周小燕， 梁青青， 趙春艷

( 蘭州文理學(xué)院 傳媒工程學(xué)院， 甘肅 蘭州 730070 )

玻色-愛(ài)因斯坦凝聚體(Bose -Einstein condensate,BEC)[1]由美國(guó)科學(xué)家埃里克·康奈爾等于1995年在實(shí)驗(yàn)中首次發(fā)現(xiàn).因BEC不僅可為研究量子力學(xué)的基本問(wèn)題提供一個(gè)宏觀系統(tǒng)，而且還可應(yīng)用于原子激光、精密測(cè)量、量子信息和量子計(jì)算等領(lǐng)域，因此受到國(guó)內(nèi)外學(xué)者的關(guān)注，并取得了大量的研究結(jié)果[2-9].近年來(lái)，學(xué)者們對(duì)有限深勢(shì)阱中單組份BEC的穩(wěn)定性進(jìn)行了大量的研究，結(jié)果表明影響B(tài)EC穩(wěn)定性的因素有很多，如原子之間的相互作用，囚禁原子數(shù)目的多少，凝聚原子與熱原子之間的相互作用等[10-11].也有學(xué)者對(duì)雙組份BECs的穩(wěn)定性進(jìn)行了研究，結(jié)果表明雙組份凝聚體的穩(wěn)定性比單組份BEC的穩(wěn)定性更加復(fù)雜，其穩(wěn)定性既與同組份原子內(nèi)部和不同組份原子之間的相互作用有關(guān)，還與囚禁的原子數(shù)多少有關(guān)[12-14].目前，學(xué)者從原子的臨界數(shù)和基態(tài)能量方面對(duì)BEC的穩(wěn)定性研究得較少，基于此本文在不考慮相分離和熱原子影響的情況下，利用變分法分析有限深勢(shì)阱中兩組份凝聚體的穩(wěn)定性，得出凝聚體塌縮的臨界條件，并從有效勢(shì)和能量的角度分析凝聚體的穩(wěn)定性.

1 模型方程

首先給出兩組份凝聚體的耦合方程:

(1)

Ψi(x,y,t)=ψi(x,y,t)fi(z,t),

(2)

其中fi(z,t)表示軸向方向的波函數(shù).將軸向波函數(shù)fi(z,t)定義為

(3)

其中l(wèi)z i是描述其中任一組份凝聚體軸向長(zhǎng)度的物理量.利用式(2)和(3)可得到二維軸向方向的GPEs方程：

(4)

V(r)=r2exp (-cr2).

(5)

由此方程(4)變?yōu)椋?/p>

(6)

2 有限深勢(shì)阱中兩組份凝聚體的基態(tài)

本文使用高斯型試探波函數(shù)研究凝聚體在V(r)=r2exp (-cr2)中的穩(wěn)定性.高斯型試探波函數(shù)為

(7)

其中Ai和Ri分別是波包的振幅和寬度.波函數(shù)(7)滿足歸一化條件

(8)

1) 從原子數(shù)方面來(lái)討論基態(tài)的穩(wěn)定性.方程(6)在柱坐標(biāo)下的拉格朗日密度為

(9)

將方程(5)和(7)代入方程(9)中，可得到方程(6)的有效拉格朗日方程：

(10)

將方程(5)變?yōu)?/p>

V(r)=εr2exp (-cr2),

(11)

并將其代入到方程(10)進(jìn)行重復(fù)計(jì)算.令R1=R2=R,a1=a2=a， 則根據(jù)?Leff/?Ai=?Leff/?Ri=0和方程(8)可得出N與k,k1,c，R之間的關(guān)系式為

(12)

(13)

由式(13)可知，只有在滿足k+k1<0的條件下，兩組份凝聚態(tài)才有可能存在穩(wěn)定態(tài)，即滿足a+a1<0的條件下存在穩(wěn)定態(tài).由以上可知，當(dāng)給定相互作用系數(shù)k和k1時(shí)，就可以得出一個(gè)臨界原子數(shù)上限；當(dāng)原子數(shù)超過(guò)這個(gè)臨界值時(shí)，系統(tǒng)就會(huì)塌縮：這表明組與組的相互作用對(duì)凝聚體的穩(wěn)定性具有重要的作用.

2) 從基態(tài)能量方面討論凝聚體的穩(wěn)定性.二維凝聚體在有限深勢(shì)阱中的基態(tài)能量為

(14)

將方程(7)代入方程(14)，得基態(tài)的能量為

(15)

求基態(tài)能量的極值后可得基態(tài)寬度的方程：

(16)

令R1=R2=R,g1=g2=g,N1=N2=N/2， 則方程(15)和(16)可分別簡(jiǎn)化為：

(17)

(18)

從方程(18)可知，只有當(dāng)g+g12> -8π時(shí)，方程(17)才有意義，即當(dāng)體系滿足g+g12> -8π時(shí)才會(huì)有穩(wěn)態(tài)出現(xiàn).該結(jié)論和式(13)一致.