廣東省廣州市執(zhí)信中學(xué)(510080) 朱清波

2020屆廣州調(diào)研考試?yán)砜茢?shù)學(xué)第16題是一道三角最值問題,其解法引起了眾多討論.諸多解法中,有些運(yùn)算量較大,學(xué)生在短時(shí)間內(nèi)很難保證準(zhǔn)確性,只適合作課外探究;有些解答相對便捷,但學(xué)生臨場較難想到;還有些解答利用了待定系數(shù)法和柯西不等式等,能力要求較高的特殊技巧.本題解答固然重要,但只追求相關(guān)問題的解法而沒有從背后弄清這類問題的“源”是有些缺憾的.本文從這道題展開作一點(diǎn)拓展探究,以期提升對這類問題的更高層次的認(rèn)知.

圖1

從測試結(jié)果反饋來看本題正確率極低,究其原因主要是學(xué)生在極短的時(shí)間內(nèi)對條件解析的思路不清晰,有方向但沒有絕對的把握,有些是所選定的面積表示法過繁,無法保證其后續(xù)運(yùn)算的準(zhǔn)確性(如方法1和2);也有些是沿著一條路走的太遠(yuǎn),陷入了“死胡同”,當(dāng)然學(xué)生缺乏用解析的思想來處理上述問題也是一個(gè)重要的原因.

比較而言,顯然解法4是這四種方法中運(yùn)算最簡潔的;而(?)式表明:滿足條件的頂點(diǎn)A的軌跡實(shí)際上是一個(gè)與邊長a有比例關(guān)系的圓(除去兩個(gè)點(diǎn)).值得思考的一個(gè)問題是:為什么條件“4a2=b2+2c2”中隱藏著這個(gè)關(guān)鍵信息呢?下面我們從一個(gè)經(jīng)典的三角形中長度計(jì)算公式開始,逐步揭示該條件下所隱藏的相應(yīng)規(guī)律.

問題2?ABC中,記A,B,C的對邊分別為a,b,c,如圖2,T是BC上一點(diǎn),且求|AT|.

圖2

解析由B,T,C三點(diǎn)共線,所以兩邊各自與自身作數(shù)量積:

若條件為已知兩邊和一個(gè)夾角(即b,A,c),則上述(1)式即為線段AT長度的求法;

如上的等式(1)和(2)實(shí)際上均是平面幾何中斯特瓦爾特定理的兩種表示形式,它描述了三角形中頂點(diǎn)和其對邊上一點(diǎn)所構(gòu)成的線段長和三條邊的內(nèi)在聯(lián)系,而調(diào)研考試第16題中的條件實(shí)際上就隱藏著這個(gè)關(guān)系:由 4a2=b2+2c2,如圖 2,在 (2)中取便有這表明在BC邊上存在三等分點(diǎn)T(|TC|=2|BT|),始終滿足即點(diǎn)A的軌跡是一個(gè)與底邊BC長度相關(guān)的圓(除去共線時(shí)的兩個(gè)點(diǎn)).故(當(dāng)AT⊥BC時(shí)取等號).

我們也可以用類似的思考方式解決另兩道高三模擬考試中的三角問題:

對如上調(diào)研試題的深入探究告訴我們:一個(gè)好的數(shù)學(xué)問題通常不是孤立存在的,正如波利亞所言,它往往是“同一片區(qū)域里眾多蘑菇中的比較顯眼的其中一個(gè)”,成功解析這道數(shù)學(xué)問題,是指建立該問題與已解決問題的某種關(guān)聯(lián),找到條件和待判斷結(jié)論的內(nèi)在聯(lián)系,最終應(yīng)是揭示這一類問題彼此間的“源”,而找到問題的“源”,則無論問題的表現(xiàn)形式,也即“流”,如何呈現(xiàn),都能把握到問題的本質(zhì),從而應(yīng)對起來有條不紊.