王志晟,張雪敏,梅生偉

(清華大學(xué)電機(jī)工程與應(yīng)用電子技術(shù)系,北京 100084)

1 引言

倒立擺是一種典型的非線性系統(tǒng),廣泛應(yīng)用于控制理論的教學(xué)、實(shí)驗(yàn)和研究.倒立擺模型也可以應(yīng)用于其他工程控制領(lǐng)域,如機(jī)器人控制和模式生成等[1-3].因而,研究倒立擺對(duì)于控制理論的發(fā)展和實(shí)踐均有重要意義.

倒立擺研究可以分為起擺控制和穩(wěn)態(tài)控制兩部分.起擺控制即為將擺桿從自然下垂位置啟動(dòng)到垂直倒立位置附近.常用的起擺控制有能量控制[4-5]、遺傳算法控制[6-7]、以及事件驅(qū)動(dòng)的控制[8-9]等,也可以將擺動(dòng)控制和滑模預(yù)測(cè)變結(jié)構(gòu)控制結(jié)合[10].含有起擺策略的研究一般按照倒立擺與倒立垂直位置的夾角?劃分不同控制方法的作用域.如|?|>0.2時(shí)能量控制或事件驅(qū)動(dòng)控制等起擺控制生效,而|?|≤0.2時(shí)線性最優(yōu)控制(linear quadratic regulator,LQR),H∞等穩(wěn)態(tài)控制生效,即分段使用不同控制策略.

針對(duì)穩(wěn)態(tài)控制部分,整體可以劃分為線性控制和非線性控制兩大類.穩(wěn)態(tài)控制即為將倒立擺維持在垂直倒立靜不穩(wěn)定點(diǎn)的控制,如PID控制、線性最優(yōu)控制(LQR)[11-12]、線性魯棒控制(H∞)[13]以及模糊控制[14-16]等.研究文獻(xiàn)[14]建立了倒立擺的二維模糊控制器,其利用虛擬角方法耦合兩級(jí)級(jí)聯(lián)的模糊控制器,實(shí)現(xiàn)了倒立擺的穩(wěn)定控制.LQR控制擁有最優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)的能力,可以用于高階倒立擺的控制,如張永立等進(jìn)行的三級(jí)倒立擺LQR控制研究[17],其使用了動(dòng)態(tài)增益的線性二次控制方法,并將三級(jí)擺的起擺問題整定為兩點(diǎn)邊值問題.H∞無窮控制能夠抑制輸入擾動(dòng)或參數(shù)擾動(dòng)的影響,從而實(shí)現(xiàn)對(duì)系統(tǒng)參數(shù)和輸入擾動(dòng)的魯棒性[13,18].研究文獻(xiàn)[18]使用Riccati方程設(shè)計(jì)線性魯棒控制器,使得控制器對(duì)于倒立擺系統(tǒng)參數(shù)誤差的容忍度大幅上升.但線性控制器僅在倒立平衡點(diǎn)附近小范圍內(nèi)生效,這是由近似線性化的特征決定的.因而,也出現(xiàn)了基于強(qiáng)化學(xué)習(xí)、模糊控制以及事件驅(qū)動(dòng)控制等非線性控制[19],這些非線性控制擁有更大的作用域.但基于強(qiáng)化學(xué)習(xí)或模糊控制的方案控制效果更多為經(jīng)驗(yàn)性結(jié)論,難以數(shù)學(xué)論證.

本文提出了狀態(tài)依賴Riccati方程(state-dependent Riccati equation,SDRE)和極點(diǎn)配置方法相結(jié)合的非線性控制方法.相對(duì)于已有倒立擺控制方法的優(yōu)勢(shì)在于3點(diǎn):1)本文提出的基于SDRE的控制方法實(shí)現(xiàn)了倒立擺起擺階段和穩(wěn)態(tài)階段的非線性一致性控制,期間無需進(jìn)行控制方法切換,因而可控性更強(qiáng);2)由于其充分考慮了系統(tǒng)非線性,其有效控制區(qū)域不僅限于垂直倒立點(diǎn)附近,穩(wěn)定域更大;3)使用模糊控制或神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)也可以實(shí)現(xiàn)起擺和穩(wěn)態(tài)一致性控制的需求,相比這種方法而言,SDRE在具備上一條優(yōu)點(diǎn)的同時(shí),還能保證控制計(jì)算的精確性,并簡(jiǎn)化控制器設(shè)計(jì)流程.在遠(yuǎn)離平衡點(diǎn)時(shí),SDRE呈現(xiàn)非線性控制特性,而在平衡點(diǎn)附近,SDRE方法可以趨近與某種線性控制器.這意味著本文仍然可以使用完善的線性控制器設(shè)計(jì)理論,如線性最優(yōu)控制理論和線性魯棒控制理論等.隨后,本文討論了SDRE一致性起擺控制的可行性及仿真驗(yàn)證.分析了一致性起擺對(duì)于實(shí)驗(yàn)設(shè)備的硬件要求.最后,本文根據(jù)倒立擺的物理特性,證明了該系統(tǒng)自身對(duì)傳感器的零點(diǎn)漂移具有一定魯棒性.角度傳感器誤差一般不會(huì)破壞控制穩(wěn)定.

