何亞林,趙新龍

（浙江理工大學(xué) 機(jī)械與自動(dòng)控制學(xué)院，浙江 杭州 310018）

0 引 言

Stewart微動(dòng)平臺(tái)由動(dòng)平臺(tái)、定平臺(tái)和連桿通過鉸鏈鏈接而成，可以實(shí)現(xiàn)6自由度運(yùn)動(dòng)。其作為一種并聯(lián)機(jī)器結(jié)構(gòu)，具有結(jié)構(gòu)剛度大、位置精度高、載重比高等優(yōu)點(diǎn)，被廣泛應(yīng)用于電子元件生產(chǎn)中的夾持系統(tǒng)、精密機(jī)床中的刀具控制和鉆銑等領(lǐng)域。

在驅(qū)動(dòng)方面，Stewart平臺(tái)常采用電液驅(qū)動(dòng)方式。電液驅(qū)動(dòng)方式精度較低，壓電驅(qū)動(dòng)器則具有高分辨率、高帶寬、執(zhí)行速度快等特點(diǎn)，能實(shí)現(xiàn)亞納米范圍內(nèi)的運(yùn)動(dòng)。然而，壓電驅(qū)動(dòng)器固有的遲滯特性會(huì)影響平臺(tái)的控制精度，引起振蕩甚至?xí)斐上到y(tǒng)不穩(wěn)定。另一方面，Stewart微動(dòng)平臺(tái)具有強(qiáng)耦合性，采用常規(guī)的方法難以實(shí)現(xiàn)基于壓電執(zhí)行器的Stewart微動(dòng)平臺(tái)的精確控制。

在建模方面，用于Stewart平臺(tái)的動(dòng)力學(xué)方法主要有Newton-Eular法、Lagrange法和Kane法等。其中，Newton-Eular法因比較直觀，應(yīng)用最為廣泛。DO等[1]基于Newton-Eular法建立了忽略關(guān)節(jié)摩擦和支腿軸向轉(zhuǎn)動(dòng)慣量時(shí)的逆動(dòng)力學(xué)模型；DASGUPTA等[2]在充分考慮慣性和支腿摩擦的基礎(chǔ)上，提出了改進(jìn)的Newton-Eular閉環(huán)動(dòng)力學(xué)模型；LEE等[3]考慮了支腿的柔性作用,采用Lagrange方法對(duì)Stewart平臺(tái)進(jìn)行了動(dòng)力學(xué)建模；焦健等[4]采用基于Kane方程的方法，結(jié)合虛功原理推導(dǎo)了Stewart平臺(tái)的動(dòng)力學(xué)方程。對(duì)壓電驅(qū)動(dòng)的Stewart平臺(tái)，必須結(jié)合遲滯補(bǔ)償才能更準(zhǔn)確地實(shí)現(xiàn)壓電驅(qū)動(dòng)Stewart平臺(tái)的建模。

在控制器設(shè)計(jì)方面，由于Stewart平臺(tái)的強(qiáng)耦合特性和復(fù)雜非線性會(huì)影響Stewart平臺(tái)的工作，造成系統(tǒng)的不穩(wěn)定，控制器設(shè)計(jì)問題一直是該平臺(tái)的研究重點(diǎn)。目前，主要有基于主動(dòng)干擾抑制（ADRC）的干擾解耦控制和基于干擾觀測(cè)器（DOB）的控制[5]。但是該類方法需要建立逆動(dòng)力學(xué)模型，控制器參數(shù)復(fù)雜。YANG[6]通過建立多通道數(shù)學(xué)模型對(duì)耦合特性進(jìn)行了定性分析，并設(shè)計(jì)了耦聯(lián)系統(tǒng)控制器；MA等[7]在利用Kane方法建立了系統(tǒng)多體動(dòng)力學(xué)模型，設(shè)計(jì)了多體伺服控制器，找出并解決了自由度之間耦合的對(duì)應(yīng)關(guān)系；LIN[8]基于等價(jià)輸入干擾（EID）方法，同時(shí)抑制了多個(gè)干擾，并且不需要先驗(yàn)擾動(dòng)信息。

