孫浩杰 鄒 濤 張 鑫惠存萬

(1.中國科學(xué)院沈陽自動化研究所;中國科學(xué)院網(wǎng)絡(luò)化控制系統(tǒng)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,遼寧沈陽 110016;2.中國科學(xué)院機(jī)器人與智能制造創(chuàng)新研究院,遼寧沈陽 110016;3.中國科學(xué)院大學(xué),北京 100049;4.撫順石化公司烯烴廠,遼寧撫順 113009)

1 引言

模型預(yù)測控制(model predictive control,MPC)是一類基于模型的計(jì)算機(jī)控制算法[1-2],早期是針對線性或準(zhǔn)線性控制系統(tǒng)提出,并在流程工業(yè)中得到廣泛地應(yīng)用.實(shí)際工業(yè)過程通常具有不同程度的非線性,當(dāng)控制系統(tǒng)存在強(qiáng)非線性特征時(shí),常規(guī)的線性模型預(yù)測控制算法無法準(zhǔn)確對系統(tǒng)的輸出進(jìn)行預(yù)測,進(jìn)而控制失效.近年來,非線性模型預(yù)測控制算法的研究成為該領(lǐng)域內(nèi)的一個(gè)研究熱點(diǎn).

Hammerstein 模型、Wiener 模型及Hammerstein-Wiener模型(H-W模型)是一類常見的典型塊結(jié)構(gòu)非線性模型,它們均由靜態(tài)的非線性模塊和動態(tài)的線性模塊構(gòu)成,只是模塊間串聯(lián)順序不同,這類模型能夠描述一大類非線性過程[3-4],針對Hammerstein模型和Wiener模型的控制策略已有一系列研究成果[5-7].相較于Hammerstein、Wiener 模型,H-W模型的應(yīng)用更加廣泛,對其展開研究具有重要意義.在理論研究方面,文獻(xiàn)[8]基于H-W模型提出一種廣義預(yù)測控制策略,采用一種擬牛頓信賴域混沌粒子群混合優(yōu)化算法使?jié)L動優(yōu)化中算法快速收斂,但本質(zhì)上還是對非線性對象進(jìn)行滾動優(yōu)化,優(yōu)化計(jì)算復(fù)雜度較大.文獻(xiàn)[9]針對H-W模型提出一種多入多出的非線性模型預(yù)測控制算法,通過對非線性環(huán)節(jié)近似線性化處理來減少優(yōu)化計(jì)算的控制量,將模型近似線性化后存在模型失配的問題,模型失配嚴(yán)重時(shí)難以取得良好的控制效果.文獻(xiàn)[10]提出基于輸入輸出數(shù)據(jù)驅(qū)動的子空間模型辨識方法,并將辨識得到的預(yù)測因子結(jié)合到預(yù)測控制算法中得到了良好的控制效果.李研等在文獻(xiàn)[11]和文獻(xiàn)[12]中分別基于H-W模型提出一種有約束MPC算法和一種改進(jìn)非線性模型預(yù)測控制(nonlinear model predictive control,NMPC)算法.文獻(xiàn)[13]和文獻(xiàn)[14]分別針對H-W模型非線性預(yù)測控制算法的穩(wěn)定性和優(yōu)化可行性進(jìn)行了研究.在工程應(yīng)用研究方面,利用Hammerstein-Wiener模型來描述非線性過程,控制算法使用非線性模型預(yù)測控制的控制模式被成功應(yīng)用于地?zé)崮茉蠢玫臒岜每刂葡到y(tǒng)[15]、風(fēng)力發(fā)電控制系統(tǒng)[16]、燃料電池反應(yīng)控制系統(tǒng)[17]、光伏控制系統(tǒng)[18]、大型空分控制系統(tǒng)[19]等工業(yè)過程中.在這些工程應(yīng)用中,控制策略均直接利用了辨識得到的非線性模型.

非線性塊結(jié)構(gòu)系統(tǒng)模型的辨識與建立也是研究的一個(gè)重點(diǎn)問題,文獻(xiàn)[20]在Hammerstein模型中間變量不可測量的前提下,從靜態(tài)非線性環(huán)節(jié)和動態(tài)線性環(huán)節(jié)同步辨識和異步辨識兩個(gè)角度綜述了Hammerstein模型建立的相關(guān)理論和方法.文獻(xiàn)[21]提出一種兩階段辨識算法:第1階段使用可消除偏差的最小二乘算法;第2階段使用奇異值分解法,所提算法具有無偏性.文獻(xiàn)[22]針對復(fù)雜非線性系統(tǒng),提出利用極限學(xué)習(xí)機(jī)的方法建立H-W模型.文獻(xiàn)[23]針對MPC在塊結(jié)構(gòu)非線性系統(tǒng)中的應(yīng)用,提出一種基于正交基和序列樣條函數(shù)的模型辨識方法.文獻(xiàn)[24]提出一種包含可分離信號和隨機(jī)多步信號的特殊辨識信號進(jìn)行參數(shù)辨識,分別對動態(tài)線性部分和靜態(tài)非線性部分進(jìn)行辨識.雖然已有的研究也取得了不小的成果[25-26],但由于過程模型結(jié)構(gòu)復(fù)雜,辨識算法泛化能力較差,在實(shí)際的工程應(yīng)用中仍存在很多問題需要解決.