2 倒立擺模型[20]

倒立擺(直線一級(jí)倒立擺,如圖1所示)由直線運(yùn)動(dòng)模塊和一級(jí)擺組成,是最常見的倒立擺之一.根據(jù)牛頓力學(xué)寫出系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程:

其中:m為擺桿質(zhì)量,M為小車質(zhì)量,b為摩擦系數(shù),l為擺桿轉(zhuǎn)動(dòng)軸心到桿質(zhì)心的長(zhǎng)度,J為擺桿以鉸鏈為轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量,對(duì)于質(zhì)量均勻分布的擺桿的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J=.x為小車的位移,F為加在小車上的力,θ為擺桿與垂直向上位置的夾角,?為擺桿與豎直向下方向的夾角.將小車的加速度定義為新的控制輸入

方程(1)-(2)可以進(jìn)一步化為仿射非線性方程

其中:

圖1 倒立擺系統(tǒng)簡(jiǎn)化模型Fig.1 Simplified model of inverted pendulum system

3 倒立擺的SDRE控制

3.1 SDRE非線性控制

SDRE技術(shù)在20世紀(jì)90年代逐步發(fā)展完善,是一種較為通用的系統(tǒng)性設(shè)計(jì)非線性控制器的方法.顧名思義,該方法在狀態(tài)方程中引入了可變量,延續(xù)了LQR控制中的Riccati解法.SDRE方法常用于飛行器控制,如導(dǎo)航、自動(dòng)駕駛等等[21].

SDRE方法將非線性系統(tǒng)由標(biāo)準(zhǔn)型轉(zhuǎn)化為含參數(shù)的狀態(tài)方程形式,即

在式(5)表示下,系統(tǒng)的能控性和能觀性做如下定義:1)若非線性系統(tǒng)中的A(x)在x ∈?中的每一點(diǎn)都可控,則稱A(x),B(x)是非線性系統(tǒng)的一種能控的參數(shù)化表示;2)若非線性系統(tǒng)中的A(x),C(x)在x ∈?中的每一點(diǎn)能觀,則稱A(x)是非線性系統(tǒng)的一種能觀的參數(shù)化表示[21].在驗(yàn)證了系統(tǒng)能控性和能觀性后,利用SDRE設(shè)計(jì)非線性控制器有如下流程:1)將非線性系統(tǒng)化為含參數(shù)狀態(tài)方程形式;2)求解含參數(shù)的Riccati方程(SDRE)

3)建立非線性控制律:

3.2 建立倒立擺的含參數(shù)狀態(tài)方程

根據(jù)式(3),并考慮量均勻分布的擺桿的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J,倒立擺系統(tǒng)可化為式(5)所示的含參數(shù)狀態(tài)方程

若使用LQR或H∞等線性控制方法,倒立擺系統(tǒng)在垂直倒立位置線性化,其忽略了三角函數(shù)的非線性.這是也是在大擺角下線性控制失效的原因.在SDRE方法中,系統(tǒng)將不再做三角函數(shù)的小角度近似.驗(yàn)證系統(tǒng)在不同狀態(tài)的能控性和能觀性.給出能觀性判據(jù)

計(jì)算能控性判據(jù):

SDRE最為直觀實(shí)現(xiàn)方法是實(shí)時(shí)計(jì)算Riccati方程.然而,在每個(gè)控制周期內(nèi)重新數(shù)值計(jì)算Riccati方程消耗時(shí)間較長(zhǎng),這一延遲對(duì)倒立擺控制性能將產(chǎn)生不利影響.由于系統(tǒng)特征值是決定系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性的最重要因素,因而本文使用非線性反饋配置系統(tǒng)特征值.要達(dá)到配置特征值的目的,只需要令兩個(gè)系統(tǒng)的特征多項(xiàng)式相同即可,4階系統(tǒng)的特征方程中有4個(gè)系數(shù),可以實(shí)現(xiàn)匹配.

