張 遷,丁建國

(南京理工大學 理學院,江蘇 南京 210094)

由于框架結(jié)構(gòu)空間分隔靈敏,自重輕,同時能夠節(jié)約材料,在選用現(xiàn)澆混凝構(gòu)造的特色土構(gòu)造框架結(jié)構(gòu)時,結(jié)構(gòu)的整體性和剛度較好,同時也能達到較好的抗震作用,因此,框架結(jié)構(gòu)在實際工程中的應(yīng)用很多。目前,對于框架結(jié)構(gòu)異構(gòu)體系模型簡化的相關(guān)研究較少,而采用多體系統(tǒng)傳遞矩陣法研究地震碰撞的模型簡化更少,本文提出了一種簡化框架結(jié)構(gòu)異構(gòu)體系的方法,模型中的各個參數(shù)通過參數(shù)識別的方法來確定。

目前,識別參數(shù)的方法主要有遺傳算法、蟻群算法、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法、微分進化算法、粒子群算法等,但是單獨的參數(shù)識別方法往往識別精度不高,收斂速度較慢,所以現(xiàn)在關(guān)于改進參數(shù)識別方法的研究較多,改進的途徑主要有兩種:一是利用其他優(yōu)化技術(shù)自適應(yīng)調(diào)整算法的相關(guān)參數(shù);二是將兩種或者多種優(yōu)化算法進行結(jié)合。李世光等[1]在基本的量子粒子群算法基礎(chǔ)上引入微分進化算子來保證種群選擇的多樣性,提高全局搜索能力,并且引入混沌擾動來加快算法后期收斂速度,從而提高搜索精度,并將該方法應(yīng)用于解決大型船舶配電網(wǎng)的故障問題;謝源等[2]利用柯西變異能快速跳出局部極小值的優(yōu)點,將量子粒子群算法的收縮擴張因子進行改進,并將改進的算法應(yīng)用于變差函數(shù)球狀模型的擬合;李盼池等[3]分別基于Delta勢阱、諧振子和方勢阱提出了改進的量子勢阱粒子群優(yōu)化算法,并提出了基于統(tǒng)計量均值的控制參數(shù)設(shè)計方法;徐珊珊等[4]在慣性權(quán)重自適應(yīng)調(diào)整的量子粒子群優(yōu)化算法基礎(chǔ)上,提出了帶全局判據(jù)的改進量子粒子群優(yōu)化算法。郭蘊華等[5]在標準量子粒子群算法的基礎(chǔ)上,加入動態(tài)修正粒子更新位置的方法,從而使算法的尋優(yōu)能力加強,收斂速度加快,并且將該算法應(yīng)用于無人機路徑規(guī)劃問題;彭廣等[6]在粒子群算法中引入動態(tài)量子旋轉(zhuǎn)門,并且采用相位角進行實數(shù)編碼方法,改進了量子粒子群算法的性能,并通過兩個測試函數(shù)測試了該方法的尋優(yōu)性能。陳功貴等[7]對標準量子粒子群算法的收縮擴張系數(shù)采用指數(shù)下降型修正,從而提高了算法的局部搜索能力和全局搜索能力;黃麗等[8]采用正弦混沌序列提高初始化粒子位置的遍歷性及種群多樣性,并結(jié)合模擬退火算法能跳出局部最優(yōu)的特點來增強量子粒子群尋找全局最優(yōu)能力,提出一種改進的量子粒子群算法;胡皞等[9]在標準量子粒子群算法中引入同化和競爭思想,該改進算法將民族間的同化競爭思想引入粒子尋優(yōu)過程,以全局最優(yōu)粒子作為中心粒子,不斷同化其余粒子,使粒子之間保持不斷競爭關(guān)系,以改進粒子的進化方式,提高粒子的尋優(yōu)性能,并將改進算法應(yīng)用于結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)識別,采用簡支梁數(shù)值模型對該算法的有效性進行驗證;李建平等[10]改進了量子粒子群算法,該算法中初始化種群采用Beta分布,慣性權(quán)重更新采用逆不完全伽馬函數(shù),并將基于差分進化的新算子引入到速度更新式中,對粒子進行越界處理,以50個不同類型的數(shù)值函數(shù)作為優(yōu)化實例進行驗證;馮仲愷等[11]通過混沌搜索增強初始種群質(zhì)量,在更新種群最優(yōu)位置中心時進行加權(quán),使種群的進化模式得到改善,從而使算法的收斂速度得到提升;趙莉[12]在量子粒子群算法中,為了防止早熟現(xiàn)象的出現(xiàn),引入隨機序列對粒子的平均最優(yōu)位置進行擾動,從而使粒子的多樣性增加,避免算法陷入局部最優(yōu)解,提升了算法的尋優(yōu)能力。

