嚴(yán)敉平

(常州星宇車(chē)燈股份有限公司，江蘇常州 213003)

0 引言

汽車(chē)燈具的發(fā)展日新月異，近年來(lái)出現(xiàn)的新型燈種Logo燈逐漸流行。Logo燈可以根據(jù)客戶(hù)要求將圖形投射至地面，比較常見(jiàn)的是安裝在車(chē)門(mén)上的Logo燈可在車(chē)門(mén)下方投射出公司標(biāo)志，起到迎賓的效果。另一些前沿的科技中Logo燈也被集成進(jìn)大燈作為超小型投影儀使用，在車(chē)輛行駛過(guò)程時(shí)可以向其他交通參與者發(fā)出警告的信息，產(chǎn)生雙向的交互。例如邁巴赫S級(jí)的大燈可以在地面投射出諸如前方修路、雪天路滑、車(chē)距保持、行人斑馬線等標(biāo)識(shí)，為道路安全提供保障。圖1給出了一個(gè)實(shí)例。

圖1 AMS微透鏡陣列MLA數(shù)字燈光[1]

Logo射燈雖然種類(lèi)眾多，但其基本結(jié)構(gòu)和原理大致相同，即光源發(fā)出的光通過(guò)圖案燈片形成形狀后經(jīng)過(guò)燈內(nèi)的成像透鏡投影至地面形成圖像。與安裝在車(chē)門(mén)的Logo燈不同，安裝在車(chē)前側(cè)的Logo燈光線是傾斜地投射至地面的，光型會(huì)被拉伸產(chǎn)生畸變，因此設(shè)計(jì)時(shí)需要對(duì)光源的圖像進(jìn)行修正避免失真。

CATIA是汽車(chē)行業(yè)的首選輔助設(shè)計(jì)軟件，CATIA的二次開(kāi)發(fā)接口和開(kāi)放式的內(nèi)部命令集合可用于解決各專(zhuān)業(yè)領(lǐng)域問(wèn)題。本文作者具體介紹了一種在CATIA平臺(tái)上開(kāi)發(fā)的用于微透鏡陣列仿真的程序。開(kāi)發(fā)此程序的目的是對(duì)Logo燈中的光源原像進(jìn)行快速設(shè)計(jì)。

1 原理概述

圖2所示的Logo燈內(nèi)關(guān)鍵部件包含光源、圖案燈片和成像透鏡。光線經(jīng)由光源發(fā)出，通過(guò)聚光透鏡聚光后打在圖案燈片上，燈片是一塊金屬制刻上了鏤空?qǐng)D案的薄板，光線穿過(guò)鏤空部分形成圖案，最后由成像透鏡投影至屏幕形成最終圖像。其中燈片位于凸透鏡的1倍焦距和2倍焦距之間，因此屏幕上的像是倒立放大的實(shí)像。

安裝在車(chē)輛前側(cè)的Logo燈由于成像透鏡與地面屏幕并不是平行關(guān)系，地面也可能是曲面。光線傾斜地投射至地面時(shí)，圖形被拉伸產(chǎn)生畸變，得到的圖像就失去了原有的形狀。另一方面地面圖像的遠(yuǎn)端部分由于距離光源較遠(yuǎn)，因此會(huì)比近端更暗，造成了亮暗不均。為了解決以上問(wèn)題，Logo燈中布置了若干個(gè)彼此呈陣列式排布的微透鏡，使各自投射出的圖像產(chǎn)生重疊，通過(guò)對(duì)微透鏡陣列進(jìn)行配置，使更多的光投射至圖像的遠(yuǎn)端部分，從而使得到的圖像均勻性更好。此外光學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)需要對(duì)光源的原圖進(jìn)行修正，才能保證傾斜投影時(shí)光線不會(huì)扭曲失真。

圖2 Logo燈原理[2]

