胡曉婷，魏首柳，謝 丹，余倩倩

(閩江學(xué)院數(shù)學(xué)與數(shù)據(jù)科學(xué)學(xué)院，福建 福州 350108)

圖的拓?fù)渲笜?biāo)是基于圖中頂點(diǎn)的度、邊與邊、頂點(diǎn)與頂點(diǎn)之間的連接情況，是圖的一種不變量及分子結(jié)構(gòu)數(shù)值化的一種方式，將分子結(jié)構(gòu)抽象成數(shù)字反映分子的拓?fù)涮卣鳎苯友苌诨衔锝Y(jié)構(gòu)圖的數(shù)學(xué)不變量，依賴于化合物的分子結(jié)構(gòu)。拓?fù)渲笜?biāo)不但可以定量地描述化合物的分子結(jié)構(gòu)，也可以分析相關(guān)分子的結(jié)構(gòu)和性能之間的關(guān)系。分子拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的描述確定了分子的許多特性，除了包括那些與分子大小和形狀有關(guān)的性質(zhì)外，還包括分子的量子力學(xué)特性,特別是在定量結(jié)構(gòu)—屬性關(guān)系(QSPR)和定量結(jié)構(gòu)—活動(dòng)關(guān)系(QSAR)的研究中得到了廣泛應(yīng)用。 因此，給出反映分子結(jié)構(gòu)基本特征的一種定量標(biāo)準(zhǔn)(度量)在化學(xué)圖論中具有重要意義。從Wiener提出第一個(gè)分子拓?fù)渲笜?biāo)即Wiener指標(biāo)之后，已有數(shù)百種分子拓?fù)渲笜?biāo)出現(xiàn)在各種不同的文獻(xiàn)中[1-2]。 Gutman在文獻(xiàn)[3]中全面總結(jié)歸納了基于度的各種拓?fù)渲笜?biāo)的計(jì)算表達(dá)式和相應(yīng)的歷史背景，其中最著名的有Randic指標(biāo)、Wiener指標(biāo)、Merrifield-Simmons指標(biāo)、Zagreb指標(biāo)、Atom-bond Connectivity指標(biāo)(ABC指標(biāo))和Geometric-arithmetic指標(biāo)(GA指標(biāo))等。近年來，許多數(shù)學(xué)工作者和化學(xué)工作者把研究具有化學(xué)背景的特殊圖類的拓?fù)渲笜?biāo)作為自己的主要研究方向[3-14]。

本文所研究的圖均是無向的連通簡單圖。設(shè)G是具有頂點(diǎn)集V(G)={v1,v2,…,vn}和邊集E(G)的一個(gè)圖，且di表示圖G中頂點(diǎn)vi的度。稱G中連接度為di的頂點(diǎn)vi和度為dj的頂點(diǎn)vj的一條邊為(i,j)-邊。用符號(hào)eij(G)表示圖G中的(i,j)-邊的數(shù)目。文中沒有說明的符號(hào)和術(shù)語可以參見文獻(xiàn)[15]。

Estrada等人于1998年提出的一個(gè)圖G的拓?fù)洳蛔兞縖16],即原子鍵連通性指標(biāo)，簡稱ABC指標(biāo)且定義如下：

(1)

其中求和符號(hào)表示對(duì)圖G的所有邊進(jìn)行求和．對(duì)于ABC指標(biāo)的應(yīng)用背景，已被證實(shí)其在研究烷烴的熱形成中是一個(gè)有效的預(yù)測(cè)性指數(shù)，且已被廣泛用來研究烷烴的穩(wěn)定性以及環(huán)烷烴的應(yīng)變能等[5,16]．關(guān)于ABC指標(biāo)的研究和眾多成果，可以進(jìn)一步參考文獻(xiàn)[17-23]及其所引用的參考文獻(xiàn)。

(2)

1 基本定義

為了給出本文的研究結(jié)果及其證明，首先給出五邊形網(wǎng)格螺旋鏈圖的概念。

定義1[29]兩個(gè)多邊形通過一個(gè)公共頂點(diǎn)相聯(lián)，這種聯(lián)接方式稱為螺接；其中公共頂點(diǎn)稱為螺接頂點(diǎn)。

