李海芬 ,譚永紅 ,董瑞麗 ,程冉冉

(1.華北科技學(xué)院電子信息工程學(xué)院;煤炭安全監(jiān)測(cè)監(jiān)控技術(shù)安全生產(chǎn)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,河北廊坊 065201;2.上海師范大學(xué)信息與機(jī)電工程學(xué)院,上海 200234;3.東華大學(xué)信息科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,上海 201620;4.華北科技學(xué)院理學(xué)院,河北廊坊 065201)

1 引言

由壓電陶瓷構(gòu)成的具有定位精度高、敏感性強(qiáng)、低能耗、驅(qū)動(dòng)力大和響應(yīng)速度快的控制簡(jiǎn)便驅(qū)動(dòng)器[1-2],在精密工程中起到非常重要的作用.被廣泛應(yīng)用于生物醫(yī)學(xué)、3D打印技術(shù)、精密加工機(jī)床和掃描隧道顯微鏡等精密儀器中.同時(shí)壓電陶瓷作為一種新型材料也具有其缺點(diǎn),如遲滯特性和蠕變特性等.這些特性都會(huì)影響壓電陶瓷整個(gè)控制系統(tǒng)精度和靈敏度,嚴(yán)重影響了系統(tǒng)的性能,造成控制精度的降低,誤差變大,從而導(dǎo)致系統(tǒng)的發(fā)散[3-4].壓電陶瓷超精密定位平臺(tái)是近些年發(fā)展的一種新型的精密定位平臺(tái),其結(jié)構(gòu)是由壓電陶瓷執(zhí)行器和柔性鉸鏈組成,柔性鉸鏈?zhǔn)菍弘娞沾僧a(chǎn)生的位移進(jìn)行放大,得到預(yù)期的位移輸出,如圖1所示.

圖1 壓電陶瓷執(zhí)行器工作結(jié)構(gòu)圖Fig.1 The structure of piezoelectric actuator

壓電陶瓷中的遲滯具有非光滑、多值映射和依賴(lài)于輸入速率變化等復(fù)雜的特性,如果遲滯末端還帶有動(dòng)態(tài)的線性環(huán)節(jié),構(gòu)成所謂的“含有遲滯的非光滑Hammerstein系統(tǒng)”,然而大多數(shù)的智能材料的遲滯非線性都是動(dòng)態(tài)的,系統(tǒng)的輸出不僅受系統(tǒng)的輸入和輸入的歷史狀態(tài)的影響,還與輸入電壓的變化速率是有關(guān)的,即呈現(xiàn)出速率相關(guān)性,這樣就構(gòu)成了含有動(dòng)態(tài)遲滯的Hammerstein系統(tǒng)(如圖2 所示).柔性鉸鏈機(jī)構(gòu)可以采用線性模型來(lái)描述,當(dāng)壓電陶瓷的輸入電壓變化比較大時(shí),此時(shí)壓電陶瓷的逆壓電效應(yīng)則是一個(gè)非光滑非線性動(dòng)態(tài)遲滯特性,導(dǎo)致系統(tǒng)產(chǎn)生信號(hào)發(fā)生諧波失真和振蕩,削弱閉環(huán)控制系統(tǒng)的反饋?zhàn)饔?甚至導(dǎo)致控制系統(tǒng)發(fā)散[5-6].為了滿(mǎn)足在工業(yè)生產(chǎn)中實(shí)際系統(tǒng)對(duì)控制精度和靈敏度的要求,就要對(duì)這類(lèi)系統(tǒng)進(jìn)行準(zhǔn)確的控制.但在系統(tǒng)工作的過(guò)程中,不可避免的會(huì)受到外界因素的干擾,使得采集的數(shù)據(jù)里含有一些隨機(jī)噪聲(電磁干擾、底座震蕩),將這些隨機(jī)噪聲去除是首先要解決的問(wèn)題.由于壓電陶瓷的后端還連有一個(gè)線性環(huán)節(jié),其輸出不能直接測(cè)量.當(dāng)輸入信號(hào)的速率變化比較大時(shí),壓電陶瓷中的遲滯特性將呈現(xiàn)依賴(lài)速率的動(dòng)態(tài)遲滯特性,因此對(duì)這類(lèi)復(fù)雜的非光滑非線性系統(tǒng)進(jìn)行狀態(tài)估計(jì)更加困難.目前為止,還沒(méi)有發(fā)現(xiàn)針對(duì)含噪聲動(dòng)態(tài)遲滯Hammerstein 系統(tǒng)進(jìn)行狀態(tài)估計(jì)的文獻(xiàn).

