歐陽柏平， 劉炎

(1. 廣東財經(jīng)大學華商學院數(shù)據(jù)科學學院，廣東 廣州 511300； 2. 廣東金融學院金融數(shù)學與統(tǒng)計學院, 廣東 廣州 510521)

在文[1]中，作者研究了如下的非線性非局部的多孔介質(zhì)方程的爆破問題：

(1)

u(x,0)=f(x)≥0,x∈Ω

(2)

給出Robin邊界條件：

(3)

其中Ω是R3中的一個有界凸區(qū)域，Δ代表拉普拉斯算子，▽ 代表梯度算子。?Ω 是區(qū)域Ω的邊界， 以及t*代表可能的爆破時間。作者得到當爆破發(fā)生時，(1)～(3)系統(tǒng)的爆破時間的下界。

在文[2]中，作者同樣研究了在齊次狄利克雷邊界條件下以及齊次牛曼邊界條件下方程組(1)和(2)的爆破問題，得到了在兩種邊界條件下爆破解的爆破時間下界。方程(1) 是用來研究人口動力學的[3]。 在文[4]中，作者證明當p+q>m>1時只要初始值u0足夠大，方程組(1)～(2)的解將會在有限時間內(nèi)爆破。

很多文獻研究了拋物方程在齊次狄利克雷邊界條件下以及齊次牛曼邊界條件下的解的爆破問題[5-12]，一些文獻已經(jīng)開始研究在Robin邊界條件下解的爆破問題[13-14]。

在文[15-17]中，作者研究了非線性邊界條件下的熱方程的爆破問題。 到目前為止，我們還未發(fā)現(xiàn)有論文研究非線性邊界條件下的非線性非局部多孔介質(zhì)方程的解的爆破時間下界問題。從這點來看，本文所得到的結(jié)果是新且有趣的。

本文中，我們考慮方程組(1)～(2)滿足如下非線性邊界條件：

(4)

0≤g(ξ)≤k1ξ2+ms-m對于任意ξ>0

(5)

其中k1是一個正常數(shù)，s將會在式(10)中定義。

我們將研究方程組(1)～(2)在邊界條件(4)～(5)下的解的爆破時間的下界。

1 幾個重要的不等式

在后面證明中，將會用到如下幾個重要不等式：

引理1 如果n1,n2,x1,x2都是正常數(shù)且x1,x2滿足x1+x2=1，則對于任意非負函數(shù)u均有如下的H?lder 不等式：

(6)

引理2 對于任意非負函數(shù)u，以及任意的正常數(shù)m和s，我們有

(7)

證明有如下等式

div(u5msx)=3u5ms+5msw5ms-1(x·▽u)

(8)

對等式(8)兩邊積分可得

由散度定理可得

引理3 對于任意非負函數(shù)u，以及任意的正常數(shù)n，有

(9)

證明由文[8](2.16)或者文[16](4.10)可得

運用式(6)并取

以及

得到

2 爆破時間的下界

定義如下的輔助函數(shù)：

(10)

其中s=p+q-1

將建立如下的定理：

定理1 假設u(x,t)是問題(1)，(4) 以及(5) 在有界凸區(qū)域Ω的經(jīng)典的非負解。假設p+q>m>1，則式(10)中定義的量滿足微分不等式

(11)

由此可得爆破時間t*的下界為

(12)

其中k2,k3,k4,k5在后面定義的正常數(shù)。

接下來證明定理1。 首先對函數(shù)(10)求導數(shù)得

(13)

由式 (7)可得

(14)

應用式(6)并且選擇

可得到

(15)

應用 Schwarz 不等式得

(16)

選擇

(17)

類似地，如果選擇

得到

(18)

聯(lián)合式(14)～(18)，得到

(19)

其中

運用式(9)，得到

(20)

其中ε2，ε3和ε4都是后面會給出定義的正常數(shù)。

如果選擇合適的ε2和ε4滿足

將得到

(21)

其中

聯(lián)合式(19)與式(21)可得

(22)

得到

(23)

也就是說

(24)

式(24) 可寫作如下形式

(25)

對式(25)積分可得

(26)

得到定理需要證明的結(jié)論。