于道航， 嚴(yán)國平， 鐘 飛， 楊小俊， 萬乾程

(湖北工業(yè)大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院， 湖北 武漢 430068)

蒙特卡羅可靠性分析方法通過大量隨機(jī)模擬對(duì)研究對(duì)象進(jìn)行可靠性分析，如果選擇的隨機(jī)數(shù)數(shù)量過少，結(jié)果就會(huì)產(chǎn)生嚴(yán)重偏差，國內(nèi)外一些研究者對(duì)此進(jìn)行了大量的研究。理論上，呂震宙[1-3]詳細(xì)介紹了蒙特卡羅可靠性及可靠性靈敏度分析理論，并闡述了相關(guān)推導(dǎo)過程及計(jì)算方法；在工程應(yīng)用領(lǐng)域，龍東平[4]等人依據(jù)蒙特卡羅可靠度性方法，對(duì)機(jī)械零件的應(yīng)力與強(qiáng)度的關(guān)系進(jìn)行模擬，并得出機(jī)械零件的可靠性指標(biāo)；劉瑞，宿吉鵬[5-6]以機(jī)械手為研究對(duì)象，討論了鉸間隙位移、速度及加速度的可靠性分析。AIAA[7]將蒙特卡羅可靠性分析法應(yīng)用于風(fēng)力電機(jī)的可靠性分析，Zhang[8]提出QMC法以降低樣本數(shù)并提高計(jì)算精度。上述研究很少涉及包裝領(lǐng)域。由于包裝機(jī)械的靈巧性及精密性，其設(shè)計(jì)運(yùn)行的可靠性要求更為突出，故本文將以枕型袋包裝機(jī)橫封機(jī)構(gòu)作為研究對(duì)象，基于蒙特卡羅可靠性分析法，對(duì)橫封機(jī)構(gòu)在不同公差等級(jí)下的運(yùn)動(dòng)精度可靠性進(jìn)行計(jì)算分析，力求為尺寸公差等級(jí)選取的合理性提供理論依據(jù)。

1 橫封機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)原理

枕型袋包裝機(jī)橫封機(jī)構(gòu)[9]的工作結(jié)構(gòu)如圖1所示。

根據(jù)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)原理，可將該機(jī)構(gòu)中橫封頭、曲柄以及連桿構(gòu)成的一組曲柄滑塊機(jī)構(gòu)作為研究對(duì)象，其運(yùn)動(dòng)簡(jiǎn)圖如圖2所示。

1-橫封頭a；2-氣缸；3-帶輪；4-橫封頭b； 5-連桿b；6-曲柄；7-連桿a圖 1 橫封機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)圖

圖 2 機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)簡(jiǎn)圖

OB、BC分別為曲柄和連桿，滑塊C代表橫封頭，D為包裝袋，橫封頭與包裝袋之間的距離為CD=x，當(dāng)x=0時(shí)為熱封的理想位置，x′ 代表運(yùn)動(dòng)誤差。

2 可靠性及可靠性靈敏度計(jì)算

如圖2所示，根據(jù)幾何關(guān)系，機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)方程：

(1)

式中：x為滑塊運(yùn)動(dòng)距離，r為曲柄長(zhǎng)度，l為連桿長(zhǎng)度，φ為曲柄角位移。

由于OB及BC在長(zhǎng)度上會(huì)有偏差，可表達(dá)為r1，l1。以位置誤差x′作為機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)的位置有效域，根據(jù)式(1)構(gòu)建功能函數(shù)：

(2)

設(shè)r，l滿足高斯分布。根據(jù)均值μ、標(biāo)準(zhǔn)差σ得到聯(lián)合概率密度函數(shù)：

(3)

式中：μr，μl為曲柄連桿的均值；σr，σl曲柄連桿長(zhǎng)度分布方差。

依據(jù)蒙特卡羅可靠性分析理論，由聯(lián)合概率密度函數(shù)隨機(jī)產(chǎn)生N個(gè)基本變量，并將這N個(gè)隨機(jī)變量代入功能函數(shù)，統(tǒng)計(jì)最終落入失效域的基本變量的個(gè)數(shù)Nf,最終可求得失效概率估計(jì)值[1]

Pf=Nf/N

(4)

失效概率估計(jì)值的方差

(5)

失效概率估計(jì)值的變異系數(shù)

(6)

可靠性靈敏度可以描述基本變量分布參數(shù)對(duì)失效概率的影響程度[1]，在數(shù)學(xué)表達(dá)式上可表述為失效概率Pf對(duì)基本變量分布參數(shù)θx的偏導(dǎo)數(shù)。本文以μr、μl、σr、σl四個(gè)基本變量作為可靠性計(jì)算的分布參數(shù)，根據(jù)下式進(jìn)行可靠性靈敏度相關(guān)計(jì)算：

(7)