目前已有的文獻(xiàn)描述的遲滯特性有,如Preisach模型[7],PI模型還有神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型等,但這些模型都是不依懶于輸入頻率的遲滯模型,而在實(shí)際的工程中,當(dāng)輸入頻率超過(guò)一定的范圍時(shí),遲滯的特性是隨著輸入的頻率的改變發(fā)生變化,即隨著輸入頻率的增大,遲滯環(huán)的寬度會(huì)變寬,遲滯環(huán)的幅值會(huì)變低,如圖3所示.文獻(xiàn)[8]用修正的Preisach模型來(lái)辨識(shí)動(dòng)態(tài)遲滯的特性,這種方法也很難確定其密度函數(shù).文獻(xiàn)[9]用基于動(dòng)態(tài)遲滯單元的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型對(duì)壓電陶瓷中的遲滯特性進(jìn)行建模,文獻(xiàn)[10-11]對(duì)經(jīng)典的PI模型進(jìn)行修改,通過(guò)重新構(gòu)造權(quán)重的方式來(lái)描述動(dòng)態(tài)遲滯的特性,大大提高了遲滯的建模精度,文獻(xiàn)[12]用半對(duì)稱(chēng)的Duhem模型來(lái)描述動(dòng)態(tài)遲滯特性,文獻(xiàn)[13]用擴(kuò)展輸入空間的思想[14-17],把動(dòng)態(tài)的遲滯由多值映射轉(zhuǎn)化為一一映射,然后在此空間上,用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)來(lái)逼近遲滯的特性.文獻(xiàn)[18]建立一個(gè)基于Backlash-Like動(dòng)態(tài)遲滯模型,辨識(shí)壓電超精密定位平臺(tái)的模型參數(shù).但帶有噪聲的動(dòng)態(tài)遲滯Hammerstein系統(tǒng)的狀態(tài)估計(jì)目前還沒(méi)有文獻(xiàn)研究.因此研究依賴(lài)于輸入頻率的遲滯的辨識(shí)與濾波是一項(xiàng)很有意義的課題.

本文首先提出一種新的描述動(dòng)態(tài)遲滯的方法,接著提出一種新的改進(jìn)卡爾曼濾波器,對(duì)于動(dòng)態(tài)遲滯的Hammerstein系統(tǒng),在輸入信號(hào)速率變化比較大時(shí),遲滯環(huán)節(jié)用靜態(tài)的遲滯模型來(lái)描述,用改進(jìn)的卡爾曼濾波分別對(duì)用動(dòng)態(tài)來(lái)描述、靜態(tài)來(lái)描述和文獻(xiàn)[9]中描述動(dòng)態(tài)遲滯的方法對(duì)含有噪聲的遲滯Hammerstein系統(tǒng)進(jìn)行狀態(tài)估計(jì),結(jié)果表明用靜態(tài)遲滯來(lái)描述壓電陶瓷的特性,模型存在誤差,因此用改進(jìn)的卡爾曼濾波器對(duì)其估計(jì)的誤差也比較大,這也體現(xiàn)了本文針對(duì)這類(lèi)復(fù)雜系統(tǒng)建立改進(jìn)的非光滑卡爾曼濾波器和研究動(dòng)態(tài)遲滯Hammerstein模型的意義所在.

2 動(dòng)態(tài)遲滯Hammerstein模型

如圖2所示:動(dòng)態(tài)遲滯Hammerstein系統(tǒng)是由兩部分組成,壓電陶瓷執(zhí)行器(非光滑非線性遲滯特性)和柔性鉸鏈部分(線性部分).u是系統(tǒng)的輸入信號(hào),經(jīng)過(guò)壓電陶瓷產(chǎn)生遲滯特性,v為壓電陶瓷的輸出,其輸出不可測(cè)量,但具有實(shí)際的物理意義,能夠描述某些量的準(zhǔn)確變化.L2表示線性環(huán)節(jié)(柔性鉸鏈),y為系統(tǒng)的輸出,在此系統(tǒng)中,只有u和y可以直接測(cè)量.為了對(duì)此類(lèi)系統(tǒng)進(jìn)行準(zhǔn)確的控制,建模時(shí)后端的柔性鉸鏈動(dòng)態(tài)性能不能被忽略.

