李 蓉何振華

(廣西財經(jīng)學院,a.教務處,b.信息與統(tǒng)計學院,廣西 南寧 530003)

0 引言

假設H是實Hilbert空間,其零向量用θ表示,內積和范數(shù)分別是〈·,·〉,‖·‖.稱映射T:H→H是非擴張映射,如果‖Tx-Ty‖≤‖x-y‖,x,y∈H.稱映射T:H→H是擬非擴張映射,如果‖Tx-p‖≤‖x-p‖,x∈H,p∈F(T),F(T)≠?是T的不動點集.

設H1,H2是實Hilbert空間,A:H1→H2是有界線性算子,T1:H1→H1,T2:H2→H2是非線性映射,且F(T1)≠?,F(T2)≠?.分裂公共不動點問題通常指的是這樣的問題:找p∈H1使得T1p=p和T2Ap=Ap(當T1,T2是單值映射),或者p∈T1p和Ap∈T2Ap(當T1,T2是集值映射).

數(shù)學上不同空間下的分裂問題首先在文獻[1]中出現(xiàn),而以色列學者Censor教授在文獻[2]中正式給出了分裂公共不動點問題的定義.分裂不動點問題在圖像恢復中有重要的應用,因而關于此類問題得到眾多學者的關注和研究.當然大部分學者的研究成果更主要側重于基礎研究,并非直接應用到圖像恢復問題的求解中.分裂不動點問題除了在圖像恢復問題中有用之外,對此問題本身的研究也是具有重要意義的,因為求解此類問題用到的不動點算法,可以實現(xiàn)一個算法求解多個問題的目的,這是通常的多項式算法所不具備的.因此,不動點算法除了在方法論上提供一種求解問題近似解的方法,還具有其他算法沒有的優(yōu)點.

在分裂不動點問題的研究中,法國學者Moudafi教授發(fā)表了一系列分裂公共不動點問題的研究成果,引發(fā)了大量的后續(xù)研究.日本的Takahashi教授、韓國的Yeol Je Cho教授、中國的張石生教授等,都是研究分裂公共不動點問題的著名專家,他們也是研究這類問題的引領者.在文獻[3]中,作者建立如下的迭代算法:

其中β∈(0,1),αn∈(0,1),γ＞0,U和T分別是不同空間中的擬非擴張映射.在合適的條件下,作者證明上述序列{x n}弱收斂到分裂公共不動點p∈Ω,其中

注意到,上述給出的序列{x n}僅僅具有弱收斂性質,為了得到強收斂算法,文獻[4]建立了如下的迭代算法:

其中T1∶H→H和T2:H1→H1分別是不同空間中的擬非擴張映射,H和H1分別是Hilbert空間.在合適的條件下,作者證明上述的投影序列{x n}強收斂到分裂公共不動點p∈Ω,其中Ω={p∈H:T1p=p,T2Ap=Ap}≠?.

前面提到的分裂公共不動點問題,是關于兩個不同空間中的分裂公共不動點問題,這類問題已經(jīng)得到眾多學者的研究,取得了許多研究成果.他們建立了Man迭代算法、Ishikawa迭代算法、黏性迭代算法、CQ 迭代算法等算法用于求解此類問題的近似解.這些算法中,有些是強收斂的,有些是弱收斂的.空間形式也從Hilbert空間推廣到Banach空間,例如文獻[2-8]及其參考文獻.從目前查閱到的文獻看,考慮比較多的分裂公共不動點問題都是關于兩個不同空間中的分裂公共不動點問題,關于三個或者三個以上不同空間的算子的分裂公共不動點問題,研究成果比較少.本文將考慮三個不同空間的分裂公共不動點問題:

其中,A:H1→H2,B:H2→H是有界線性算子,其伴隨算子分別是A*,B*,算子T1:H1→H1、T2:H2→H2、S:H→H是擬非擴張映射,且Ω={p:T1p=p,T2Ap=Ap,SBAp=BAp}≠?.

在不動點問題的求解中,建立迭代序列使其收斂到算子的不動點是常用的方法.為求解問題(*),本文將建立迭代序列,在合適的條件下,證明其強收斂或者弱收斂到問題(*)的解.

1 預備知識

設H是實Hilbert空間,C是H的閉凸子集.P C表示H到C的投影算子,它具有如下的性質:

(1)z=P C(x)?〈x-z,z-y〉≥0,?y∈C,

(2)‖y-P C(x)‖2+‖x-P C(x)‖2≤‖x-y‖2,?x∈H,y∈C,

(3)〈x-y,P Cx-P Cy〉≥‖P Cx-P Cy‖2,特別‖P Cx-P Cy‖≤‖x-y‖,?x,y∈H,即投影算子是非擴張映射.

引理1 設H是實Hilbert空間,α∈[0,1],則下面結果是眾所周知的:

(i)‖x+y‖2≤‖x‖2+2〈y,x+y〉,

(ii)‖x-y‖2=‖x‖2+‖y‖2-2〈x,y〉,

(iii)‖αx+(1-α)y‖2=α‖x‖2+(1-α)‖y‖2-α(1-α)‖x-y‖2.

定義1[3]設C是H的閉凸子集,T:C→C.稱映射T是半閉的,如果對于C中的點列{x n},,且{x n}弱收斂到z,則有Tz=z.

例1[8]設C=[0,1],H =R(實數(shù)集),定義T:C→C為

則T是半閉的擬非擴張映射.

例2[8]設C=[0,+∞),H =R(實數(shù)集),定義T:C→C為

則T是擬非擴張映射,但不是半閉的.

一個Banach空間(X,‖·‖)被稱為是滿足Opial條件[9]的,如果對于X中任一弱收斂到x∈X的序列{x n}滿足

特別,每一個Hilbert空間都是滿足Opial條件的.

