■河南省平頂山市第一中學(xué)

圓周運(yùn)動(dòng)包含水平面內(nèi)的勻速圓周運(yùn)動(dòng)和豎直面內(nèi)的變速圓周運(yùn)動(dòng)兩類模型，求解圓周運(yùn)動(dòng)問題不僅需要熟練掌握?qǐng)A周運(yùn)動(dòng)相關(guān)概念、規(guī)律和公式，還需要靈活選用解題技巧和方法。下面舉例分析。

一、水平面內(nèi)圓周運(yùn)動(dòng)問題的求解策略

1.明確運(yùn)動(dòng)形式：研究對(duì)象在水平面內(nèi)沿圓周做速度大小不變的運(yùn)動(dòng)。

2.確定向心力來源：向心力是按力的作用效果命名的，可以是重力、彈力、摩擦力等各種力，也可以是幾個(gè)力的合力或某個(gè)力的分力。在勻速圓周運(yùn)動(dòng)中，向心力是由物體受到的合外力來提供的，它只能改變速度的方向，不能改變速度的大小。向心力是變力，其大小。

3.正確進(jìn)行受力分析：沿半徑方向和垂直于半徑方向?qū)⒀芯繉?duì)象受到的各力進(jìn)行分解，根據(jù)牛頓第二定律和向心力公式列方程。

4.合理選擇過程分析：根據(jù)題意選擇滿足動(dòng)能定理或機(jī)械能守恒定律的運(yùn)動(dòng)過程，應(yīng)用動(dòng)能定理或機(jī)械能守恒定律將初、末兩個(gè)狀態(tài)聯(lián)系起來列方程求解。

例1如圖1甲所示，一質(zhì)量為m的小球系在兩根不可伸長的輕繩a、b一端，兩輕繩的另一端拴接在豎直桿上的A、B兩點(diǎn)上。當(dāng)兩輕繩伸直時(shí)，輕繩a與豎直桿間的夾角θ=30°，輕繩b水平，如圖1乙所示。已知輕繩a的長度為2L。豎直桿以自己為軸轉(zhuǎn)動(dòng)，在其角速度ω從零開始緩慢增大的過程中（不同ω對(duì)應(yīng)的軌跡可看成是穩(wěn)定的圓周運(yùn)動(dòng)軌跡），下列說法正確的是（ ）。

A.從開始至輕繩b伸直但不提供拉力時(shí)，輕繩a對(duì)小球做的功為0

B.從開始至輕繩b伸直但不提供拉力時(shí)，小球的動(dòng)能增加了

C.從開始至輕繩b伸直但不提供拉力時(shí)，輕繩a對(duì)小球做的功為

答案：BC

點(diǎn)評(píng)：從開始至輕繩b伸直但不提供拉力，輕繩a對(duì)小球要做功。因?yàn)閳A周運(yùn)動(dòng)的軌跡發(fā)生變化，輕繩a的拉力為變力，所以可以先根據(jù)牛頓第二定律和向心力公式求出輕繩b剛要伸直時(shí)小球的速度，再根據(jù)動(dòng)能定理求得輕繩a對(duì)小球做的功。根據(jù)角速度與速度的關(guān)系分析輕繩b剛要伸直時(shí)小球的角速度，進(jìn)而可判斷出當(dāng)時(shí)輕繩b是否伸直。

二、豎直面內(nèi)圓周運(yùn)動(dòng)問題的求解策略

1.明確物理模型：判斷是輕繩模型還是輕桿模型。

3.確定研究狀態(tài)：在高中階段研究的豎直平面內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng)只涉及最高點(diǎn)和最低點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)情況。

5.合理選擇過程分析：根據(jù)題意選擇滿足動(dòng)能定理或機(jī)械能守恒定律的運(yùn)動(dòng)過程，應(yīng)用動(dòng)能定理或機(jī)械能守恒定律將初、末兩個(gè)狀態(tài)聯(lián)系起來列方程求解。

例2如圖2所示，細(xì)線的一端系一質(zhì)量為m的小球，以另一端O為圓心，使小球在豎直面內(nèi)做半徑為R的圓周運(yùn)動(dòng)。若小球在豎直向上方向上受到恒力F的作用，為使小球能做完整的圓周運(yùn)動(dòng)，在最低點(diǎn)B小球至少應(yīng)有多大的初速度？

解析

小球在運(yùn)動(dòng)過程中，受到重力mg、拉力T和恒力F三個(gè)力的作用。根據(jù)重力mg和恒力F的大小關(guān)系分兩種情況討論。

（1）若F＜mg，則物理上的最高點(diǎn)與幾何上的最高點(diǎn)重合，為A點(diǎn)。設(shè)小球能通過A點(diǎn)的臨界速度為vA，由牛頓第二定律和向心力公式得，解得。對(duì)小球從B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)的過程應(yīng)用動(dòng)能定理得。

（2）若F＞mg，則物理上的最高點(diǎn)是B點(diǎn)。設(shè)小球能通過B點(diǎn)的臨界速度為vB，由牛頓第二定律和向心力公式得，解得。

例3一內(nèi)壁光滑的環(huán)形細(xì)圓管位于豎直平面內(nèi)，環(huán)的半徑為R（比細(xì)管的內(nèi)徑大得多），圓管中有兩個(gè)直徑比細(xì)管內(nèi)徑略小的小球A、B（可視為質(zhì)點(diǎn)）。小球A的質(zhì)量為m1，小球B的質(zhì)量為m2，它們沿環(huán)形細(xì)圓管順時(shí)針運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過最低點(diǎn)時(shí)的速度都為v0。設(shè)小球A運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí)，小球B恰好運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)，若要此時(shí)兩小球作用于圓管的合力為零，請(qǐng)寫出用m1、m2、R來表示v0的關(guān)系式。

解析

點(diǎn)評(píng)：本題涉及的物理模型是輕桿模型，但是題目的設(shè)問“不按常理出牌”，要求考生根據(jù)題目所給條件寫出m1、m2、R來表示v0的關(guān)系式，有的同學(xué)看到題目就會(huì)有無從下手的感覺，導(dǎo)致直接放棄求解。

感悟與提高

1.如圖4所示，一個(gè)內(nèi)壁光滑的圓錐形筒的軸線垂直于水平面，圓錐形筒固定不動(dòng)，有兩個(gè)質(zhì)量相等的小球A和B緊貼著內(nèi)壁分別在圖中所示的水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，則以下說法中正確的是（ ）。

A.小球A的角速度等于小球B的角速度

B.小球A的線速度大于小球B的線速度

C.小球A的運(yùn)動(dòng)周期小于小球B的運(yùn)動(dòng)周期

D.小球A對(duì)筒壁的壓力大于小球B對(duì)筒壁的壓力

2.如圖5所示，半徑為R的光滑球體固定在水平面上，從球體的最高點(diǎn)A由靜止釋放一個(gè)質(zhì)量為M的小滑塊，求小滑塊在下滑過程中離開球體時(shí)的位置和速率。

3.如圖6所示，輕桿OA的長度l=0.5 m，A端固定一質(zhì)量m=3kg的小球，小球以O(shè)點(diǎn)為圓心在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，取重力加速度g=10 m/s2。當(dāng)小球通過最高點(diǎn)的速率為2m/s時(shí)，求輕桿OA受到的力。

參考答案：1.B

3.輕桿OA受到大小為6N的壓力。