謝興祥，黃鴻柳，韋洪錦，曾簫瀟

（1.哈爾濱工業(yè)大學（深圳）電子與信息工程學院，廣東深圳 518055；2.廣西科技師范學院數(shù)學與計算機科學學院，廣西來賓 546199）

0 引言

近年來，基于隨機有限集（Random Finite Set，RFS）的多目標跟蹤方法受到了研究人員的廣泛關注，該方法將目標狀態(tài)集合和傳感器量測集合分別建模為隨機有限集合。RFS理論將多目標跟蹤問題描述為貝葉斯濾波問題，解決了傳統(tǒng)多目標跟蹤方法中出現(xiàn)的數(shù)據(jù)關聯(lián)以及目標數(shù)目變化的難題。勢概率假設密度濾波（CPHD）是Mahler在概率假設密度濾波（Probability Hypothesis Density，PHD）的基礎上提出的，CPHD濾波是一種廣義的遞歸PHD濾波，能夠改善PHD濾波在對目標數(shù)目進行估計時容易出現(xiàn)高階勢分布信息丟失的缺陷。CPHD能夠聯(lián)合傳播后驗強度函數(shù)和后驗勢分布函數(shù)，可根據(jù)物理空間描述法推導出CPHD濾波的具體實現(xiàn)公式［1］。

Nandakumaran等［2-3］于2007年提出PHD平滑算法，并將它基于SMC實現(xiàn)和高斯混合（Gaussian Mixture，GM）實現(xiàn)。在一個由虛假的量測、不確定的檢測和數(shù)據(jù)關聯(lián)所構成的多目標場景中，目標狀態(tài)的數(shù)量以隨機的方式隨時間變化，這使得濾波和平滑方法在多目標檢測中極具挑戰(zhàn)性。文獻［4］提出了一種概率數(shù)據(jù)關聯(lián)（Probabilistic Data Association，PDA）多目標平滑算法，以改善在雜波中的跟蹤性能。文獻［5］提出一種交互式多模型平滑算法，以提高機動目標的跟蹤性能。文獻［6］提出一種將固定滯后平滑，交互式多模型（Interacting Multiple Model，IMM）以及概率數(shù)據(jù)關聯(lián)相結合的方案，以提高在雜波中對靈敏目標的跟蹤性能。文獻［7］提出了在IMM-MHT中利用固定區(qū)間的平滑算法，用以提高機動目標的跟蹤性能，這些技術都是針對線性高斯模型而提出來的，但可以通過諸如SMC，線性化和無跡變換技術擴展到非線性非高斯模型。學者Vo在線性高斯假設下，提出一種PHD平滑器的閉式解，為一個通用的后向遞歸公式嚴密地推導出其解析解［8］。

平滑算法可以這樣描述，在隨機系統(tǒng)估計中，濾波、平滑和預測是三個重要的相關聯(lián)問題，其本質上等于計算

文獻［9］提出高斯粒子濾波器（GPF），將未知狀態(tài)變量的后驗分布近似為高斯函數(shù)，迭代存儲目標狀態(tài)的均值與協(xié)方差，可以顯著降低運算的復雜度，但在目標數(shù)估計上改善有限［10］?；谏鲜龇治隹芍?，基于粒子濾波的SMC-CPHD-TBD算法［11］在檢測和跟蹤未知數(shù)目的弱小目標時，一方面，目標狀態(tài)需要通過計算復雜的聚類方法獲得，信號較弱時跟蹤精度下降，另一方面，由于粒子濾波存在粒子退化、采樣枯竭等問題，雖可擴大粒子支撐集以解決，但卻以犧牲時間為代價，導致在實際應用中受限較大。