定義2五邊形網(wǎng)格螺旋鏈圖是一個(gè)由一系列五邊形T1,T2,…,Tn構(gòu)成的1-連通圖，而且必須滿足：1)對(duì)任意的1≤t

不妨用Sn表示具有n個(gè)五邊形的五邊形網(wǎng)格螺旋鏈圖的集合。設(shè)SPTn∈Sn，則SPTn(n≥2)可以看作由Sn-1的某一個(gè)元素SPTn-1再聯(lián)接一個(gè)五邊形而得到，如圖1所示。圖2顯示了n=1,2的唯一五邊形網(wǎng)格螺旋鏈圖以及n=3的所有五邊形網(wǎng)格螺旋鏈圖；圖1顯示了五邊形網(wǎng)格螺旋鏈圖的一般情形，其中vn-1是SPTn-1中Tn-1的一個(gè)頂點(diǎn)。因?yàn)槊總€(gè)五邊形有5個(gè)頂點(diǎn)，所以由圖2可知：每個(gè)在SPTn-1中的五邊形有4個(gè)可聯(lián)接位，即n≥3的SPTn不是唯一的。從圖的同構(gòu)角度考慮，只有兩個(gè)非同構(gòu)的螺接方式(圖3)。

圖1 含有n個(gè)五邊形的五邊形網(wǎng)格螺旋鏈圖Fig.1 The spiro pentagonal chain with n pentagons

圖2 n=1,2,3的五邊形網(wǎng)格螺旋鏈圖Fig.2 The spiro pentagonal chains with n=1,2,3

圖3 五邊形網(wǎng)格螺旋鏈圖的兩種非同構(gòu)的螺接方式Fig.3 The two types of non-isomorphic arrangements in a spiro pentagonal chain

2 隨機(jī)五邊形網(wǎng)格螺旋鏈圖的ABC指標(biāo)和GA指標(biāo)

本節(jié)主要考慮一個(gè)隨機(jī)五邊形網(wǎng)格螺旋鏈圖的ABC指標(biāo)和GA指標(biāo)的推導(dǎo)和計(jì)算。為了方便，沿用在上述部分提到的各個(gè)符號(hào)和定義的表達(dá)含義。如圖1所示，設(shè)SPTn為通過在五邊形網(wǎng)格螺旋鏈圖SPTn-1上聯(lián)接一個(gè)新五邊形Tn而得到的一個(gè)五邊形網(wǎng)格螺旋鏈圖,其中Tn=x1x2x3x4x5。顯然，在五邊形網(wǎng)格螺旋鏈圖SPTn上只有(2,2)-邊、(2,4)-邊和(4,4)-邊。由此，公式(1)和(2)可以直接改寫為：

(3)

和

(4)

因此，為了計(jì)算五邊形網(wǎng)格螺旋鏈圖SPTn的ABC指標(biāo)和GA指標(biāo)，只需要確定出SPTn中的不同種類的邊數(shù)e22(SPTn),e24(SPTn)和e44(SPTn)即可。

定理1設(shè)SPTn(p)是一個(gè)長度為n的隨機(jī)五邊形網(wǎng)格螺旋鏈圖(n≥2)，則

證明當(dāng)n=2時(shí)，SPT2(p)由兩個(gè)五邊形構(gòu)成且它們之間有一個(gè)公共頂點(diǎn)(圖2)，則容易計(jì)算求得

當(dāng)n≥3時(shí)，由圖3所示的兩種可能非同構(gòu)聯(lián)接方式，可以得出e22(SPTn)、e24(SPTn)和e44(SPTn)的具體數(shù)量。

和

因此，通過式(3)可以求得：

因此，通過式(3)可以求得：

綜上所述，可得出：

(5)