粒子群算法(PSO)是一種新型的仿生算法,由Kennedy和Eberhart于1995年提出,該算法是基于群體的智能算法,其功能與遺傳算法非常相似,粒子群算法因為調(diào)節(jié)的參數(shù)少,并且簡單易于實現(xiàn),越來越多地應(yīng)用于函數(shù)優(yōu)化、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓練、模式分類以及其他領(lǐng)域。

由于粒子群優(yōu)化算法不是一個全局收斂算法,并且全局搜索能力對速度上限的過度依靠降低了粒子群優(yōu)化算法的魯棒性,同時參數(shù)選擇有一定困難,所以孫俊等提出了具有量子行為的粒子群優(yōu)化算法(QPSO),并且證實了該方法在尋優(yōu)能力和收斂速度上都優(yōu)于標準的粒子群優(yōu)化算法。

由于標準粒子群算法和量子粒子群算法的識別精度不高,并且兩種算法的收斂速度也不快,所以本文基于標準量子粒子群算法提出了一種將量子粒子群與標準粒子群混合的參數(shù)辨識算法,并將其應(yīng)用于框架結(jié)構(gòu)異構(gòu)體系模型的參數(shù)辨識。

1 力學模型的建立

通常一個實際的物理模型會對應(yīng)多個力學模型,本文為了方便多體系統(tǒng)傳遞矩陣法(MS-TMM)計算相鄰結(jié)構(gòu)的地震碰撞問題,將一個多層的框架結(jié)構(gòu)簡化為一個樹形拓撲動力學模型,既將每層的所有梁柱以及樓板簡化為一個集中質(zhì)量,將每層的所有柱簡化為若干個集中質(zhì)量和無質(zhì)量彈性梁,簡化的力學模型如圖1所示。

2 參數(shù)辨識

在進行MS-TMM地震碰撞計算時,傳遞矩陣的相關(guān)參數(shù)無法確定,所以將框架結(jié)構(gòu)通過Ansys進行建模,通過模態(tài)分析求出該框架的前若干階頻率,從前n階頻率中挑選出m階與簡化力學模型相同的頻率。

令目標函數(shù)

(1)

式中:wk為Ansys計算的頻率,w′k為多體系統(tǒng)傳遞矩陣法(MS-TMM)計算的頻率。

通過參數(shù)識別的方法求出目標函數(shù)的最小值,此時對應(yīng)的EI(抗彎剛度)參數(shù)即為識別結(jié)果。

2.1 量子粒子群算法(QPSO)

關(guān)于QPSO的進化方程為,如果粒子在以點P為中心的一維δ勢阱中運動,采用蒙特卡羅法得出粒子的位置方程為

(2)

式中:μ=U(0,1),L為δ勢阱特征長度,隨時間變化。

經(jīng)推導,粒子更新方程為

(3)

pid=φpij+(1-φ)Gj

(4)

(5)

式(2)-(5)中:m為粒子數(shù),n為維數(shù),φ～U(0,1),pij為由個體經(jīng)驗知識確定的最優(yōu)值,Gj為由群體知識確定的群體最優(yōu)值。α為收縮擴張系數(shù),其計算式為

(6)