倒立擺系統(tǒng)含參數(shù)模型引入狀態(tài)反饋的閉環(huán)控制u=[k11k12k13k14]Tx之后的系統(tǒng)特征多項(xiàng)式為

記期望閉環(huán)系統(tǒng)為

其系統(tǒng)的特征多項(xiàng)式為

得到一組方程

解得

經(jīng)過如此反饋后,系統(tǒng)的特征值是一個(gè)常數(shù),本文可以將系統(tǒng)的極點(diǎn)配置與某個(gè)期望系統(tǒng)相同.這也是SDRE區(qū)別于其他非線性控制的特點(diǎn).在平衡點(diǎn)附近,系統(tǒng)特性可以趨近為某個(gè)期望系統(tǒng).這意味著本文可以將SDRE在平衡點(diǎn)附近趨近某個(gè)線性控制.而在控制系統(tǒng)的研究中,線性控制的設(shè)計(jì)分析方法以及應(yīng)用經(jīng)驗(yàn)遠(yuǎn)豐富于非線性控制.本章使用SDRE趨近于線性二次最優(yōu)控制(LQR)由系統(tǒng)方程

確定控制向量的矩陣

使性能指標(biāo)達(dá)到最小值:

根據(jù)性能指標(biāo)確定反應(yīng)控制指標(biāo)對(duì)于誤差和控制損耗的敏感程度.求解系統(tǒng)的Riccati方程:

得到正定的P矩陣,則反饋輸出設(shè)計(jì)為

由此,可以得到線性系統(tǒng)(12)對(duì)應(yīng)的特征多項(xiàng)式系數(shù)ξ0,ξ1,ξ2,ξ3,將其代入式(15)得到采用極點(diǎn)配置的SDRE控制參數(shù)為

當(dāng)系統(tǒng)狀態(tài)趨向于平衡點(diǎn)時(shí),SDRE的反饋系數(shù)趨向于式(20),即在平衡點(diǎn)附近,SDRE控制的特性與LQR控制幾乎相同.

4 算例測(cè)試

本文硬件實(shí)驗(yàn)使用的是由固高科技(深圳)有限公司提供的直線倒立擺實(shí)驗(yàn)裝置.它由驅(qū)動(dòng)電機(jī)、導(dǎo)軌、角度傳感器、小車和擺桿等組件構(gòu)成,如圖2所示.本文的倒立擺實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)參數(shù)如表1所示[20].

LQR采用的權(quán)矩陣如下:

計(jì)算得到狀態(tài)反饋參數(shù)為

采用極點(diǎn)配置的SDRE控制參數(shù)如下:

實(shí)時(shí)計(jì)算Riccati方程的SDRE控制效果如圖3所示.

圖2 倒立擺裝置圖[20]Fig.2 The tested inverted pendulum system[20]

表1 測(cè)試系統(tǒng)參數(shù)Table 1 Detailed parameter of test system

實(shí)時(shí)計(jì)算Riccati方程并給出反饋矩陣這種方式時(shí)系統(tǒng)不會(huì)失穩(wěn),但出現(xiàn)了明顯震蕩.在倒立擺實(shí)驗(yàn)中一般采用小于0.005 s的控制步長(zhǎng),但進(jìn)行一次Riccati方程的求解需要約0.02 s,因而控制出現(xiàn)震蕩.這與實(shí)踐中很少使用實(shí)時(shí)求解Riccati方程的事實(shí)是吻合的.

圖3 SDRE控制(實(shí)時(shí)計(jì)算Riccati方程)Fig.3 SDRE Control(solve Riccati equation online)

采用配置極點(diǎn)的SDRE控制方法的實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖4所示.圖4表明,在無擾動(dòng)、單位正弦輸入擾動(dòng)和外力撞擊擾動(dòng)3種場(chǎng)景下,倒立擺均能穩(wěn)定.這說明采用極點(diǎn)配置的SDRE控制有較好的穩(wěn)定性和抗干擾能力.

圖4 SDRE實(shí)驗(yàn)測(cè)試Fig.4 Test of SDRE control

下面采用滑模變結(jié)構(gòu)控制器作為對(duì)照(如圖5),比較控制性能.作為一種非線性控制,滑模變結(jié)構(gòu)控制器能夠?qū)崿F(xiàn)將倒立擺控制到垂直倒立位置,但其控制過程出現(xiàn)了明顯的毛刺(這一組實(shí)驗(yàn)中沒有加入任何擾動(dòng)).