由遞歸式(5)和初始條件可以推導(dǎo)得到：

即定理得證。

利用定理1中完全類似的證明方法，可以計(jì)算得到關(guān)于GA指標(biāo)的一個(gè)顯式表達(dá)式。

定理2設(shè)SPTn(p)是一個(gè)長度為n的隨機(jī)五邊形網(wǎng)格螺旋鏈圖(n≥2)，則

定理1和2表明：E[ABC(SPTn(p))]和E[GA(SPTn(p))]關(guān)于n都是漸近的且關(guān)于p都是線性的。同時(shí)，可以利用定理1和2的公式立即得到兩類特殊的五邊形網(wǎng)格螺旋鏈圖的ABC指標(biāo)和GA指標(biāo)的顯式表達(dá)式，其中兩類特殊的五邊形網(wǎng)格螺旋鏈圖分別記為SPTn(1)和SPTn(0)，如圖4所示。

圖4 2類特殊的五邊形網(wǎng)格螺旋鏈圖Fig.4 The two types of special spiro pentagonal chains

推論1設(shè)SPTn(1)和SPTn(0)為如圖4所示的兩類特殊五邊形網(wǎng)格螺旋鏈圖，則

和

推論2設(shè)SPTn(1)和SPTn(0)為如圖4所示的兩類特殊五邊形網(wǎng)格螺旋鏈圖，則

和

3 五邊形網(wǎng)格螺旋鏈圖的ABC指標(biāo)和GA指標(biāo)的平均值

前文已提到，Sn表示具有n個(gè)五邊形的五邊形網(wǎng)格螺旋鏈圖的集合,則Sn的所有五邊形網(wǎng)格螺旋鏈圖的ABC指標(biāo)和GA指標(biāo)的平均值可分別定義如下：

和

定理3Sn的每個(gè)元素都有ABC指標(biāo)和GA指標(biāo)的平均值分別為

和

4 隨機(jī)五邊形網(wǎng)格螺旋鏈圖的ABC指標(biāo)和GA指標(biāo)的比較

文獻(xiàn)[27]比較研究了有關(guān)化學(xué)樹、分子圖和帶有一定限制條件的簡單圖的ABC指標(biāo)和GA指標(biāo)的大小。2018年，Wei等又在文獻(xiàn)[7]中考慮了隨機(jī)六邊形網(wǎng)格螺旋鏈圖的ABC指標(biāo)和GA指標(biāo)的數(shù)學(xué)期望的大小問題。這里，也將對(duì)隨機(jī)五邊形網(wǎng)格螺旋鏈圖的ABC指標(biāo)和GA指標(biāo)的數(shù)學(xué)期望的大小進(jìn)行比較，并得出相應(yīng)的結(jié)論。

定理4設(shè)SPTn(p)是一個(gè)長度為n的隨機(jī)五邊形網(wǎng)格螺旋鏈圖(n≥2)，則

E[GA(SPTn(p))]>E[ABC(SPTn(p))]。

證明當(dāng)n=2時(shí)，顯然有

當(dāng)n≥3時(shí)，由定理1和2可得：

不妨記：

則顯然a0>0,a1>0,a2<0,a3<0。因此，當(dāng)n≥3時(shí)，通過計(jì)算可以得到：

E[GA(SPTn(P)]-E[ABC(SPTn(P)]=[a0p+a1]n+a2p+a3>0,

即

E[GA(SPTn(P)]>E[ABC(SPTn(P)]。

綜上所述，可得出：當(dāng)n≥2時(shí)，E[GA(SPTn(P)]>E[ABC(SPTn(P)]。

5 結(jié)論

本文主要研究了隨機(jī)五邊形網(wǎng)格螺旋鏈圖的ABC和GA指標(biāo)的確定問題。研究了隨機(jī)五邊形網(wǎng)格螺旋鏈圖中的ABC指標(biāo)和GA指標(biāo)的數(shù)學(xué)期望公式；給出了所有含有n個(gè)五邊形的五邊形網(wǎng)格螺旋鏈圖的ABC指標(biāo)和GA指標(biāo)的平均值；比較了隨機(jī)五邊形網(wǎng)格螺旋鏈圖中的兩個(gè)拓?fù)渲笜?biāo)的數(shù)學(xué)期望，結(jié)果表明：隨機(jī)五邊形網(wǎng)格螺旋鏈圖的GA指標(biāo)的數(shù)學(xué)期望大于其ABC指標(biāo)的數(shù)學(xué)期望。