對(duì)壓電驅(qū)動(dòng)Stewart平臺(tái)，遲滯特性和耦合特性的相互結(jié)合影響控制精度進(jìn)一步增加了控制器設(shè)計(jì)的難度，常規(guī)的建模和控制方法不再適用。

本文首先引入雅可比矩陣的逆和系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)逆模型，在輸入端對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行解耦；然后用Bouc-Wen模型描述壓電驅(qū)動(dòng)器的遲滯特性[9]，利用逆模型方法實(shí)現(xiàn)對(duì)遲滯特性的補(bǔ)償；最后在遲滯補(bǔ)償和輸入端解耦的基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)控制器。

1 系統(tǒng)建模

Stewart微動(dòng)平臺(tái)結(jié)構(gòu)圖如圖1所示。

圖1 Stewart微動(dòng)平臺(tái)結(jié)構(gòu)圖

圖1中，壓電驅(qū)動(dòng)器利用萬向節(jié)和平臺(tái)、底座鏈接，通過伸縮運(yùn)動(dòng)驅(qū)動(dòng)動(dòng)平臺(tái)運(yùn)動(dòng)，從而在三維空間中實(shí)現(xiàn)6自由度的運(yùn)動(dòng)[10]。

筆者首先建立動(dòng)坐標(biāo)系Op-XpYpZp和靜坐標(biāo)系O-XYZ。兩坐標(biāo)系原點(diǎn)分別為動(dòng)、靜平臺(tái)的質(zhì)心，坐標(biāo)平面OpXpYp與動(dòng)平臺(tái)重合，坐標(biāo)平面OXY與靜平臺(tái)重合，Zp軸和Z軸垂直O(jiān)XY平面豎直向上。

在對(duì)平臺(tái)進(jìn)行控制時(shí)，需要從任務(wù)空間轉(zhuǎn)換至關(guān)節(jié)空間。任務(wù)空間采用位姿q=[xpypzpαβγ]T進(jìn)行描述，關(guān)節(jié)空間采用l=[l2l2l3l4l5l6]T進(jìn)行描述。支腿i上端坐標(biāo)為[PixPiyPiz]T，下端坐標(biāo)為[OixOiyOiz]T。計(jì)算長(zhǎng)度時(shí)，需要統(tǒng)一坐標(biāo)系，即通過轉(zhuǎn)換矩陣將動(dòng)坐標(biāo)系Op-XpYpZp中的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換到靜坐標(biāo)系O-XYZ中。變換矩陣為：

（1）

式中：Sα=sinα，Cα=cosα，其他類似；xp，yp，zp—?jiǎng)幼鴺?biāo)系原點(diǎn)在靜坐標(biāo)系中的坐標(biāo)；α，β，γ—?jiǎng)悠脚_(tái)沿Xp軸、Yp軸、Zp軸的旋轉(zhuǎn)角度。

將動(dòng)坐標(biāo)系中的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換至靜坐標(biāo)系后為：

（2）

根據(jù)支腿兩端坐標(biāo)，可得支腿長(zhǎng)度為：

（3）

采用拉格朗日方程法建立6自由度動(dòng)力學(xué)模型為：

（4）

（5）

q=[q1q2q3q4q5q6]T=[xpypzpαβγ]T

（6）

F=[F1F2F3F4F5F6]T

（7）

（8）

M=diag[mmm]I=diag[IxIyIz]

（9）

式中：m—上平臺(tái)質(zhì)量；Ix，Iy，Iz—上平臺(tái)繞3個(gè)坐標(biāo)軸x、y、z的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。

