張 強(qiáng) ,許 慧 ,許德智 ,王晨光

(1.濟(jì)南大學(xué)自動(dòng)化與電氣工程學(xué)院,山東濟(jì)南 250022;2.江南大學(xué)物聯(lián)網(wǎng)工程學(xué)院,江蘇無錫 214122)

1 引言

Backstepping控制因其設(shè)計(jì)過程具有系統(tǒng)化和結(jié)構(gòu)化等優(yōu)勢(shì),已成為作為處理非線性系統(tǒng)控制器設(shè)計(jì)的主要方法,取得了大量理論成果和應(yīng)用,如文獻(xiàn)[1-4].文獻(xiàn)[1]將backstepping 技術(shù)總結(jié)為利用系統(tǒng)結(jié)構(gòu)特性,對(duì)每一個(gè)子系統(tǒng)設(shè)計(jì)合適的虛擬控制量,逐步擴(kuò)充Lyaponuv函數(shù),直到第n步獲得控制量u,從而保證閉環(huán)系統(tǒng)漸近穩(wěn)定;文獻(xiàn)[5]利用積分backstepping 控制方法實(shí)現(xiàn)了輪式倒單擺跟蹤控制.但文獻(xiàn)[1-5]均存在著“微分膨脹”問題.為此,文獻(xiàn)[6]引入一階濾波器獲取虛擬控制量及其微分信號(hào),提出了動(dòng)態(tài)面控制(dynamic surface control,DSC)方法,以此,DSC 和預(yù)設(shè)性能指標(biāo)[7]、自適應(yīng)控制[8]、魯棒控制[9]等方法相結(jié)合的控制策略相繼被提出.此外,文獻(xiàn)[10]結(jié)合指令濾波器給出backstepping控制器設(shè)計(jì)步驟;文獻(xiàn)[11]給出了基于指令濾波模糊自適應(yīng)backstepping的直線感應(yīng)電機(jī)控制方法;文獻(xiàn)[12]研究了受限指令濾波backstepping控制器設(shè)計(jì)方法,實(shí)現(xiàn)三相永磁同步電機(jī)伺服跟蹤控制.然而,文獻(xiàn)[10-12]所給出的方法均未考慮系統(tǒng)有限時(shí)間收斂問題.對(duì)于實(shí)際物理系統(tǒng),保證系統(tǒng)有限時(shí)間收斂、分析與補(bǔ)償濾波偏差對(duì)跟蹤效果影響是至關(guān)重要的.

由于實(shí)際控制系統(tǒng)不可避免地受到各種外界干擾和不確定的影響,為提高被控對(duì)象的跟蹤精度,小腦模型(cerebellar model articulation controller,CMAC)、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)或模糊系統(tǒng)的干擾估計(jì)得到了廣泛研究,如文獻(xiàn)[13-15].但文獻(xiàn)[13-15]均需提前設(shè)置適宜的基函數(shù)以保證估計(jì)的準(zhǔn)確性.為解決此問題,大量學(xué)者開展了模糊CMAC[16]、模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)[17]、自組織模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)[18]等方法研究工作.然而文獻(xiàn)[16-18]存在著算法復(fù)雜、在線計(jì)算過多等不足,這勢(shì)必可能引起系統(tǒng)實(shí)時(shí)性差.因此,以保證干擾估計(jì)準(zhǔn)確性和實(shí)時(shí)性為目標(biāo),進(jìn)一步研究干擾估計(jì)及其觀測(cè)器設(shè)計(jì)方法是非常必要的.