圖3 微透鏡陣列在車(chē)前Logo燈的應(yīng)用

2 建模

對(duì)整個(gè)機(jī)構(gòu)進(jìn)行建模時(shí)要盡可能地考慮簡(jiǎn)化模型。為了便于介紹，以下將光源燈片上的原始圖像簡(jiǎn)稱(chēng)為“原像”或“燈片”，將投影至地面的圖像簡(jiǎn)稱(chēng)為“投像”。由于Logo燈中光源燈片位于透鏡焦距的1倍到2倍之間，此時(shí)投像為倒立放大實(shí)像，這種情況下透鏡成像的效果與小孔成像一致，對(duì)原像進(jìn)行計(jì)算時(shí)可以將微透鏡等效為小孔，用點(diǎn)來(lái)表示。

2.1 建立坐標(biāo)系

原像、透鏡以及投像分別形成3個(gè)平面，即原像平面、透鏡平面和地平面，以這3個(gè)平面為xy平面分別定義坐標(biāo)系A(chǔ)0、A1、A2,如圖4所示。將A0定義為全局坐標(biāo)系，A1、A2為局部坐標(biāo)系。其中坐標(biāo)系A(chǔ)1總以當(dāng)前透鏡點(diǎn)為原點(diǎn)。

由于各平面采用不同的坐標(biāo)系，計(jì)算時(shí)需要進(jìn)行坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)化，兩軸系間的轉(zhuǎn)化要用到變換矩陣。變換矩陣可能是平移或繞三軸的自轉(zhuǎn)：

平移矩陣：

(1)

其中：d是平行移動(dòng)的方向矢量：

(2)

圖4 建立空間內(nèi)模型

繞x向旋轉(zhuǎn)θ的旋轉(zhuǎn)矩陣(遵循右手定則，逆時(shí)針為正，以下同理)：

(3)

繞y向旋轉(zhuǎn)φ的旋轉(zhuǎn)矩陣：

(4)

繞z向旋轉(zhuǎn)ω的旋轉(zhuǎn)矩陣：

(5)

2.2 數(shù)字化投像

投像是指位于車(chē)輛前方投影至地面的圖像，以圖5所示的投像內(nèi)容為例(假定地面為平面，不考慮曲面)。

圖5 投像內(nèi)容

對(duì)圖片進(jìn)行計(jì)算首先要對(duì)圖像進(jìn)行數(shù)字化處理，圖片中對(duì)計(jì)算有用的部分是圖案的邊界，即由一些曲線或直線圍成的外輪廓。直線是能直接計(jì)算的，而對(duì)于曲線則需要采樣簡(jiǎn)化。Douglas-Peucker算法是專(zhuān)門(mén)處理曲線離散化問(wèn)題的方法，原理是在曲線上取有限個(gè)點(diǎn)，將其變?yōu)檎劬€，并且能夠在一定程度上保持原有的形狀。文中不多介紹此算法的詳細(xì)步驟，在CATIA中用戶(hù)只需將CATDrawing格式的2D文件轉(zhuǎn)化成Dwg格式就可以實(shí)現(xiàn)實(shí)心圖案到空心圖案的轉(zhuǎn)化，然后通過(guò)右鍵隔離功能將曲線離散，圖6是一個(gè)離散后的只由直線段構(gòu)成的字母“O”。

圖6 離散后的曲線

通過(guò)以上方法得到的圖案雖不是原圖，但和原圖近乎相似，經(jīng)過(guò)數(shù)字化處理后投像已被簡(jiǎn)化成只存在線段的矢量投影。由于線段可以通過(guò)兩個(gè)端點(diǎn)來(lái)確定，因此線段的投影又可以簡(jiǎn)化為點(diǎn)的投影。

2.3 建立方程

圖7 空間內(nèi)模型示意

已知空間內(nèi)平面公式(法向式)：

xcosα+ycosβ+zcosγ=p

(6)

空間內(nèi)的直線公式(兩點(diǎn)式)：

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

z=0

(13)

2.4 全局坐標(biāo)轉(zhuǎn)化

(14)