圖5 滑模變結(jié)構(gòu)控制實(shí)驗(yàn)測(cè)試Fig.5 Test of the sliding mode control

表2給出了LQR控制、基于極點(diǎn)配置的SDRE和滑模變結(jié)構(gòu)控制下倒立擺系統(tǒng)的二次性能指標(biāo).如表2所示,可見在穩(wěn)定點(diǎn)附近,基于極點(diǎn)配置的SDRE和LQR的目標(biāo)函數(shù)值相近,這與SDRE在平衡點(diǎn)趨近于LQR控制的事實(shí)相符.而滑模變結(jié)構(gòu)控制時(shí)系統(tǒng)波動(dòng)較大,指標(biāo)明顯大于前兩者.

表2 二次性能指標(biāo)Table 2 Value of performance index

如表2所示,可見在穩(wěn)定點(diǎn)附近,基于極點(diǎn)配置的SDRE和LQR的目標(biāo)函數(shù)值相近,這與SDRE在平衡點(diǎn)趨近于LQR控制的事實(shí)相符.而滑模變結(jié)構(gòu)控制時(shí)系統(tǒng)波動(dòng)較大,指標(biāo)明顯大于前兩者.

為了對(duì)比不同控制的穩(wěn)定域,本文使用仿真工具測(cè)試不同角度初始值?init下SDRE和LQR控制能否完成控制,即將擺桿由初始角度控制到垂直倒立位置.為標(biāo)記方便,在此算例中使用角度制而不是弧度制.取xinit,0,令?init的取值范圍為?180?～180?,并在控制成功與控制失敗的分界點(diǎn)附近增加數(shù)據(jù)點(diǎn).如圖6所示,SDRE控制只有在?init=±90?附近很小區(qū)間內(nèi)控制失敗,在其他位置均可以成功擺桿控制到垂直倒立位置.對(duì)于LQR控制而言,?init在?66.8?～66.8?范圍內(nèi),可以將擺桿控制到垂直倒立位置,而其他位置均控制失敗.倒立擺面臨同雙擺相似的問題,如欠驅(qū)動(dòng)、輸入飽和及大擺角下線性控制失效等,特別是在90?和?90?附近區(qū)域.研究文獻(xiàn)[22]中使用的非線性準(zhǔn)PID控制方法對(duì)于提升倒立擺控制性能有所幫助,可進(jìn)一步縮小控制死區(qū).

5 討論:SDRE一致性起擺對(duì)設(shè)備的要求

上一節(jié)圖6(a)中的仿真結(jié)果表明,本文所提方法理論上可以實(shí)現(xiàn)倒立擺一致性起擺控制,即直接使用主控制起擺.

圖6 SDRE控制器和LQR控制器的穩(wěn)定域Fig.6 Stability region of SDRE and LQR controllers

在Simulink中仿真驗(yàn)證一致性起擺、穩(wěn)態(tài)控制.仿真中擺桿初始狀態(tài)為

基于極點(diǎn)配置的SDRE控制器作用下的仿真結(jié)果如圖7所示.擺桿在SDRE控制下迅速由自然下垂起擺,并很快穩(wěn)定于倒立位置.在此過程中沒有進(jìn)行控制切換.

圖7 SDRE一致性起擺、穩(wěn)態(tài)控制Fig.7 Consistent swing-up and stabilization control

若希望該控制可行,需要考慮更多實(shí)際限制.從以上分析可以看出,上述控制的起擺過程非常激烈,而不是類似能量控制多次將擺桿擺到平衡位置附近.假設(shè)在初始上擺時(shí)小車一直處于最大加速度am狀態(tài),同樣在小車所在的非慣性系中考慮該問題.在這個(gè)非慣性系中,擺桿的運(yùn)動(dòng)是一個(gè)初始位置為π,平衡位置為π?的“單擺”運(yùn)動(dòng),其能擺到的最高位置是π?.在上述控制中,必須令擺桿擺過水平位置.也即π?,am>g.即使以最樂觀的估計(jì),希望單擺一次性到達(dá)平衡位置所需要系統(tǒng)加速度也要滿足am>g.實(shí)際應(yīng)用時(shí)往往需要達(dá)到am>5g同樣做近似分析估算所需要的導(dǎo)軌長(zhǎng)度.首先將擺桿擺動(dòng)周期近似為小幅單擺運(yùn)動(dòng)(擺動(dòng)角度已經(jīng)很大,這個(gè)近似存在誤差),其半周期為