基于以上分析,針對(duì)一類不確定仿射非線性系統(tǒng)的跟蹤控制問題,提出一種基于非對(duì)稱模糊小腦模型干擾觀測(cè)器的有限時(shí)間收斂backstepping控制策略.其設(shè)計(jì)過程可分為3部分:1)以改進(jìn)CMAC泛化和學(xué)習(xí)能力為手段,在結(jié)合非對(duì)稱高斯函數(shù)和模糊理論基礎(chǔ)上,通過給出非對(duì)稱模糊小腦模型(asymetric fuzzy cerebellar model articulation controller,AFCMAC)結(jié)構(gòu)及干擾觀測(cè)器設(shè)計(jì)過程來準(zhǔn)確及快速地估計(jì)系統(tǒng)未知復(fù)合干擾;2)借助文獻(xiàn)[19]所提出的有限時(shí)間收斂非線性微分器獲取虛擬控制量濾波和微分信息,構(gòu)造輔助系統(tǒng)修正因微分器帶來的誤差對(duì)系統(tǒng)跟蹤性能影響;3)融合AFCMAC干擾觀測(cè)器和輔助系統(tǒng)基礎(chǔ)上,設(shè)計(jì)有限時(shí)間收斂backstepping控制器,其中引入文獻(xiàn)[20]障礙型函構(gòu)造自適應(yīng)滑模魯棒項(xiàng)以抑制復(fù)合干擾估計(jì)偏差對(duì)跟蹤誤差的影響;將所提方法應(yīng)用于無人機(jī)飛行控制仿真實(shí)驗(yàn),結(jié)果表明所提出的策略具有良好的跟蹤控制性能和魯棒性能.

2 問題描述

考慮一類不確定仿射非線性系統(tǒng)如下:

為書寫方便,在不引起歧義的情況下,省略相關(guān)變量的自變量,如簡(jiǎn)寫為fi,記sgn(·)為符號(hào)函數(shù).

假設(shè)1[9]輸出信號(hào)y(t)和參考信號(hào)yd(t)為光滑、可測(cè)且對(duì)于t>0,i=1,2,···,n有界.

假設(shè)2假設(shè)存在已知常數(shù)μ1>0,μ2>0使系統(tǒng)控制增益滿足μ1<|gi|<μ2,i=1,2,···,n.

假設(shè)3[9]復(fù)合干擾,i=1,2,···,n?1和Dn(x,u,t)為有界的,且存在一組未知常數(shù)ci>0,i=1,2,···,n滿足≤ci,i=1,2,···,n?1和|Dn(x,u,t)|≤cn.

引理1[21]系統(tǒng)=f(x),t0為初始時(shí)刻,若存在一個(gè)連續(xù)函數(shù)V(x),a>0,b>0, 0<α<1和0<<∞,有

到達(dá)收斂域內(nèi)時(shí)間Tr滿足

式中0<ρ<1.

為避免傳統(tǒng)backstepping控制中的“微分膨脹”問題,采用有限時(shí)間收斂的非線性微分器[19]如下:

式中:φi(i=1,2)為微分器狀態(tài);α為微分器輸入;τi(i=1,2)為設(shè)計(jì)參數(shù);φ1為α濾波值;ν1為估計(jì)值.

引理2[19]若微分器式(3)中參數(shù)ri(i=1,2)選取合理,有

1)當(dāng)信號(hào)α無輸入噪聲時(shí),則在有限時(shí)間后,φ1=α,ν1=

2)當(dāng)含有噪聲的信號(hào)α與真值α0偏差有界時(shí),即|α?α0|≤δ,則在有限時(shí)間后,

式中ηi >0(i=1,2)與ri有關(guān).

控制器設(shè)計(jì)的目的是在閉環(huán)系統(tǒng)所有信號(hào)有界下,設(shè)計(jì)控制律使得y(t)在有限時(shí)間內(nèi)跟蹤yd(t).為清晰地說明本文的設(shè)計(jì)思路,控制方案結(jié)構(gòu)如圖1所示.

