

(34a)

(34b)

則得

(35)

同理求得兩類奇異標(biāo)度方程的有理函數(shù)序列的系數(shù)矢量序列，整理于表1中.

表1中，算符°：等長矢量的點積運算；頂標(biāo)算符=：等次擴項；頂標(biāo)算符←：增次擴項.

yk(j·10?)=Ak(?)exp(j·θk(?))

(36)

幅頻特征

Ak(?)=|yk(j·10?)|

(37a)

Λk(?)=lgAk(?)

(37b)

相頻特征

θk(?)=Arg{yk(j·10?)},?∈R，

(38)

階頻特征

(39)

表1 奇異標(biāo)度方程的迭代算法公式

Tab.1 Iterative algorithm formulas of the strange scaling equations

y±k(w)βkαky+Ik(w)αk+αk-1σk-1←αk-1σk-1+αβk-1σk-1y-Ik(w)αk+αk-1σk-1αk-1σk-1←+αβk-1σk-1←y+IIk(w)αβk-1σk-1+αk-1σk-1←αk-1σk-1+αβk-1σk-1y-IIk(w)αβk-1σk-1←+αk-1σk-1αk-1σk-1←+αβk-1σk-1←

運算性能由相頻特征和階頻特征完全表征.接下來以初始阻抗y0(w)=1為例，對比標(biāo)度拓展前后的頻域特征曲線來著重考察奇異標(biāo)度方程迭代生成的有理函數(shù)序列的運算性能與逼近性能[17].

4.2 I型奇異標(biāo)度方程迭代生成的有理函數(shù)序列的運算性能分析

圖1 標(biāo)度拓展前的頻域特征

(a) Amplitude-frequency characteristics; (b) phase-frequency characteristics; (c) order-frequency characteristics

圖2 標(biāo)度拓展前的階頻特征

圖3 標(biāo)度后的階頻特征

Fig.3 Order-frequency characteristics after the scaling

(a) Proportional expansion; (b) inverse expansion

4.3 II型奇異標(biāo)度方程迭代生成的有理函數(shù)序列的運算性能分析

II型奇異標(biāo)度方程，既描述了一種半階算子的運算有效性，又描述了任意階算子的運算有效性—這是標(biāo)度拓展理論的升華.

圖4 標(biāo)度拓展前的階頻特征

Fig.4 Order-frequency characteristics before scaling expansion

4.4 奇異標(biāo)度方程迭代生成的有理函數(shù)序列的逼近性能分析

(40a)

(40b)

奇異標(biāo)度方程的本征Κ指標(biāo)為Κ=lg4.

標(biāo)度拓展后，I型和II型奇異標(biāo)度方程迭代生成的有理函數(shù)序列的逼近帶寬指數(shù)分別為

(41a)

(41b)

奇異標(biāo)度方程的運算振蕩周期W=2|lgσ|.

圖的階頻特征

逼近效益(approximation benefit)—逼近帶寬指數(shù)與迭代次數(shù)之比.標(biāo)度拓展前，逼近效益分別為

(42a)

(42b)

標(biāo)度拓展后，逼近效益分別為

(43a)

(43b)

拓展增益(extension gain)能夠定量表征標(biāo)度拓展后相對于標(biāo)度拓展前獲得的更高的逼近效益程度.

(44a)

(44b)

由此可見，標(biāo)度拓展極大地提高了逼近帶寬和逼近效益.

標(biāo)度拓展后的逼近帶寬指數(shù)和逼近效益與迭代次數(shù)k以及運算振蕩周期W密切相關(guān)，下一節(jié)將介紹運算振蕩現(xiàn)象和運算振蕩周期.

5 奇異標(biāo)度方程的零極點分布—物理可實現(xiàn)性與運算振蕩現(xiàn)象

奇異標(biāo)度方程迭代生成的有理函數(shù)序列{yk(w),k∈}可表示為

(45)

其中，zi為零點值；pi為極點值. k次迭代后，分別對應(yīng)有k/2個零點，k/2個極點，交錯成對出現(xiàn).

在復(fù)平面內(nèi)的零極點分布[18]決定了奇異標(biāo)度方程迭代生成的有理函數(shù)序列yk(w)的物理可實現(xiàn)性.根據(jù)零極點頻率指數(shù)與運算特征的局域化特征關(guān)系，可分析運算振蕩現(xiàn)象和運算振蕩周期.

5.1 物理可實現(xiàn)性

物理可實現(xiàn)性要求阻抗函數(shù)的零極點或是在復(fù)平面(即黎曼曲面的主葉)的負(fù)實軸上，或是共軛成對出現(xiàn)在復(fù)平面的左半平面.復(fù)平面零極點分布在實軸上為強逼近，分布在虛軸上為弱逼近，阻抗函數(shù)在整個復(fù)平面上達(dá)到一致收斂—強逼近要求往往難以實現(xiàn)[1].