圖2 動(dòng)態(tài)遲滯Hammerstein系統(tǒng)Fig.2 Structural of Hammerstein system with dynamic hysteresis

2.1 動(dòng)態(tài)遲滯環(huán)節(jié)

在文獻(xiàn)[9]中,采用的動(dòng)態(tài)遲滯單元的表達(dá)式為

其中:uk為動(dòng)態(tài)遲滯單元的輸入信號(hào),vk為動(dòng)態(tài)遲滯單元的輸出信號(hào),c為可變的常數(shù),DZ為非線性區(qū),DZ表達(dá)式如下所示,式中b1為可變的常數(shù).

在式(1)中,并沒(méi)有體現(xiàn)出輸入信號(hào)速率的變化特性,本文對(duì)文獻(xiàn)[9]中描述動(dòng)態(tài)遲滯單元的表達(dá)式進(jìn)行修改,具體的修改過(guò)程是在式(1)中,增加了m(uk?uk?1)一項(xiàng),m為動(dòng)態(tài)遲滯輸入頻率變化的增量系數(shù),經(jīng)修改后的依賴(lài)于輸入速率變化的動(dòng)態(tài)遲滯單元公式可以描述為如下形式:

其中:uk為動(dòng)態(tài)遲滯環(huán)節(jié)的輸入,vk為動(dòng)態(tài)遲滯環(huán)節(jié)的輸出.b1和b2為相應(yīng)的系數(shù),T為采樣時(shí)間,m為動(dòng)態(tài)遲滯輸入頻率變化的增量系數(shù).其動(dòng)態(tài)遲滯單元的圖如圖3所示,圖4是參考文獻(xiàn)[9]中的遲滯圖像,從圖3可以看出，改進(jìn)后的動(dòng)態(tài)遲滯單元要比參考文獻(xiàn)[9]中的動(dòng)態(tài)遲滯特性明顯,更能體現(xiàn)動(dòng)態(tài)遲滯的特性.

圖3 改進(jìn)后的遲滯模型圖Fig.3 Improved hysteresis modeling

2.2 后端線性環(huán)節(jié)

圖2中,輸出線性環(huán)節(jié)動(dòng)態(tài)子系統(tǒng)狀態(tài)空間方程可設(shè)為

圖4 參考文獻(xiàn)[9]遲滯模型圖Fig.4 Hysteresis model in Reference[9]

3 改進(jìn)后的Kalman濾波器

目前對(duì)系統(tǒng)的狀態(tài)估計(jì)用的最多的方法是卡爾曼濾波,卡爾曼濾波在光滑的線性隨機(jī)狀態(tài)估計(jì)問(wèn)題中起到了非常重要的作用,如雷達(dá)、視頻圖像的處理、目標(biāo)跟蹤與檢測(cè)[19-24]都有重要的價(jià)值.但是卡爾曼最初提出的濾波理論只適用于線性系統(tǒng),而本文的動(dòng)態(tài)遲滯Hammerstein系統(tǒng)屬于非光滑的非線性系統(tǒng).傳統(tǒng)的卡爾曼濾波在此類(lèi)系統(tǒng)進(jìn)行狀態(tài)估計(jì)時(shí),沒(méi)有考慮遲滯環(huán)節(jié)對(duì)系統(tǒng)的影響,因此對(duì)第2個(gè)線性系統(tǒng)輸出會(huì)有較大的誤差.針對(duì)這個(gè)問(wèn)題,本小節(jié)提出含有切換函數(shù)的非光滑卡爾曼濾波器,來(lái)處理動(dòng)態(tài)遲滯Hammerstein系統(tǒng)在隨機(jī)噪聲影響下的狀態(tài)估計(jì)問(wèn)題.為了處理方便,文中選取的隨機(jī)噪聲為零均值的高斯白噪聲,根據(jù)式(2),考慮如下含有高斯白噪聲的動(dòng)態(tài)遲滯Hammerstein系統(tǒng):