圖1 控制方案結(jié)構(gòu)圖Fig.1 Structure diagram of control scheme

3 非對(duì)稱模糊小腦模 型結(jié)構(gòu)及干擾觀測(cè) 器設(shè)計(jì)

3.1 非對(duì)稱模糊小腦模型結(jié)構(gòu)

在文獻(xiàn)[13]CMAC基礎(chǔ)上,融合將非對(duì)稱高斯函數(shù)和模糊方法,提出n維輸入單輸出的AFCMAC結(jié)構(gòu),使其具有增強(qiáng)的學(xué)習(xí)記憶和泛化能力,其結(jié)構(gòu)如圖2所示.在圖2中,定義第i條模糊規(guī)則為

圖2 非對(duì)稱模糊小腦模型結(jié)構(gòu)Fig.2 Structure of AFCMAC

式中:nj是每一個(gè)輸入維度的層數(shù);nk是每一層的塊數(shù);ni是輸入維度;nl=njnk為模糊推理規(guī)則個(gè)數(shù);fijk代表第i個(gè)輸入、第j層、第k塊記憶單元的模糊集,ωjk代表第j塊和第k塊記憶單元之間的權(quán)值.AFCMAC各層定義如下:

2)非對(duì)稱隸屬函數(shù)層:因非對(duì)稱函數(shù)能夠增加隸屬度函數(shù)選擇的自由度,即增加估計(jì)未知函數(shù)準(zhǔn)確性,取不對(duì)稱高斯函數(shù)為

式中mijk,分別為第i個(gè)輸入Ii在第j層中第k個(gè)記憶塊對(duì)應(yīng)函數(shù)的中心點(diǎn)及左、右側(cè)寬度取值.

3)回歸層:多維回歸層函數(shù)為

式中:νijk為的方差;θjk為第j層和第k塊記憶單元之間的權(quán)值.

在式(5)基礎(chǔ)上,多維的回歸層可以寫為

4)權(quán)值記憶層:權(quán)值記憶矩陣可以寫為

式中Wjk為第j層和第k塊記憶單元之間的權(quán)值.

5)輸出層:該層的輸出為

注1若AFCMAC選取每1個(gè)輸入只包含1層,每層只包含1塊,每1塊僅選擇1個(gè)神經(jīng)元,則其與傳統(tǒng)的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等價(jià).由此,可以說傳統(tǒng)的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是AFCMAC的1種特殊的情況.此外,因AFCMAC參數(shù)選取更加靈活使得其較傳統(tǒng)的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)具有更快的學(xué)習(xí)速度和響應(yīng)速度.

3.2 基于非對(duì)稱模糊小腦模型的干擾觀測(cè)器設(shè)計(jì)

為給出AFCMAC干擾觀測(cè)器設(shè)計(jì)過程,需假設(shè)如下:

假設(shè)4[22]令x ∈Mx,Mx是系統(tǒng)狀態(tài)的一個(gè)緊集,AFCMAC的最優(yōu)輸出層權(quán)值向量W?可定義為

式中:M是設(shè)計(jì)參數(shù);?為權(quán)值參數(shù)可行域;F是干擾觀測(cè)器逼近的未知函數(shù);是AFCMAC權(quán)值;是AFCMAC輸出.

在假設(shè)3和4下,基于文獻(xiàn)[22]的函數(shù)估計(jì)原理,式(2)中的復(fù)合干擾可以描述為

式中εi為逼近誤差.

定理1在假設(shè)3和4下,考慮動(dòng)態(tài)系統(tǒng)如下:

式中:zdi ∈R為干擾觀測(cè)器系統(tǒng)狀態(tài);edi=xi?zdi為AFCMAC干擾觀測(cè)誤差;ki1>0,ki2>0和0<λi <1均為設(shè)計(jì)參數(shù);?i=fi+gixi+1,i=1,2,···,n?1,當(dāng)i=n時(shí),?n=fn+gnu;為第i個(gè)子系統(tǒng)的AFCMAC輸出;rdi=kriedi為魯棒項(xiàng);kdi >0為設(shè)計(jì)參數(shù).若設(shè)計(jì)AFCMAC權(quán)值向量的自適應(yīng)律設(shè)計(jì)為

則干擾觀測(cè)器誤差edi和AFCMAC權(quán)值估計(jì)誤差均在有限時(shí)間內(nèi)收斂至任意小的集合內(nèi),即

到達(dá)收斂域時(shí)間Tri滿足

式中:t0和ρi定義與引理1中t0和ρ相同,ai,bi,和αi定義見式(18),>0為設(shè)計(jì)參數(shù).