圖7 I型奇異標(biāo)度方程在復(fù)平面內(nèi)的零極點圖

Fig.7 Zero-pole map in complex planes of the type I singular scaling equations

5.2 運算振蕩現(xiàn)象

為了更好地觀察和探究奇異標(biāo)度方程有理函數(shù)序列yk(w)的零極點分布規(guī)律，根據(jù)零極點頻率指數(shù)oi和χi與零極點關(guān)系式

(46)

得到有理函數(shù)序列的零極點頻率指數(shù)分布(如圖8和圖9)，令第i對零極點頻率指數(shù)為第i個一次子系統(tǒng)Ei(w)，那么一次子系統(tǒng)Ei(w)的頻域特征函數(shù)——相頻特征.

(47)

階頻特征

(48)

具有偶對稱性和局域化特性(圖8(a))，正是這種每個一次子系統(tǒng)都會產(chǎn)生波峰的局域化特性，使得有理函數(shù)序列yk(w)在頻域產(chǎn)生了準(zhǔn)周期性的運算振蕩現(xiàn)象，運算振蕩現(xiàn)象是所有一次子系統(tǒng)的集體行為，如圖8(b)所示.

圖8 頻域特征與零極點頻率指數(shù)的關(guān)系

(a) 一次子系統(tǒng)Ei(w)的局域化特性；(b) 階頻特征的運算振蕩現(xiàn)象

Fig.8 The relationship between frequency performance and Zero-pole frequency index

(a) localization performance of the primary subsystem Ei(w); (b)operational oscillation of the order-frequency characteristics

奇異標(biāo)度方程，Oldham分形鏈，Carlson分形格等經(jīng)典的逼近過程均有準(zhǔn)周期性的運算振蕩現(xiàn)象. 拓展來說，任何一個具有物理意義或源自于物理可實現(xiàn)系統(tǒng)的非正則標(biāo)度方程，必定存在具有準(zhǔn)周期性運算振蕩現(xiàn)象的真實解．

下一節(jié)將介紹奇異標(biāo)度方程迭代生成的有理函數(shù)序列yk(w)的每個一次子系統(tǒng)之間的距離，也就是運算振蕩周期W是多少.

5.3 運算振蕩周期

同理可得，兩類奇異標(biāo)度方程的有理函數(shù)序列的運算振蕩周期都為W=2|lgσ|.這與大多數(shù)描述標(biāo)度化電路的非正則標(biāo)度方程(格形標(biāo)度方程等[19]、Hill標(biāo)度方程[20]、Liu-Kaplan標(biāo)度方程[21])真實解的運算振蕩周期W=|lgσ|不同，這是奇異標(biāo)度方程的有理函數(shù)序列的另一奇特性質(zhì).

表2 I型奇異標(biāo)度方程迭代生成的有理函數(shù)序列的零極點頻率擬合方程

Tab.2 Zero-pole frequency fitting equations of the iterative generation’s rational function sequences of the type I strange scaling equations

標(biāo)度因子運算振蕩周期(2lgσ)零點頻率指數(shù)擬合方程極點頻率指數(shù)擬合方程y+Ik(w)σ=0.52lg0.5≈0.602 1oi=-0.64i+6.8χi=-0.64i+7.1y-Ik(w)σ=52lg5=1.397 9oi=-1.4i+0.95χi=-1.4i+0.16

6 結(jié) 論

通過方根連分式法和標(biāo)度拓展理論得到的奇異標(biāo)度方程的運算性能，呈現(xiàn)與以往所了解的方程不同的運算有效性：奇異標(biāo)度方程能夠等程度地、均勻地、平穩(wěn)地向高頻段或低頻段逼近算子wμ.I型奇異標(biāo)度方程的運算階與標(biāo)度因子無關(guān)，是半階算子的非理想逼近過程.II型奇異標(biāo)度方程是理想逼近過程，受標(biāo)度因子的影響，在高頻或低頻域內(nèi)，運算階可以是半階算子，也可以在一定條件下嚴(yán)格限定逼近任意階算子.

根據(jù)兩類奇異標(biāo)度方程迭代生成的有理函數(shù)序列{yk(w)}，探究運算性能、逼近性能、物理可實現(xiàn)性與運算振蕩周期方面的特別之處.并解釋了物理可實現(xiàn)系統(tǒng)的非正則標(biāo)度方程的運算振蕩現(xiàn)象.由奇異標(biāo)度方程迭代生成的有理函數(shù)序列，用系數(shù)矢量序列迭代算法得到的頻域特征圖，驗證了近似求解的運算階的正確性且歸納了逼近帶寬指數(shù)、逼近效益和拓展增益，I型與II型奇異標(biāo)度方程迭代生成的有理函數(shù)序列標(biāo)度前后的逼近效益都因標(biāo)度拓展有了極大地提高.由零極點分布，得到兩類奇異標(biāo)度方程迭代生成的有理函數(shù)序列是強逼近且物理可實現(xiàn)的.運算振蕩周期和標(biāo)度因子有關(guān)：W=2|lgσ|.

奇異標(biāo)度方程包含了十分豐富的內(nèi)容，關(guān)于奇異標(biāo)度方程還有許多問題值得深入研究.用K線圖、O、P指標(biāo)與逼近帶寬量化挖掘奇異標(biāo)度方程的其他奇特性質(zhì)，搭建該方程的對應(yīng)電路.找尋奇異標(biāo)度方程在流體力學(xué)、黏彈力學(xué)、圖像處理、聲音處理、憶阻等方面的應(yīng)用.