針對上述問題，本文提出了將CPHD基于GPF實現(xiàn)，并將其與平滑算法相結合，得到GPF-CPHD平滑算法。其內涵是利用高斯函數(shù)近似目標狀態(tài)的后驗概率密度，采用粒子濾波的方法迭代更新CPHD中各高斯項的均值與協(xié)方差，依據(jù)CPHD目標勢分布的意義，推導出粒子權重更新表達式。仿真實驗驗證了算法的有效性和可行性。

1 問題描述

考慮目標在一個二維運動場景中運動，目標的狀態(tài)方程和量測方程分別描述為：

其中狀態(tài)模型f（·，·）和量測模型h（·，·）均為已知。vk-為過程噪聲，wk為量測噪聲。根據(jù)量測方程，累積直到時刻k的量測序列Z：k，然后從該序列中估計出目標數(shù)目和目標狀態(tài)。

Vo等在隨機有限集理論的基礎上將多目標跟蹤問題表述為對多目標狀態(tài)Xk和量測的濾波問題［12］。其中Xk為時刻k多個目標狀態(tài)的集合，為時刻k多個目標量測的集合，分別記為：

其中：Kk為雜波集，Θk為一個目標產生的量測。

上述多目標跟蹤濾波問題可表述為尋找一個最優(yōu)多目標后驗概率密度問題。假設時刻k-的多目標后驗概率密度pk-（·）已知，則時刻k的多目標后驗概率密度可通過多目標貝葉斯遞歸公式求得，即

2 GPF-CPHD平滑算法的推導

2.1 GPF-CPHD的預測

CPHD以遞推形式同時傳遞概率假設密度函數(shù)、目標數(shù)量的概率分布及其概率母函數(shù)，可以更準確地估計目標的數(shù)量，但計算復雜度更大［13］。CPHD相比PHD能夠更完整地保留目標個數(shù)的統(tǒng)計信息，現(xiàn)對目標的勢分布和目標強度函數(shù)分別預測如下：

CPHD 預測步［14］：

預測勢分布為

2.2 GPF-CPHD的更新

CPHD更新步：

更新勢分布為

Zk為時刻k的量測集，gk（·為時刻k單一目標的量測似然函數(shù)，pD，k（x）為時刻k的目標檢測概率，κk（·） 為時刻k雜波量測強度，pK，k（·） 為時刻k雜波勢分布。

2.3 GPF-CPHD平滑步

由文獻［15］得到CPHD基于高斯混合實現(xiàn)的平滑步：

式（17）即為GM-CPHD濾波器的平滑公式。

GPF作為粒子濾波的一種推廣方法，在算法實現(xiàn)過程中避免了粒子重采樣，減少了采樣的粒子數(shù)目，在預測和更新步只需迭代目標狀態(tài)的均值和協(xié)方差，在保證跟蹤性能的同時，可以減少計算的復雜度。GPF是采用高斯函數(shù)來近似目標狀態(tài)的后驗概率密度，而將其應用于CPHD的實現(xiàn)提高了多目標跟蹤的運算速度和跟蹤效果。GPF基于粒子濾波實現(xiàn)通過計算高斯函數(shù)中的均值和協(xié)方差估計出目標狀態(tài)的后驗概率密度。

2.3.1 狀態(tài)預測

新生目標γi（x） ，i=，，…，Jγ，k，===分別為新生目標高斯項的均值與協(xié)方差。存活目標vs，kk-（x） ，i=，，…，Jk-，采用擬蒙特卡洛高斯粒子采樣可得

pS，k（ζ） 為時刻k目標存在概率，fkk-（·） 為時刻k的單一目標轉移密度，γk（·） 為時刻k新生目標強度，ρΓ，k（·） 為時刻k新生目標勢分布。為第個粒子的權重分別為存活目標高斯項的均值和協(xié)方差。