其中:wk和dk為系統(tǒng)的過(guò)程噪聲和觀測(cè)噪聲,其均值為零,協(xié)方差矩陣為Qk和Rk的不相關(guān)白噪聲,二者都是零均值且互不相關(guān)的白噪聲序列,即

改進(jìn)后的卡爾曼濾波器的核心公式如下:

4 數(shù)值仿真

設(shè)動(dòng)態(tài)遲滯Hammerstein系統(tǒng)表示形式如下:

1)動(dòng)態(tài)遲滯部分:

2)線性部分:

其中:

wk和dk對(duì)應(yīng)的協(xié)方差矩陣分別為Qk和Rk,為了使改進(jìn)后非光滑卡爾曼濾波器對(duì)系統(tǒng)的估計(jì)誤差能快速的收斂,Qk和Rk的取值要滿(mǎn)足一定的要求[25],取

圖5為系統(tǒng)沒(méi)有噪聲情況下的兩個(gè)狀態(tài).圖6是系統(tǒng)在隨機(jī)噪聲干擾下的狀態(tài)圖.用本文提出的改進(jìn)的卡爾曼濾波對(duì)圖6含有噪聲的狀態(tài)進(jìn)行估計(jì).圖7是用改進(jìn)卡爾曼濾波器對(duì)含噪聲的動(dòng)態(tài)遲滯Hammerstein系統(tǒng)的狀態(tài)估計(jì),其中藍(lán)線(實(shí)線)表示系統(tǒng)在沒(méi)有噪聲干擾的情況下,系統(tǒng)的真實(shí)狀態(tài)值,紅線(虛線)系統(tǒng)在受到隨機(jī)噪聲干擾時(shí),用本文提出的濾波方法對(duì)系統(tǒng)的狀態(tài)估計(jì)值.從圖5-7可看出,本文提出的濾波器對(duì)濾除噪聲能起到比較滿(mǎn)意的效果,估計(jì)后的狀態(tài)值能快速的地跟蹤系統(tǒng)的真實(shí)值.

圖5 沒(méi)有噪聲干擾系統(tǒng)的真實(shí)值Fig.5 The system without noise disturbing

圖6 含有噪聲干擾時(shí)系統(tǒng)的狀態(tài)Fig.6 The system with noise disturbing

圖7 改進(jìn)卡爾曼濾波結(jié)果圖(動(dòng)態(tài)遲滯)Fig.7 Estimation results of the modified Kalman filter (dynamic hysteresis)

圖8是用改進(jìn)卡爾曼濾波器對(duì)含有噪聲的動(dòng)態(tài)遲滯Hammerstein系統(tǒng)估計(jì)的輸入輸出圖,其中實(shí)線(藍(lán)色)是模型的真實(shí)值,虛線(紅色)是用改進(jìn)卡爾曼濾波器對(duì)系統(tǒng)狀態(tài)的估計(jì)值.

圖8 系統(tǒng)的輸入-輸出關(guān)系(改進(jìn)卡爾曼濾波器)Fig.8 Input and output of the hysteresis

為了清楚直觀的看出改進(jìn)后的卡爾曼濾波器對(duì)各個(gè)狀態(tài)估計(jì)的效果,圖9給出了改進(jìn)后的卡爾曼濾波器對(duì)各狀態(tài)估計(jì)的誤差值曲線.

圖9 改進(jìn)卡爾曼濾波器對(duì)系統(tǒng)狀態(tài)的估計(jì)誤差(動(dòng)態(tài)遲滯)Fig.9 Estimation error of modified Kalman filter (dynamic hysteresis)