對(duì)于三維空間內(nèi)任意兩個(gè)共原點(diǎn)的坐標(biāo)系間的轉(zhuǎn)化，都可以通過(guò)3個(gè)歐拉角的旋轉(zhuǎn)來(lái)實(shí)現(xiàn)。歐拉角的使用順序科學(xué)界未達(dá)成共識(shí)，本文作者以zxz順規(guī)的歐拉角為例：參考圖8，設(shè)定XYZ軸為目標(biāo)軸，xyz軸為待轉(zhuǎn)軸，xy平面與XY平面的共交線用N表示，α是x軸與N的夾角，β是z軸與Z軸的夾角，γ是N與X軸的夾角。xyz軸到XYZ軸的轉(zhuǎn)化順序?yàn)椋合壤@z軸旋轉(zhuǎn)α，再繞x軸旋轉(zhuǎn)β，最后再繞z軸旋轉(zhuǎn)γ。最終的轉(zhuǎn)化公式為

(15)

2.5 建立CATIA數(shù)據(jù)

在CATIA的part數(shù)據(jù)中按實(shí)物尺寸建立數(shù)據(jù)(見(jiàn)圖9)。燈具安裝在車(chē)輛的正前方，高度200 mm處，燈向下傾斜角度10°。燈具中包含有5×5的透鏡陣列，透鏡彼此間距4 mm，透鏡陣列與原像平面(燈片)平行，距離為8 mm，原像面大小為32 mm×27 mm，投像草圖已經(jīng)過(guò)曲線離散化大小為1 375 mm×261 mm，草圖距離車(chē)輛682 mm。

圖8 歐拉角

圖9 CATIA數(shù)據(jù)模型

3 程序說(shuō)明

3.1 程序界面

使用Visual Basic 6.0來(lái)編程，圖10展示了程序的主界面，其中包含6個(gè)部分：

(1)透鏡位置。顯示當(dāng)前所選擇的透鏡點(diǎn)。

(2)燈片位置。顯示當(dāng)前所選擇的原像面。

(3)地面草圖。顯示當(dāng)前所選的投像草圖。

(4)批量作圖。勾選時(shí)同一幾何圖形集下所有透鏡點(diǎn)會(huì)進(jìn)行批量計(jì)算，未勾選時(shí)只計(jì)算當(dāng)前所選的透鏡點(diǎn)。

(5)開(kāi)始。點(diǎn)擊后開(kāi)始計(jì)算原像。

(6)選擇。當(dāng)選擇區(qū)各參數(shù)都為未選擇時(shí)顯示為“選擇”按鈕，點(diǎn)擊后開(kāi)始參數(shù)選擇功能；當(dāng)選擇區(qū)已有參數(shù)時(shí)顯示為“清空”按鈕，點(diǎn)擊后將參數(shù)清空。

圖10 程序主界面

3.2 程序流程

首先點(diǎn)擊選擇按鈕并進(jìn)入CATIA依次選擇目錄樹(shù)中對(duì)應(yīng)參數(shù)(見(jiàn)圖9左上方)，當(dāng)選擇區(qū)參數(shù)選擇完畢后，點(diǎn)擊“開(kāi)始按鈕”開(kāi)始計(jì)算。通過(guò)前一章節(jié)的推導(dǎo)得知計(jì)算原像時(shí)，須求得投像點(diǎn)及透鏡點(diǎn)的全局坐標(biāo)。而投像點(diǎn)和透鏡點(diǎn)的全局坐標(biāo)又通過(guò)其局部坐標(biāo)轉(zhuǎn)化而來(lái)，按照這一過(guò)程程序的具體計(jì)算步驟如下：

(1)首先遍歷投像草圖內(nèi)所有線段，并記錄每個(gè)線段起點(diǎn)和終點(diǎn)的2D坐標(biāo)。

(2)以投像草圖零點(diǎn)為原點(diǎn)，草圖水平軸為x軸、垂直軸為y軸建立局部坐標(biāo)系A(chǔ)2，步驟(1)中記錄的2D坐標(biāo)加上z=0即為投像點(diǎn)的局部坐標(biāo)。

(3)在原像平面內(nèi)任取一點(diǎn)為原點(diǎn)，以原像平面為xy平面建立全局坐標(biāo)系A(chǔ)0。

(4)連接坐標(biāo)系A(chǔ)2、A0的原點(diǎn)形成直線L1，測(cè)量L1長(zhǎng)度d1，測(cè)量L1與坐標(biāo)系A(chǔ)0的3個(gè)軸的夾角ω1、ω2、ω3，以此求得A2到A0的平移矩陣為(d1·cosω1,d1·cosω2,d1·cosω3,1)T。