這段時(shí)間內(nèi)小車的位移是

當(dāng)a=g時(shí),計(jì)算得到x ≈1.16l.而這還沒有計(jì)算越過水平線后小車做減速運(yùn)動(dòng)時(shí)需要的額外距離,也沒有計(jì)算控制超調(diào)所需要的裕量.由此可看出,使用SDRE進(jìn)行一致性起擺、穩(wěn)態(tài)控制有效幾乎覆蓋整個(gè)圓周,不需要切換控制,且起擺速度快,超調(diào)小.但其對(duì)電機(jī)轉(zhuǎn)矩輸出要求非常高,對(duì)于大型倒立擺實(shí)現(xiàn)難度較大,但在擺桿長(zhǎng)度較小、質(zhì)量較低的場(chǎng)景下仍然可能實(shí)現(xiàn).

6 討論:倒立擺系統(tǒng)對(duì)傳感器誤差的魯棒性及倒立啟動(dòng)問題

倒立擺系統(tǒng)為了保證角度傳感器的數(shù)值正確,往往使用重力自準(zhǔn)直法校準(zhǔn)角度傳感器—將擺桿在重力下自然下垂?fàn)顟B(tài)下的角度和位移標(biāo)記為零點(diǎn).倒立擺自然下垂啟動(dòng),可以由重力保證角度傳感器的零點(diǎn)正確,但若倒立啟動(dòng),人眼可能無法保證倒立擺的絕對(duì)倒立,即角度傳感器歸零不準(zhǔn).下面將討論角度或位移傳感器歸零不準(zhǔn)帶來的影響.首先本文給出兩個(gè)定理及證明.

定理1不存在某種控制,使得倒立擺在?0≠0點(diǎn)穩(wěn)定或以遠(yuǎn)小于?0的振幅等幅震蕩.

證假設(shè)該控制可能成立,即擺桿在?0范圍內(nèi)小幅震蕩,?1

由于?1

由于i,j是任意選取的,則當(dāng)ti有限而tj →∞時(shí),

即小車速度無界,因此不存在此控制. 證畢.

定理2若角度或位移傳感器零點(diǎn)小幅漂移,擺桿平衡角度?0=0不改變,但會(huì)影響小車位移平衡點(diǎn).

證考慮平衡點(diǎn)附近情形,因而可以使用線性化的狀態(tài)方程分析該問題.記某種能夠使倒立擺穩(wěn)定的控制(如LQR控制)為

若位移傳感器和角度傳感器分別存在零點(diǎn)漂移xf,?f,即xreal=xob?xf,?real=?ob??f,其中下標(biāo)real表示真實(shí)值,下標(biāo)ob表示觀測(cè)值.則有

求解新系統(tǒng)的平衡點(diǎn),即得到4個(gè)方程:

上式表明角度和位置傳感器誤差將不會(huì)改變倒立擺擺角的平衡點(diǎn),但會(huì)造成小車位移平衡點(diǎn)的變化.

證畢.

一般情況下,倒立擺系統(tǒng)中,小車位移平衡點(diǎn)不是研究所關(guān)注的量.但若整定參數(shù)中k3?k1,則會(huì)出現(xiàn)位移平衡點(diǎn)偏離過大而造成的小車撞邊問題,進(jìn)而造成控制失敗.

6.1 角度傳感器漂移問題

在實(shí)測(cè)系統(tǒng)中,傳感器易發(fā)生零點(diǎn)漂移,倒立擺系統(tǒng)涉及位移傳感器和角度傳感器.而角度傳感器的零點(diǎn)漂移在SDRE實(shí)驗(yàn)中可以觀察到,即觀測(cè)到的平衡角度,即?0≠0.不難理解,位移傳感器的小幅零點(diǎn)漂移從直觀上即可判斷不會(huì)對(duì)實(shí)驗(yàn)產(chǎn)生影響:僅僅是平衡位置偏移而已.但角度傳感器的誤差則會(huì)復(fù)雜很多.由定理1,不存在某種控制,使得倒立擺在?0≠0點(diǎn)穩(wěn)定或以遠(yuǎn)小于?0的振幅等幅震蕩.