2.3.2 狀態(tài)更新

在對后驗強度vk（x）用高斯混合形式表示時，多目標狀態(tài)的提取比PHD濾波的粒子濾波實現(xiàn)算法容易，因為構成高斯分量的均值實際上是后驗強度vk（x）的局部極大化值，但此時需利用“修剪”技術除去高斯混合形式中含有較低權重和方差的高斯分量，并利用“合并”技術將那些比較密集的高斯分量進行合并，當從個后驗強度vk（x）中提取多目標狀態(tài)時，便可得到較近似的狀態(tài)估計值。上述求出的高斯混合強度為vt|k（x），其相應的目標期望數(shù)可通過對目標權重求和獲得，即

3 仿真實驗及分析

3.1 仿真實驗

為了驗證GPF-CPHD平滑器的性能，將在一個雜波環(huán)境下含有4個目標的二維目標運動場景中進行仿真實驗，實驗模型為一個線性高斯運動模型，目標運動狀態(tài)方程為

vk為過程噪聲且為零均值高斯白噪聲，傳感器采樣間隔T=s，測量時間長度為40 s。

傳感器量測模型由噪聲的距離和方位量測構成，即由下式表示：

其中，量測噪聲wk為零均值高斯白噪聲，目標存活概率為0.99，目標檢測概率為0.9。雜波是一個服從泊松分布的隨機有限集，且雜波平均數(shù)為3［（m）-］。

目標的運動軌跡如圖1所示。

圖1 目標真實運動軌跡（“○”表示起點，“□”表示終點。）Fig.1 Real target trajectories

圖2為兩種濾波器對目標真實數(shù)目估計的對比圖。從圖2可看出，GPF-CPHD平滑器估計目標數(shù)目的性能優(yōu)于GPF-CPHD。這是因為CPHD濾波結合平滑算法綜合利用了t時刻前后的PHD濾波估計信息，其次CPHD濾波能夠在傳播后驗強度函數(shù)的同時，也能傳播后驗勢分布函數(shù)，改善了PHD濾波在對目標數(shù)目進行估計時容易出現(xiàn)高階勢分布信息丟失的缺陷。雖然對目標的估計有滯后現(xiàn)象（在開始和結尾都存在），但總體來說，GPF-CPHD平滑器的檢測性能還是比未經平滑處理的GPF-CPHD要穩(wěn)定。

圖2 目標真實數(shù)目估計圖Fig.2 Estimation of real target numbers

圖3 OSPA對比圖Fig.3 Comparison of OSPA

選用最優(yōu)子模式分配（OSPA）距離［16］作為評價準則指標，OSPA包括位置和集合勢兩部分距離。圖3用OSPA度量表征2種濾波器的性能差異。當OSPA度量距離越小，表明濾波算法的精度越高，OSPA中的參數(shù)值設為c=100，p=。從圖3（a）可看出，GPF-CPHD平滑器優(yōu)于GPF-CPHD；從圖3（b）可進一步看出，GPF-CPHD平滑器的OSPA距離誤差總和值要少于GPF-CPHD。這是因為GPF-CPHD平滑器結合GPF的特點，使用擬蒙特卡洛采樣，使得采樣的粒子數(shù)目更加均勻，每一個高斯項只需分配20個粒子就可以完成對目標的跟蹤，減少了計算量，提高了跟蹤精度。并且經過平滑處理后，能夠充分利用原始量測數(shù)據(jù)，使得跟蹤效果更好。

4 結束語

本文提出基于GPF-CPHD的多目標跟蹤平滑算法。算法根據(jù)CPHD目標勢分布的意義，結合GPF的特點，推導出粒子權重更新表達式，同時利用高斯函數(shù)近似目標狀態(tài)的后驗概率密度，采用粒子濾波的方法迭代更新CPHD中各高斯項的均值與協(xié)方差，避免粒子枯竭，減少計算復雜度。不足之處是與平滑算法相結合，綜合利用了t時刻前后的PHD濾波估計信息，彌補了PHD濾波容易丟失高階勢分布信息的缺點，進一步改善了多目標狀態(tài)估計性能但仍會出現(xiàn)跟蹤滯后現(xiàn)象，這是下一步工作所要完善的。