證對(duì)edi求導(dǎo),并代入式(2)和式(11),有

選取Lyapunov函數(shù)V如下:

將V沿著式(15)求導(dǎo),代入式(12),并利用Young不等式,可得

基于上述兩種情況,有hi <將其代入式(17)有

式中:

基于引理1和式(18)可得,edi和均在有限時(shí)間內(nèi)收斂至任意小的集合內(nèi),即當(dāng)時(shí)間Tri滿足式(14),edi和滿足式(13). 證畢.

注2AFCMAC 干擾觀測(cè)器式(11)值得說明的是:1)保證了干擾觀測(cè)器具有有限時(shí)間收斂的特性;2)干擾觀測(cè)器輸出值為AFCMAC的輸出與魯棒項(xiàng)之和,即i=1,2,···,n,這不僅保留了AFCMAC逼近復(fù)合干擾的所有優(yōu)點(diǎn),且應(yīng)用魯棒項(xiàng)使得逼近誤差盡量符合工程需求.

4 基于干擾觀測(cè)器的 有限時(shí)間收斂魯棒 自適應(yīng)backstepping控制器的設(shè)計(jì)

在AFCMAC干擾觀測(cè)器式(11)和非線性微分器式(3)基礎(chǔ)上,利用backstepping設(shè)計(jì)控制器,其中構(gòu)造輔助系統(tǒng)分析微分器誤差對(duì)系統(tǒng)影響并在控制器設(shè)計(jì)中進(jìn)行補(bǔ)償,采用障礙型函數(shù)設(shè)計(jì)自適應(yīng)滑模魯棒項(xiàng)抑制復(fù)合干擾估計(jì)偏差對(duì)跟蹤誤差的影響.

定義跟蹤誤差

為分析微分器誤差對(duì)系統(tǒng)造成的影響,設(shè)計(jì)輔助系統(tǒng)如下:

式中:ξi ∈R(i=1,2,···,n)為輔助系統(tǒng)狀態(tài);ki >;li >0(i=1,2,···,n)為待設(shè)計(jì)常數(shù).

基于式(19)和式(20),定義修正跟蹤誤差zi=ei?ξi,i=1,2,···,n.

Step 1在假設(shè)1 下,將z1求導(dǎo),代入式(2)和式(20),有

設(shè)計(jì)虛擬控制量α1及抑制干擾觀測(cè)器誤差對(duì)系統(tǒng)影響的魯棒項(xiàng)r1為

將式(22)代入式(21)得

選取Lyapunov函數(shù)V1=對(duì)其求導(dǎo),并代入式(23)得

Stepi(i=2,···,n?1)在式(2)和式(20)基礎(chǔ)上,對(duì)zi求導(dǎo),得

設(shè)計(jì)虛擬控制量αi及魯棒項(xiàng)ri為

將式(26)代入式(25)得

選取Lyapunov函數(shù)Vi=Vi?1+對(duì)其求導(dǎo),并代入式(24)和式(27)得

Stepn基于式(2)和式(20),zi求導(dǎo)可得

設(shè)計(jì)控制量u及魯棒項(xiàng)rn為

將式(30)代入式(29)得

取Lyapunov函數(shù)Vn=Vn?1+對(duì)其求導(dǎo)并代入式(31)有

利用Young不等式,有

由此,式(32)可改寫為

式中:

定理2針對(duì)滿足假設(shè)1-4的不確定非線性系統(tǒng)式(1),若取AFCMAC干擾觀測(cè)器式(11)、虛擬控制量式(22)和式(26)、控制量式(30),則跟蹤誤差在有限時(shí)間內(nèi)收斂至任意小的有界集內(nèi),即

到達(dá)收斂域時(shí)間T滿足

式中:

式中T2={Ti2}定義見式(37).