式（4～5）中各個(gè)算式的具體表達(dá)式為：

（10）

（11）

（12）

（13）

（14）

然后對(duì)壓電驅(qū)動(dòng)器采用Bouc-Wen遲滯模型[11-12]進(jìn)行描述，其數(shù)學(xué)關(guān)系為：

（15）

式中：A—控制幅度；B、T—控制遲滯環(huán)的形狀[13]的參數(shù)；k—增益；U—壓電驅(qū)動(dòng)器的輸入電壓；η—中間變量。

聯(lián)立式（4，5，15），基于壓電驅(qū)動(dòng)器的Stewart微動(dòng)平臺(tái)的完整數(shù)學(xué)模型為：

（16）

2 控制器設(shè)計(jì)

基于輸入端解耦和遲滯補(bǔ)償?shù)腟tewart控制系統(tǒng)原理圖如圖2所示。

圖2 系統(tǒng)原理圖

首先筆者通過位姿反解，完成從任務(wù)空間到關(guān)節(jié)空間的轉(zhuǎn)換。根據(jù)支腿兩端在動(dòng)、靜坐標(biāo)系中的坐標(biāo)計(jì)算可得到預(yù)期支腿長(zhǎng)度lr。

再引入系統(tǒng)的逆模型進(jìn)行解耦[14]，通過雅可比矩陣的逆和系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)逆模型完成解耦過程。fr表示期望輸出驅(qū)動(dòng)力，即：

（17）

對(duì)Bouc-Wen遲滯模型逆運(yùn)算，得:

（18）

最后，將反饋回的實(shí)際驅(qū)動(dòng)器驅(qū)動(dòng)力f和實(shí)際支腿長(zhǎng)度l與預(yù)期值進(jìn)行比較，通過積分分離PID控制算法形成閉環(huán)控制，以保證系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

3 仿真及結(jié)果分析

為了驗(yàn)證控制器的有效性，筆者對(duì)定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)（即階躍響應(yīng)）和連續(xù)運(yùn)動(dòng)進(jìn)行仿真分析，采用積分分離PID控制器形成閉環(huán)控制。其參數(shù)取Kp=4×104，Ki=90，Kd=1×103。遲滯補(bǔ)償器參數(shù)取A=1.2，B=0.05，T=0.01，k=1.5。

圖3 定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)響應(yīng)曲線

圖4 定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)誤差曲線

（2）期望軌跡為正弦函數(shù)擬合的周期性連續(xù)運(yùn)動(dòng)，即位姿為：

圖5 連續(xù)周期運(yùn)動(dòng)響應(yīng)曲線

圖6 連續(xù)周期運(yùn)動(dòng)誤差曲線

由此可見，在經(jīng)過解耦控制和遲滯補(bǔ)償后，系統(tǒng)的響應(yīng)曲線良好。

由圖（3，4）可知：在0.5 s左右，定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到達(dá)指定位姿，并且誤差接近于0；響應(yīng)速度較快且最終誤差幾乎為0。

由圖（5，6）可知：當(dāng)平臺(tái)啟動(dòng)后，在進(jìn)行連續(xù)周期運(yùn)動(dòng)時(shí)，6個(gè)支腿長(zhǎng)度變化曲線也呈周期性變化，動(dòng)態(tài)定位誤差皆為5%以內(nèi)，且不會(huì)引起系統(tǒng)振蕩，可見達(dá)到了穩(wěn)定的控制效果。

4 結(jié)束語

針對(duì)壓電驅(qū)動(dòng)器的Stewart微動(dòng)平臺(tái)同時(shí)存在強(qiáng)耦合性和遲滯特性的特點(diǎn)，筆者采用拉格朗日方程法建立了壓電驅(qū)動(dòng)Stewart平臺(tái)動(dòng)力學(xué)模型，先通過旋轉(zhuǎn)變換矩陣進(jìn)行位姿反解，得出了Stewart平臺(tái)各支腿長(zhǎng)度，再設(shè)計(jì)了基于平臺(tái)的輸入端解耦和遲滯逆模型補(bǔ)償?shù)目刂破鳎瑢?duì)Stewart微動(dòng)平臺(tái)實(shí)際輸出進(jìn)行了定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)和連續(xù)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的跟隨。

最終的實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，該控制器能對(duì)Stewart平臺(tái)實(shí)現(xiàn)穩(wěn)定良好的控制效果。