式中:α1和α2分別為α的初始值和終止值,t為迭代次數(shù),Imax為最大迭代次數(shù)。

QPSO算法計算流程如圖2所示。

2.2 自適應(yīng)粒子群算法

自適應(yīng)粒子群優(yōu)化(APSO)算法在PSO算法的基礎(chǔ)上對慣性權(quán)重系數(shù)進行了改進,使該算法在收斂速度和穩(wěn)定性上均得到了提升,其數(shù)學描述為

(7)

(8)

(9)

式中:k為當前迭代次數(shù),ωmax為權(quán)重最大值,取0.9,ωmin為權(quán)重最小值,取0.4,Imax為最大迭代次數(shù)。

APSO算法的計算流程如圖3所示。

2.3 量子粒子群與標準粒子群混合算法

為了提高量子粒子群算法的收斂速度和尋優(yōu)精度,本文提出了一種量子粒子群與標準粒子群相結(jié)合的混合算法。由于標準的量子粒子群算法只有收縮擴張系數(shù)α一個控制參數(shù),本文在PSO算法的基礎(chǔ)上加入了慣性權(quán)重系數(shù)ω和學習因子c1,c2,從而提高了算法的收斂速度和計算精度。其數(shù)學描述為

(10)

(11)

(12)

式中:α1取1.0,α2取0.5。c1,c2為學習引子,其計算公式為

(13)

式中:ω為慣性權(quán)重系數(shù),定義為

(14)

式中:k為當前迭代次數(shù),ωmax為權(quán)重最大值,取0.9;ωmin為權(quán)重最小值,取0.4;Imax為最大迭代次數(shù)。量子粒子群與標準粒子群混合算法的計算流程見圖4。

3 多體系統(tǒng)傳遞矩陣法基本原理

3.1 典型原件的傳遞矩陣

3.1.1 一端輸入一端輸出集中質(zhì)量

根據(jù)文獻[13],一端輸入一端輸出集中質(zhì)量的受力情況如圖5所示,其中質(zhì)量為m,輸入端為I,輸出端為O。

集中質(zhì)量的輸入端和輸出端的狀態(tài)矢量在物理坐標下可以表示為

(15)

根據(jù)集中質(zhì)量的特點可得

(16)

由受力關(guān)系可得

(17)

輸入、輸出端的狀態(tài)矢量在模態(tài)坐標下為

(18)

根據(jù)物理坐標和模態(tài)坐標的關(guān)系有

(19)

其中系統(tǒng)的固有頻率為ω。

集中質(zhì)量單元的傳遞方程為ZO=UZI,根據(jù)式(16)、(17)、(19)可得一端輸入一端輸出集中質(zhì)量的傳遞矩陣為

(20)

3.1.2 縱向無質(zhì)量彈性梁

根據(jù)文獻[13],縱向無質(zhì)量彈性梁的受力情況如圖6所示,彈性梁的長度和抗彎剛度分別為l和EI,彈性梁的輸入端和輸出端分別為I,O。

輸入、輸出端在物理坐標下的狀態(tài)矢量為

(21)

由受力平衡可得

(22)

以彈性梁輸入端I為坐標原點,建立坐標系,不考慮彈性梁軸線方向的變形,則其輸出端O的轉(zhuǎn)角和橫向位移分別為

(23)

根據(jù)式(22)、(23)可得輸出端和輸入端的變形關(guān)系為

(24)

該單元的傳遞方程為ZO=UZI,根據(jù)式(22)、(23)、(24)以及單元的物理坐標和模態(tài)坐標之間的關(guān)系,可得縱向無質(zhì)量彈性梁的傳遞矩陣為

(25)

3.2 總傳遞矩陣與傳遞方程

系統(tǒng)總傳遞矩陣與傳遞方程為

Uall=Un×Un-1×Un-2×…×U3×U2×U1

(26)

計算結(jié)構(gòu)頻率時根據(jù)圖7所示的計算流程,并采用Matlab語言編制程序。

4 工程算例

本算例引用文獻[17]中的試驗模型,為三層鋼筋混凝土框架結(jié)構(gòu),整體尺寸為 1 000 mm×1 000 mm×2 400 mm,梁、柱截面尺寸為70 mm×70 mm,板厚為70 mm,混凝土密度ρ=2 450 kg/m3,泊松比為0.2,彈性模量為30 GPa。