證因ei=zi+ξi,i=1,2,···,n,下面將分別證明zi在有限時(shí)間收斂于有界集內(nèi)和ξi在有限時(shí)間收斂于零.

1)基于式(33)和引理1可知,當(dāng)ki >時(shí),zi能夠有限時(shí)間T1內(nèi),收斂于有界集

2)分析輔助變量ξi收斂性.選取Lyapunov函數(shù),對(duì)其求導(dǎo),并代入式(20)得

依據(jù)引理2可知,在有限時(shí)間Ti2內(nèi)收斂于有界范圍內(nèi),即

當(dāng)t≥T2=時(shí),在假設(shè)2 下,式(36)可改寫為

式中:

根據(jù)引理1可得ξi在有限時(shí)間T3收斂于零.

綜上,當(dāng)時(shí)間滿足式(35)時(shí),因ξi收斂于零,則有ei收斂于zi所在的有界集內(nèi),即式(34). 證畢.

5 仿真實(shí)驗(yàn)

考慮具有建模動(dòng)態(tài)誤差、內(nèi)部不確定及外干擾影響因素的3 自由度無人直升機(jī)俯仰飛行運(yùn)動(dòng)方程[23]如下:

式中:x1和x2分別表示無人直升機(jī)的俯仰角和角速度;u為直流無刷電機(jī)控制電壓;D(x1,x2,t)=?f(x1,x2)+?g(x1,x2)u+d(t)為由建模誤差、參數(shù)不確定和陣風(fēng)干擾組成的復(fù)合干擾,f(x1,x2)和g(x1,x2)具體如下:

式中:

參數(shù)定義及物理意義見文獻(xiàn)[23].

假定期望跟蹤俯仰角指令yd=20?sint,俯仰角和角速度初值x(0)=[?5?, 0.5 rad/s]T,參數(shù)不確定為30%,陣風(fēng)干擾為0.5+0.2 sint.

為進(jìn)行無人直升機(jī)俯仰飛行運(yùn)動(dòng)跟蹤效果對(duì)比,采用文獻(xiàn)[13]給出的CMAC 方法或本文所提的AFCMAC干擾觀測(cè)器分別對(duì)復(fù)合干擾進(jìn)行估計(jì),然后利用動(dòng)態(tài)面backstepping方法或本文所提的有限時(shí)間收斂backstepping方法分別設(shè)計(jì)控制器.為后續(xù)仿真說明簡(jiǎn)潔,記由無干擾補(bǔ)償和本文控制器組成的控制方案為方案1;由文獻(xiàn)[13]給出的干擾估計(jì)與動(dòng)態(tài)面backstepping控制器組成的控制方案為方案2;由本文所提的AFCMAC干擾觀測(cè)器的干擾估計(jì)與動(dòng)態(tài)面backstepping控制器組成的控制方案為方案3;由本文所提的AFCMAC干擾觀測(cè)器的干擾估計(jì)與有限時(shí)間收斂backstepping控制器組成的控制方案為方案4,具體參數(shù)見表1.為保證對(duì)比曲線更具有說服力,選取意義相同的參數(shù)一致,得到仿真結(jié)果如圖3-7所示.