2 主要結果

在這一節(jié)中,假設H i的內積和范數(shù)分別是的內積取為〈x,y〉3=〈x1,y1〉1+〈x2,y2〉2,其中x=〈x1,x2〉,y=〈y1,y2〉∈H3.

設A:H→H1,B:H1→H2是有界線性算子,定義Cx=(Ax,BAx),x∈H,則顯然C也是有界線性算子.

定理1 設A:H→H1,B:H1→H2是有界線性算子,其伴隨算子分別是A*,B*,S:H→H,T1:H1→H1,T2:H2→H2

是半閉的擬非擴張映射,且Ω={p∈H:Sp=p,T1Ap=Ap,T2BAp=BAp}≠?.

設x1∈H,序列{x n}按照以下方式產生:

則{x n}弱收斂到p∈Ω,其中C*是C的伴隨算子,

證明:(i)先證明{‖x n-p‖}是收斂序列,其中p∈Ω.

因此,

上式說明{‖x n-p‖2}是單調遞減序列,因而極限存在,即{‖x n-p‖}是收斂序列.并且由此可得

(ii)因為{‖x n-p‖}收斂,因此{x n}是有界序列,從而{x n}有弱收斂的子列.假設{x n j}和{x mk}是{x n}的兩個弱收斂子列,分別弱收斂到x*和y*,則必有x*,y*∈Ω.事實上,顯然{u n j}、{u mk}、{Ax n j}、{Ax mk}、{BAx nj}、{BAx mk}分別弱收斂到x*、y*、Ax*、Ay*、BAx*、BAy*,因此根據(jù)S,T1,T2是半閉映射以及(5)式和(6)式可知,x*,y*∈Ω.

現(xiàn)在證明x*=y*.如果x*≠y*,則根據(jù)Opial條件可知

這是一個矛盾.因此,x*=y*.從而{x n}弱收斂到p∈Ω.證完.

推論1 如果在定理1中,T2=B=I是恒等算子,H1=H2,其他條件不變,序列{x n}按照以下方式產生:

則{x n}弱收斂到p∈Ω,Ω={p∈H:Sp=p,T1Ap=Ap}≠?.其中A*是A的伴隨算子,0＜a≤αn≤

注1:推論1是文獻[3]中定理2.1的結果,因此定理1推廣了文獻[3]的結果.

如果說在定理1中討論的是不同空間下的分裂問題,那么在定理1中,H1=H2=H,我們將得到下面的同一空間的分裂問題.

推論2 如果在定理1中,H1=H2=H,其他條件不變,序列{x n}按照(1)式產生,則{x n}弱收斂到p∈Ω.

定理1是弱收斂定理,實際上,從理論的角度看,強收斂定理應用更為方便一些.下面介紹一個強收斂定理.

定理2 設A:H→H1,B:H1→H2是有界線性算子,其伴隨算子分別是A*,B*,

是半閉的擬非擴張映射,且Ω={p∈H:Sp=p,T1Ap=Ap,T2BAp=BAp}≠?.

設x0∈C1=H,序列{x n}按照以下方式產生:

則{x n}弱收斂到p∈Ω,其中C*是C的伴隨算子,

證明:(i)先證明{C n+1}是非空的閉凸集合列.設p∈Ω,則根據(jù)(3)式,‖u n-p‖ ≤‖x n-p‖.

此外,易知‖z n-p‖≤‖u n-p‖,因此Ω?C n+1,即{C n+1}是非空的集合列.對于任意的p1,p2∈C n+1,?r∈[0,1],因為

所以 ‖z n-(1-r)p1-rp2‖ ≤‖u n-(1-r)p1-rp2‖ ≤‖x n-(1-r)p1-rp2‖.

即(1-r)p1+rp2∈C n+1,這說明{C n+1}是凸的集合列.設{p k}?C n+1,且{p k}收斂到p,即limk→∞‖p k-p‖=0,易證p∈C n+1,因此{C n+1}是閉的集合列.綜上,{C n+1}是非空的閉凸集合列,從而序列{x n}是存在的.

(ii)證明{x n}是Cauchy序列.注意到x n+1,p∈C n,根據(jù){x n}的定義,可知

因此序列{x n}是有界的.又

因此,{‖x n-x0‖}是單調遞增序列,這說明存在.注意到

于是當n,m→∞時,‖x m -x n‖ →0,因此{x n}是Cauchy序列.

(iii)證明{x n}強收斂到Ω的一個元.因為{x n}是Cauchy序列,因此可以設x n→p*,n→∞.現(xiàn)在證明p*∈Ω.

根據(jù)(9)式可知

于是由

因為x n→p*,n→∞,所以

這樣根據(jù)S,T1,T2的半閉性可知Sp*=p*,T1Ap*=Ap*,T2BAp*=BAp*,即p*∈Ω.證完.

推論3 如果在定理2中,T2=B=I是恒等算子,H1=H2,其他條件不變,序列{x n}按照以下方式產生:

則{x n}強收斂到p∈Ω,Ω={p∈H:Sp=p,T1Ap=Ap}≠?,其中A*是A的伴隨算子,0＜a≤αn≤

如果在定理2中,H1=H2=H,我們將得到下面的同一空間的分裂問題的強收斂定理.

推論4 如果在定理2中,H1=H2=H,其他條件不變,序列{x n}按照(9)式產生,則{x n}強收斂到p∈Ω.

3 結論

在本文中,我們討論了三個空間的分裂公共不動點問題,給出了兩個收斂算法,一個是強收斂算法,另一個是弱收斂算法.我們的結果推廣和改進了一些文獻的結果.