在輸入條件及一切初值都相同的條件下,本文采用靜態(tài)的遲滯模型[26]來(lái)描述動(dòng)態(tài)遲滯Hammerstein系統(tǒng)中的遲滯特性,并用改進(jìn)的卡爾曼濾波器對(duì)其進(jìn)行狀態(tài)估計(jì).由于用靜態(tài)的遲滯描述時(shí)沒(méi)有考慮到輸入信號(hào)頻率的變化,其模型也存在一定的誤差.圖10是用改進(jìn)卡爾曼濾波器對(duì)系統(tǒng)狀態(tài)的估計(jì)(靜態(tài)遲滯).圖10對(duì)狀態(tài)x2的估計(jì)出現(xiàn)了跳躍的毛刺現(xiàn)象,是由于在輸入信號(hào)頻率變化比較大時(shí),用靜態(tài)的遲滯不能很好的描述遲滯的特性,尤其是在非光滑點(diǎn)處,對(duì)系統(tǒng)的狀態(tài)沒(méi)有準(zhǔn)確的估計(jì),因此出現(xiàn)了跳躍毛刺的情況.圖11是用改進(jìn)的卡爾曼濾波對(duì)系統(tǒng)(靜態(tài)遲滯)濾波后的輸入輸出圖.圖12是用改進(jìn)后卡爾曼濾波器對(duì)系統(tǒng)(靜態(tài)遲滯)的狀態(tài)估計(jì)的誤差值.

圖10 改進(jìn)卡爾曼濾波器對(duì)系統(tǒng)狀態(tài)的估計(jì)(靜態(tài)遲滯)Fig.10 Estimation of system state via modified kalman filter(static hysteresis)

圖11 系統(tǒng)的輸入輸出(靜態(tài)遲滯)Fig.11 Input and output of the hysteresis(static hysteresis)

圖12 改進(jìn)卡爾曼濾波器對(duì)系統(tǒng)狀態(tài)的估計(jì)誤差(靜態(tài)遲滯)Fig.12 Estimation error of modified Kalman filter(static hysteresis)

在相同的條件下,用文獻(xiàn)[9]中描述動(dòng)態(tài)遲滯特性,用改進(jìn)的卡爾曼濾波器對(duì)其進(jìn)行狀態(tài)估計(jì),由于文獻(xiàn)[9]中描述遲滯特性中沒(méi)有體現(xiàn)出輸入速率的變化,其模型也存在一定的誤差.圖13是用文獻(xiàn)[9]中的動(dòng)態(tài)遲滯表達(dá)式來(lái)描述動(dòng)態(tài)遲滯Hammerstein系統(tǒng)中的遲滯特性,用非光滑的卡爾曼濾波器濾波后的輸入輸出圖,實(shí)線(藍(lán)色)是模型的真實(shí)值,虛線(紅線)是用改進(jìn)卡爾曼濾波后的狀態(tài)估計(jì)值.

1.3 觀察指標(biāo) 對(duì)兩組患兒治療前后不同時(shí)段心率(HR)、呼吸頻率(R)、平均壓、血氧飽和度(SpO2)、新生兒行為神經(jīng)評(píng)分(NBNA)以及治療后不良反應(yīng)發(fā)生情況進(jìn)行綜合評(píng)價(jià)[6]。NBNA神經(jīng)功能評(píng)分主要包括行為能力、主動(dòng)肌張力及原始反射等5個(gè)方面，總分>35分表示正常，<35分表示異常[7]。

圖13 系統(tǒng)的輸入和輸出(文獻(xiàn)[9])Fig.13 Input and output of the hysteresis(Reference[9])

圖14是文獻(xiàn)[9]中的動(dòng)態(tài)遲滯表達(dá)式來(lái)描述動(dòng)態(tài)遲滯Hammerstein系統(tǒng)中的遲滯特性,用改進(jìn)后的卡爾曼濾波器對(duì)其狀態(tài)估計(jì)的誤差圖.

圖14 改進(jìn)卡爾曼濾波器對(duì)系統(tǒng)狀態(tài)估計(jì)的誤差值(文獻(xiàn)[9])Fig.14 Estimation error of modified Kalman filter(Reference[9])

從圖8、圖11和圖13可以看出,在輸入頻率變化比較大時(shí),采用動(dòng)態(tài)遲滯模型描述Hammerstein系統(tǒng)的遲滯特性比用靜態(tài)的遲滯模型描述Hammerstein系統(tǒng)和文獻(xiàn)[9]中描述動(dòng)態(tài)遲滯模型要準(zhǔn)確,圖9可以看出,采用改進(jìn)后卡爾曼濾波器對(duì)含有噪聲的動(dòng)態(tài)遲滯Hammerstein系統(tǒng)進(jìn)行狀態(tài)估計(jì)時(shí),誤差能很快的收斂于零.而采用靜態(tài)的遲滯模型和文獻(xiàn)[9]中的動(dòng)態(tài)遲滯模型描述Hammerstein系統(tǒng)中的動(dòng)態(tài)遲滯特性,模型存在誤差,進(jìn)而對(duì)系統(tǒng)的狀態(tài)估計(jì)造成一定的影響,這也反映了研究動(dòng)態(tài)遲滯模型的意義所在.