式中：xj是按照聯(lián)合概率密度函數(shù)抽取的N個(gè)樣本中的第j個(gè)樣本。 可靠性靈敏度估計(jì)值的方差表達(dá)式為：

(8)

其估計(jì)值的變異系數(shù)表達(dá)式為：

(9)

3 具體算例

以某枕型袋包裝機(jī)橫封機(jī)構(gòu)為例，相應(yīng)參數(shù)為曲柄OB=45 mm，連桿BC=200 mm，均值μr= 45 mm，μl= 200 mm。以IT9為例，依據(jù)3σ準(zhǔn)則得標(biāo)準(zhǔn)差σr=0.062/3，σl=0.115/3,0

圖 3 曲柄長(zhǎng)度取樣分布

由圖3可知，在樣本數(shù)為106前提下，曲柄長(zhǎng)度的采樣結(jié)果符合前述只允許負(fù)公差存在的工況要求，為后續(xù)相關(guān)研究計(jì)算工作的準(zhǔn)確性奠定了基礎(chǔ)。連桿采樣情況與曲柄采樣類似。

3.1 位置可靠性結(jié)果分析

依據(jù)式(2)-(4)進(jìn)行位置可靠性計(jì)算，為保證概率計(jì)算結(jié)果數(shù)據(jù)的可靠性，分別以樣本數(shù)為107和108兩個(gè)數(shù)量級(jí)進(jìn)行計(jì)算與比較，將φ=0時(shí)得到的蒙特卡羅可靠性計(jì)算結(jié)果列于表1，并選取滿足熱封工作要求的尺寸精度。

表1 φ=0時(shí)失效概率P

根據(jù)表1的計(jì)算結(jié)果，以95%的可靠度為設(shè)計(jì)目標(biāo)，則可選取公差等級(jí)為IT9的曲柄與連桿，從而滿足該機(jī)構(gòu)在熱封工作時(shí)的設(shè)計(jì)需求。另外，表1表明，在兩個(gè)足夠大的樣本數(shù)數(shù)量級(jí)下，蒙特卡羅可靠性計(jì)算的失效概率幾乎相同，這說明采用本文所述方法對(duì)橫封機(jī)構(gòu)進(jìn)行可靠性計(jì)算的結(jié)果具有良好的可信度，計(jì)算消除了樣本數(shù)過少造成的偶然因素的影響。

前文對(duì)φ=0時(shí)工作位置的情況進(jìn)行了分析，但同樣可以采用其他角度作為工作位置的工況。為了探討何種角度作為工作位置較為合理，以IT9為例，繪制角位移與失效概率的對(duì)應(yīng)關(guān)系(圖4)。

圖 4 曲柄轉(zhuǎn)角-失效概率

如圖4可知，隨著曲柄角位移φ的增加，機(jī)構(gòu)的失效率呈非線性減小趨勢(shì)，在0～60°間失效概率波動(dòng)較大，但隨著曲柄角位移的增大，失效概率波動(dòng)減小，說明曲柄角位移φ在開始角度時(shí)波動(dòng)較大，后續(xù)波動(dòng)較小，但整體來看，機(jī)構(gòu)位置的失效概率顯著降低。因此，僅從工作角度來看，當(dāng)曲柄轉(zhuǎn)角在0°～100°之間，其工作位置所在角度越大，失效率則越低。

3.2 可靠性靈敏度結(jié)果分析

根據(jù)式(5)-(9)對(duì)φ= 0°時(shí)的可靠性靈敏度數(shù)據(jù)進(jìn)行相關(guān)計(jì)算。計(jì)算結(jié)果列于表2。

由表2可知，隨著精度等級(jí)的提高，曲柄與連桿的失效概率降低且離散程度降低，另外，μr、μl、σr、σl對(duì)失效概率的影響整體上呈現(xiàn)降低的趨勢(shì)。這表明，隨著精度等級(jí)的提高，該機(jī)構(gòu)可靠性、穩(wěn)定性趨好。

4 結(jié)束語

1)通過對(duì)枕型袋包裝機(jī)橫封機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)位置精度需求分析，計(jì)算出了蒙特卡羅可靠性數(shù)據(jù)及可靠性靈敏度數(shù)據(jù)，從所得數(shù)據(jù)分析得出IT9及更高公差等級(jí)滿足位置精度需求且可靠性高于95%。但公差等級(jí)的提升，也伴隨著加工成本的極大提高，因此，IT9為更合理的選擇。

2)當(dāng)角位移0～60°時(shí)，失效概率波動(dòng)較大，可考慮將熱封工位對(duì)應(yīng)的曲柄角位移增大，避免不同曲柄角位移的失效概率相差過大，以提高機(jī)構(gòu)穩(wěn)定性。

3)以本文所用方法進(jìn)行相關(guān)零件設(shè)計(jì)時(shí)的公差等級(jí)選擇，可得到更為直觀的數(shù)據(jù)，進(jìn)而提高設(shè)計(jì)的可靠性。