在Ansys數(shù)值模擬[18]中,使用beam188單元來模擬梁柱單元,使用shell181單元模擬樓板單元,在劃分網(wǎng)格時,所有的梁和柱都取5個單元,每一層樓板取25個單元,整個模型beam188單元共60個,shell181單元共75個。所建Ansys模型如圖8所示。

在簡化為樹形拓撲動力學模型時,將每層的4根柱簡化為4個質(zhì)量相等的集中質(zhì)量m1=43.904/4 kg和5根長度相等的無質(zhì)量彈性梁,將每層的所有梁和樓板簡化為一個集中質(zhì)量m2=219.52 kg,簡化的力學模型如圖9所示。

通過多體系統(tǒng)傳遞矩陣法的相關(guān)內(nèi)容求解結(jié)構(gòu)的固有頻率,其中傳遞矩陣中抗彎剛度EI為待識別參數(shù),共有15個待識別參數(shù),因為簡化之后的模型主要考慮x方向的振動,所以從Ansys計算結(jié)果的前100階模態(tài)中選取4階(第1,第7,第51,第65階)x方向的振動作為識別標準(振型見圖10),分別通過量子粒子群算法、自適應(yīng)粒子群算法和量子粒子群與標準粒子群混合算法來識別參數(shù)。在進行參數(shù)辨識時,3種方法選取的迭代次數(shù)均為10 000次,并且經(jīng)過多次不同種群規(guī)模數(shù)量驗證,選擇種群規(guī)模為300,為了保證實驗結(jié)果的可靠性,兩種方法都進行10次實驗,并將10次實驗的結(jié)果取平均值。3種方法的適應(yīng)度變化情況如圖11所示,3種算法的參數(shù)識別結(jié)果見表1。

表1 3種算法參數(shù)識別結(jié)果

為了驗證識別結(jié)果的可靠性,將參數(shù)識別的結(jié)果利用MS-TMM相關(guān)方法計算結(jié)構(gòu)的自振頻率,并與Ansys計算結(jié)果進行比較,結(jié)果見表2。

表2 自振頻率計算結(jié)果誤差分析結(jié)果

從識別結(jié)果可以看出,對于1、2階頻率來說,量子粒子群與標準粒子群混合算法的識別精度更高,而對于3、4階頻率,量子粒子群算法的識別精度更高,但是由于低階頻率對于動力學模型力學參數(shù)的影響更大,且對于前兩階頻率來說,Ansys模型的變形和所轉(zhuǎn)化的樹形拓撲動力學模型的變形更加相似,因此,本文提出的量子粒子群與標準粒子群混合算法對辨識框架結(jié)構(gòu)樹形拓撲動力學模型力學參數(shù)的辨識效果更好。

5 結(jié)論

(1)基于多體系統(tǒng)傳遞矩陣法建立了框架結(jié)構(gòu)的樹形拓撲動力學模型,并推導了模型中相關(guān)元件的傳遞矩陣、整個系統(tǒng)的總傳遞矩陣和總傳遞方程。

(2)在量子粒子群算法的基礎(chǔ)上,引入標準粒子群算法的慣性權(quán)重系數(shù)和學習因子兩個控制參數(shù),提出了一種將量子粒子群和標準粒子群混合的參數(shù)辨識方法,并將此方法應(yīng)用于框架結(jié)構(gòu)樹形拓撲動力學模型相關(guān)力學參數(shù)的辨識。

(3)本文提出的量子粒子群與標準粒子群混合的參數(shù)辨識方法在進行框架結(jié)構(gòu)樹形拓撲動力學模型力學參數(shù)辨識時,前兩階頻率的誤差分別為6.3%和0.1%,明顯低于其他兩種方法,因此,相對于普通的量子粒子群算法和自適應(yīng)粒子群算法,本文算法識別精度更高。