5 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

實(shí)驗(yàn)平臺(tái)由三維納米精密定位平臺(tái)如圖15所示.PI-725.3CD數(shù)字多通道壓電陶瓷控制器,P-563.3CD XYZ壓電納米定位系統(tǒng).P-563.3CD是該系統(tǒng)中的微平臺(tái),由壓電陶瓷驅(qū)動(dòng)器產(chǎn)生相應(yīng)的位移.圖13包括一個(gè)控制器和一個(gè)三軸壓電陶瓷采集信號(hào)的控制面板.輸入的額定電壓是0～10 V,額定輸出位移為0～300μm;控制系統(tǒng)是由德國(guó)dsPACE公司開(kāi)發(fā)的一套MATLAB/Simulink控制系統(tǒng),采樣控制頻率為1 kHz.

圖15 實(shí)驗(yàn)設(shè)備Fig.15 The experimental setup

根據(jù)第2節(jié)的分析帶動(dòng)態(tài)遲滯Hammerstein系統(tǒng)的結(jié)構(gòu),采用二階線性系統(tǒng)描述柔性鉸鏈位移放大裝置的特性.本文根據(jù)實(shí)驗(yàn)平臺(tái)所得輸入輸出數(shù)據(jù)建立系統(tǒng)的輸入-輸出模型,從而得到了描述系統(tǒng)的狀態(tài)空間方程.

動(dòng)態(tài)遲滯部分:

線性部分:

輸出系統(tǒng):

其中:uk是動(dòng)態(tài)遲滯Hammerstein系統(tǒng)的輸入電壓,可以直接測(cè)量,單位為V;vk為動(dòng)態(tài)遲滯環(huán)節(jié)的輸出,不能直接測(cè)量;x1(k)是能直接測(cè)量的壓電陶瓷的輸出,單位是μm;x2(k)是由系統(tǒng)的輸入輸出模型轉(zhuǎn)化為狀態(tài)空間模型時(shí)的中間變量,沒(méi)有明確的物理意義.假設(shè)濾波初始值為(0)=[0.01 0.01]T,為了使濾波器快速的收斂于實(shí)際系統(tǒng),R(k)和Q(k)的取值需要滿(mǎn)足文獻(xiàn)[25]要求,這里取

其相應(yīng)動(dòng)態(tài)遲滯特性描述壓電陶瓷的特性,并用改進(jìn)卡爾曼濾波對(duì)其濾波結(jié)果如圖16.圖17是改進(jìn)的卡爾曼濾波器對(duì)系統(tǒng)估計(jì)后的系統(tǒng)輸入輸出關(guān)系.

圖16 改進(jìn)卡爾曼濾波器對(duì)系統(tǒng)狀態(tài)估計(jì)誤差值(動(dòng)態(tài)遲滯)Fig.16 Estimation results of the modified Kalman filter (dynamic hysteresis)

圖17 改進(jìn)卡爾曼濾波后的輸入輸出圖(動(dòng)態(tài)遲滯)Fig.17 Input and output of the system via modified Kalman filter(dynamic hysteresis)