事實(shí)上,傳感器誤差在實(shí)驗(yàn)中已經(jīng)有所體現(xiàn),在實(shí)驗(yàn)測(cè)試中,傳感器量測(cè)到的小車位移存在明顯偏差.在某次實(shí)驗(yàn)中約為9 cm.這不可能是由傳感器誤差導(dǎo)致的,首先位移傳感器零點(diǎn)漂移不可能有9 cm,且位移傳感器漂移后會(huì)導(dǎo)致小車的實(shí)際平衡點(diǎn)偏離,但傳感器記錄的平衡點(diǎn)應(yīng)當(dāng)仍然為0.不同實(shí)驗(yàn)中傳感器顯示的小車平衡位置偏離并不相同.且傳感器記錄的平衡角度也不為零.在某次實(shí)驗(yàn)中,倒立擺基本平衡后得某段時(shí)間取1000個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)做均值,計(jì)算得到

但這1000個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)得到的?ob的標(biāo)準(zhǔn)差

即?ob確實(shí)不能由隨機(jī)誤差或震蕩解釋的顯著偏差.若?real=?ob,則數(shù)據(jù)與定理1矛盾,因此傳感器必然存在誤差.將式(34)稍作變形:

由實(shí)驗(yàn)所用參數(shù)可得

將實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)代入

可見,實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)與理論符合良好.有理由推定實(shí)驗(yàn)設(shè)備的角度傳感器在平衡點(diǎn)附近有約0.04 rad的誤差.

6.2 倒立啟動(dòng)問題

倒立啟動(dòng)最為擔(dān)心的是無法利用自準(zhǔn)直進(jìn)而角度傳感器必然發(fā)生零點(diǎn)漂移的問題.但由上小節(jié)所述,倒立擺系統(tǒng)對(duì)于角度傳感器和位移傳感器的小幅誤差有一定的魯棒性.且證明實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)中早已存在角度傳感器誤差(約為0.04 rad).但在實(shí)驗(yàn)中,系統(tǒng)并未出現(xiàn)小車勻加速運(yùn)動(dòng)最終越限或大幅度的震蕩的現(xiàn)象,而是維持了穩(wěn)定.角度傳感器的偏差將導(dǎo)致小車平衡點(diǎn)位置的變化,而這個(gè)變化與反饋矩陣系數(shù)相關(guān),系統(tǒng)在這個(gè)位置仍能穩(wěn)定.即倒立擺的重力自準(zhǔn)直矯正不是必須的,倒立擺也可以采用倒立形態(tài)啟動(dòng).

7 結(jié)論

直線倒立擺作為一種典型的非線性系統(tǒng),是一種經(jīng)典的控制研究對(duì)象.本文使用了狀態(tài)依賴的Riccati方程(SDRE)方法結(jié)合極點(diǎn)配置的思路,進(jìn)行倒立擺控制的研究.該方法克服了常見LQR、控制等控制域不足的問題.同時(shí)具備以下優(yōu)點(diǎn):

1)實(shí)現(xiàn)了倒立擺起擺階段和穩(wěn)態(tài)階段的一致性控制,期間無需進(jìn)行控制方法切換,可控性更強(qiáng);

2)現(xiàn)有兩段式倒立擺起擺方法往往使用模糊控制或者能量控制進(jìn)行起擺操作,其起擺具有動(dòng)作平滑的優(yōu)勢(shì),但速度慢,達(dá)到穩(wěn)態(tài)需要經(jīng)歷多個(gè)擺動(dòng)周期.本文提出的SDRE起擺方法在短擺桿,強(qiáng)動(dòng)力的條件下能夠在幾乎所有初始角度實(shí)現(xiàn)單周期起擺,以極快的速度達(dá)到穩(wěn)態(tài);

3)與其他可以實(shí)現(xiàn)一致性起擺的控制方法相比,SDRE在具備上一條優(yōu)點(diǎn)的同時(shí),還能保證控制計(jì)算的精確性,并簡(jiǎn)化控制器設(shè)計(jì)流程.在遠(yuǎn)離平衡點(diǎn)時(shí),SDRE呈現(xiàn)非線性控制特性,而在穩(wěn)態(tài)附近,SDRE方法可以趨近與某種線性控制器.這意味著本文仍然可以使用完善的線性控制器設(shè)計(jì)理論,如線性最優(yōu)控制理論和線性魯棒控制理論等.

最后,本文根據(jù)倒立擺的物理特性,證明了該系統(tǒng)對(duì)角度和位置傳感器的零點(diǎn)漂移具有一定魯棒性.