(5)將坐標(biāo)系A(chǔ)2的xy平面和坐標(biāo)系A(chǔ)0的xy平面相交得直線N。

(6)測(cè)量zxz順規(guī)的3個(gè)歐拉角，即坐標(biāo)系A(chǔ)2的x軸與N的夾角α，A2的z軸與A0的z軸夾角β，A0的x軸與N的夾角γ，由此求出3個(gè)旋轉(zhuǎn)矩陣依次是：Rz=Rz(α)，Rx=Rx(β)，Rz=Rz(γ)。

(7)將步驟(2)中的投像全局坐標(biāo)、步驟(4)中的平移矩陣、步驟(6)中的3個(gè)旋轉(zhuǎn)矩陣代入公式(15)求出投像點(diǎn)的全局坐標(biāo)。

(8)以當(dāng)前透鏡點(diǎn)為原點(diǎn)建立局部坐標(biāo)系A(chǔ)1，則透鏡點(diǎn)局部坐標(biāo)為(0，0，0)。

(9)連接坐標(biāo)系A(chǔ)1、A0原點(diǎn)形成直線L2，測(cè)量L2長(zhǎng)度d2，測(cè)量L2與坐標(biāo)系A(chǔ)0的3個(gè)軸的夾角δ1、δ2、δ3，以此求得A1到A0的平移矩陣為(d2·cosδ1,d2·cosδ2,d2·cosδ3,1)T。

(10)將步驟(8)中的透鏡點(diǎn)局部坐標(biāo)和步驟(9)中的平移矩陣代入公式(14)求出透鏡點(diǎn)的全局坐標(biāo)。

(11)將步驟(7)中的投像點(diǎn)全局坐標(biāo)和步驟(10)中的透鏡點(diǎn)全局坐標(biāo)代入公式(11)(12)(13)求出原像點(diǎn)的全局坐標(biāo)。

(12)根據(jù)步驟(11)中的原像點(diǎn)全局坐標(biāo)在原像平面內(nèi)作出原像草圖。

(13)若批量作圖按鈕被選中則重復(fù)以上步驟(8)—(12)。

(14)新建零件幾何體，以原像面做0.5 mm厚的厚曲面，用步驟(12)中做出的草圖在厚曲面上開(kāi)凹槽，得到完整的燈片數(shù)據(jù)。至此程序運(yùn)算完畢。

4 結(jié)果和評(píng)價(jià)

對(duì)5×5的透鏡點(diǎn)進(jìn)行批量運(yùn)算，得到原像燈片結(jié)果如圖11所示。相較于投像，原像是一個(gè)倒立的畸變圖案，這正是對(duì)原像圖形進(jìn)行修正的過(guò)程，因?yàn)橹挥羞@樣才能得到一個(gè)規(guī)整的投像圖案。在運(yùn)算時(shí)間方面總計(jì)花費(fèi)時(shí)間29 min 30 s。其中步驟(1)—(11)耗時(shí)50 s，步驟(12)—(14)耗時(shí)28 min 40 s。過(guò)程中總計(jì)處理了287 000個(gè)線段，CATIA花費(fèi)了大量時(shí)間在作草圖線段這一步驟上(步驟12)。在處理大批量圖形數(shù)據(jù)時(shí)CATIA的運(yùn)算效率不高，因此導(dǎo)致了此步驟運(yùn)算時(shí)間較長(zhǎng)，但CATIA的好處是可以直接生成設(shè)計(jì)所需的3D數(shù)據(jù)，此實(shí)例中最終的輸出物是燈片的實(shí)體數(shù)據(jù)。

圖11 原像燈片運(yùn)算結(jié)果

因透鏡點(diǎn)呈陣列式分布，透鏡前的原像也是陣列式分布的。設(shè)計(jì)原像時(shí)，其尺寸應(yīng)被局限在某一范圍內(nèi)不能太大，否側(cè)兩原像之間會(huì)重疊沖突，這意味著地面投像在車(chē)身兩側(cè)方向受到限制，而在車(chē)身行駛方向不受限制，原因是當(dāng)投影光線與地面平行時(shí)理論可投至前方無(wú)限遠(yuǎn)位置。