在輸入條件及一切初值都相同的條件下,采用靜態(tài)的遲滯模型和文獻(xiàn)[9]中的動(dòng)態(tài)遲滯模型來(lái)描述實(shí)驗(yàn)平臺(tái)中壓電陶瓷的特性,并用改進(jìn)的卡爾曼濾波器對(duì)其進(jìn)行狀態(tài)估計(jì).由于用靜態(tài)的遲滯和文獻(xiàn)[9]描述時(shí)沒(méi)有考慮到輸入信號(hào)頻率的變化,其模型也存在一定的誤差.圖18是用靜態(tài)的遲滯模型描述壓電陶瓷中遲滯特性并用改進(jìn)卡爾曼濾波器估計(jì)的結(jié)果,圖18上面的子圖是對(duì)系統(tǒng)輸出的估計(jì)值,下面的子圖是估計(jì)的誤差值,圖20是用文獻(xiàn)[9]中的動(dòng)態(tài)遲滯模型描述壓電陶瓷的特性,上面的子圖是對(duì)系統(tǒng)輸出的估計(jì)值,下面的子圖是估計(jì)的誤差值.與圖14中的誤差值相比,當(dāng)輸入信號(hào)頻率較大時(shí),用靜態(tài)遲滯模型和文獻(xiàn)[9]中的動(dòng)態(tài)遲滯模型描述壓電陶瓷的特性,誤差值較大且有跳躍的現(xiàn)象,這是因?yàn)楸孀R(shí)出的模型存在誤差不能準(zhǔn)確的描述壓電陶瓷的特性所致.圖19是用靜態(tài)遲滯模型描述壓電陶瓷的特性并用改進(jìn)的卡爾曼濾波器對(duì)系統(tǒng)估計(jì)的輸入輸出值,藍(lán)色(實(shí)線)是系統(tǒng)的實(shí)際值,紅色的(虛線)是估計(jì)值,與圖17相比,圖19估計(jì)的系統(tǒng)值就沒(méi)有很好的跟蹤實(shí)際值,由于辨識(shí)得到的模型誤差使得對(duì)系統(tǒng)的估計(jì)不能很好的跟蹤實(shí)際的值.

圖18 改進(jìn)卡爾曼濾波器對(duì)系統(tǒng)狀態(tài)的估計(jì)及其誤差值(靜態(tài)遲滯)Fig.18 Estimation of system state via modified Kalman filter(static hysteresis)

圖19 改進(jìn)卡爾曼濾波后的輸入輸出圖(靜態(tài)遲滯)Fig.19 Input and output of the system via modified Kalman filter(static hysteresis)

圖20 改進(jìn)卡爾曼濾波器對(duì)系統(tǒng)狀態(tài)的估計(jì)及其誤差值(文獻(xiàn)[9])Fig.20 Estimation of system state via modified Kalman filter(Reference[9])

6 結(jié)論

工業(yè)中常見(jiàn)的精密定位系統(tǒng),壓電陶瓷執(zhí)行器系統(tǒng)等往往存在遲滯特性,可以用帶遲滯的Hammerstein系統(tǒng)來(lái)描述這些含有遲滯的工業(yè)系統(tǒng).在系統(tǒng)工作的過(guò)程中,當(dāng)輸入信號(hào)頻率變化比較大時(shí),用靜態(tài)的遲滯Hammerstein系統(tǒng)不能準(zhǔn)確的描述壓電陶的特性.本文首先提出一種新的描述動(dòng)態(tài)遲滯的表達(dá)式,在此基礎(chǔ)上提出非光滑的帶切換卡爾曼濾波方法來(lái)濾除有用信號(hào)以外的噪聲并進(jìn)行系統(tǒng)內(nèi)部狀態(tài)在線估計(jì).最后,數(shù)值仿真和實(shí)驗(yàn)平臺(tái)上都表明,當(dāng)輸入信號(hào)頻率變化比較大時(shí),用非光滑的卡爾曼濾波分別對(duì)用動(dòng)態(tài)來(lái)描述、靜態(tài)來(lái)描述和文獻(xiàn)[9]中的描述方法對(duì)含有噪聲的動(dòng)態(tài)遲滯Hammerstein系統(tǒng)進(jìn)行估計(jì),結(jié)果表明用靜態(tài)遲滯和文獻(xiàn)[9]中的模型來(lái)描述壓電陶瓷的特性,模型存在誤差,因此用非光滑的卡爾曼濾波器對(duì)其估計(jì)的誤差也比用非光滑卡爾曼濾波器對(duì)動(dòng)態(tài)遲滯Hammerstein系統(tǒng)時(shí)的誤差大,這也體現(xiàn)了本文針對(duì)這類(lèi)復(fù)雜的系統(tǒng)建立改進(jìn)的非光滑卡爾曼濾波器和研究動(dòng)態(tài)遲滯模型的意義所在.