表1 不同控制方法設(shè)計(jì)參數(shù)對(duì)照表Table 1 Design parameters of different control methods

圖3 未補(bǔ)償干擾的有限時(shí)間收斂backstepping控制響應(yīng)曲線Fig.3 The time response curve of finite-time convergence backstepping control without FCMAC disturbance observer

圖4 基于CMAC干擾觀測(cè)器的有限時(shí)間收斂backstepping控制響應(yīng)曲線Fig.4 The time response curve of inite-time convergence backstepping control based on CMAC disturbance observer

圖5 基于AFCMAC干擾觀測(cè)器的動(dòng)態(tài)面backstepping控制響應(yīng)曲線Fig.5 The time response curve of dynamic surface backstepping control based on FCMAC disturbance observer

圖6 基于AFCMAC干擾觀測(cè)器的有限時(shí)間收斂backstepping 控制響應(yīng)曲線Fig.6 The time response curve of finite-time convergence backstepping control based on FCMAC disturbance observer

圖7 CMAC和AFCMAC干擾觀測(cè)器干擾估計(jì)誤差對(duì)比曲線Fig.7 The error comparison curve with CMAC and AFCMAC disturbance observer

從圖3(a)?(b)可以看出,無人機(jī)俯仰角跟蹤誤差明顯偏差.由此在控制器中對(duì)未知干擾進(jìn)行補(bǔ)償是非常必要的.

從圖4和圖6(a)?(b)及圖7對(duì)比可知:雖然控制器設(shè)計(jì)方法一致,但圖6(a)跟蹤效果明顯優(yōu)于圖4(a),并從圖7 可得采用AFCMAC方法較CMAC對(duì)干擾估計(jì)更加準(zhǔn)確,進(jìn)而說明本文所提的AFCMAC干擾估計(jì)方法具有更加估計(jì)準(zhǔn)確的特點(diǎn).從圖5和圖6(a)?(b)對(duì)比可知:雖然干擾估計(jì)方法一致,但圖6(a)的跟蹤效果明顯具有收斂速度快、跟蹤更加準(zhǔn)確的特點(diǎn),這說明本文所提的有限時(shí)間收斂backstepping控制器設(shè)計(jì)方法優(yōu)勢(shì).

6 結(jié)論

本文研究了一類不確定仿射非線性系統(tǒng)的跟蹤控制問題,提出一種基于非對(duì)稱模糊小腦模型干擾觀測(cè)器的有限時(shí)間收斂backstepping控制策略.

為準(zhǔn)確及快速地估計(jì)系統(tǒng)未知復(fù)合干擾,將非對(duì)稱高斯函數(shù)和模糊理論相結(jié)合,給出非對(duì)稱模糊CMAC結(jié)構(gòu)以增強(qiáng)小腦模型泛化和學(xué)習(xí)能力,并設(shè)計(jì)干擾觀測(cè)器實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)未知復(fù)合干擾在線準(zhǔn)確逼近;基于非對(duì)稱模糊CMAC干擾觀測(cè)器給出有限時(shí)間收斂backstepping 控制器設(shè)計(jì)步驟,并利用Lyapunov穩(wěn)定理論證明閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性,其中采用有限時(shí)間收斂非線性微分器獲取虛擬控制量濾波和微分信息以避免backstepping設(shè)計(jì)中的微分“膨脹問題”,設(shè)計(jì)輔助系統(tǒng)修正因微分器帶來的誤差對(duì)系統(tǒng)跟蹤性能影響,引入障礙型函數(shù)的自適應(yīng)滑模魯棒項(xiàng)抑制復(fù)合干擾估計(jì)偏差對(duì)跟蹤誤差的影響;將所提控制策略應(yīng)用于無人機(jī)飛行控制仿真實(shí)驗(yàn),結(jié)果表明所提方法具有收斂速度快,跟蹤精度高等特點(diǎn),并對(duì)強(qiáng)烈的外部干擾和系統(tǒng)不確定性也有良好的魯棒性.

本文所提出的非對(duì)稱模糊小腦模型干擾觀測(cè)器和有限時(shí)間收斂控制器存在著大量調(diào)整參數(shù)問題,如何減少和優(yōu)化調(diào)整參數(shù)數(shù)量將是下一步需要深入探討的問題.