采用常規(guī)非線性預(yù)測控制算法對可用H-W模型描述的過程對象進(jìn)行控制時(shí)通常需要對一個(gè)非線性模型進(jìn)行滾動優(yōu)化,計(jì)算量大,耗時(shí)嚴(yán)重.本文利用H-W模型的結(jié)構(gòu)特性,提出一種用靜態(tài)非線性環(huán)節(jié)逆模型補(bǔ)償?shù)木€性預(yù)測控制策略,并進(jìn)一步討論了H-W模型的建立及非線性環(huán)節(jié)逆模型的獲取方法.此外作為補(bǔ)充,提出了當(dāng)實(shí)際控制系統(tǒng)存在多個(gè)靜態(tài)工作點(diǎn)時(shí)運(yùn)用本文策略的解決方法以及在多輸入多輸出控制系統(tǒng)中需要重點(diǎn)考慮的問題.最后仿真驗(yàn)證了所提方案的有效性.

2 H-W模型

H-W模型包含一個(gè)靜態(tài)的輸入非線性環(huán)節(jié)、一個(gè)動態(tài)線性環(huán)節(jié)和一個(gè)靜態(tài)輸出非線性環(huán)節(jié),如圖1所示.輸入靜態(tài)非線性環(huán)節(jié)串聯(lián)動態(tài)線性環(huán)節(jié)構(gòu)成Hammerstein模型,在動態(tài)線性環(huán)節(jié)后串聯(lián)輸出靜態(tài)非線性環(huán)節(jié)構(gòu)成Wiener模型,相比于Hammerstein模型和Wiener模型,H-W模型是更為一般的非線性模型,可以描述更廣泛的工業(yè)非線性過程.

圖1 H-W模型結(jié)構(gòu)示意圖Fig.1 Structure diagram of H-W model

圖1中:f(·),h(·)表示靜態(tài)(無記憶)非線性模塊.廣義上講,f(·),h(·)既可以是多項(xiàng)式非線性函數(shù)或指數(shù)、對數(shù)等非線性函數(shù)描述的非線性關(guān)系,也可以是利用復(fù)雜神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)描述的非線性關(guān)系.文中為簡明介紹控制策略,f(·),h(·)表示為靜態(tài)非線性函數(shù)變換關(guān)系;x(k)和v(k)表示系統(tǒng)中間變量;u(k)和y(k)分別為系統(tǒng)輸入、輸出變量;系統(tǒng)動態(tài)線性環(huán)節(jié)模型用G表示.圖1中:輸入輸出端靜態(tài)非線性關(guān)系可描述為

中間線性動態(tài)環(huán)節(jié)可描述為

其中:

其中:a1,···,an,b1,···,bm為模型系數(shù);q?1表示后移算子,

其中g(shù)i(i=1,2,···,∞)為線性動態(tài)環(huán)節(jié)的單位階躍響應(yīng)系數(shù),且有

3 基于H-W系統(tǒng)的模型預(yù)測控制策略

3.1 控制原理圖

圖2中,GP表示被控對象,其特征可用圖1所示的結(jié)構(gòu)進(jìn)行描述:一個(gè)動態(tài)線性環(huán)節(jié)G的前后分別串聯(lián)一個(gè)靜態(tài)非線性環(huán)節(jié)f和h,f?1是f的逆模型,h?1是h的逆模型.通過人為加入f?1,h?1逆模型對被控對象中非線性環(huán)節(jié)進(jìn)行補(bǔ)償,使補(bǔ)償后的對象呈現(xiàn)出線性或近似線性特征,從而可以使用線性模型預(yù)測控制策略對該類典型非線性對象實(shí)施有效控制.下面利用工業(yè)中最常用的動態(tài)矩陣控制(dynamic matrix control algorithm,DMC)算法從預(yù)測模型、滾動優(yōu)化、反饋校正3個(gè)方面對所提策略進(jìn)行闡述.

圖2 基于H-W模型的預(yù)測控制原理圖Fig.2 SCH of predictive control based on H-W model

3.2 預(yù)測模型

模型預(yù)測控制是基于模型的控制算法,利用預(yù)測模型對系統(tǒng)的未來輸出進(jìn)行預(yù)測,本文采用H-W模型中動態(tài)線性環(huán)節(jié)的模型作為控制器中的預(yù)測模型.以單入單出系統(tǒng)為例,假設(shè)預(yù)測時(shí)域?yàn)镻,控制時(shí)域?yàn)镸,模型長度為N,獲取被控系統(tǒng)動態(tài)線性環(huán)節(jié)的階躍響應(yīng)模型:

由a得到動態(tài)矩陣模型A,系統(tǒng)的輸出預(yù)測模型為

3.3 滾動優(yōu)化

滾動優(yōu)化是模型預(yù)測控制的一大特點(diǎn),與傳統(tǒng)最優(yōu)控制算法不同,其優(yōu)化指標(biāo)是在一個(gè)有限時(shí)域內(nèi),采用固定的模型長度進(jìn)行滾動式優(yōu)化,該策略始終把新的優(yōu)化建立在實(shí)際過程數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上,從而保持實(shí)際上的最優(yōu).

在滾動優(yōu)化過程中,在每一個(gè)控制周期對如下性能指標(biāo)進(jìn)行優(yōu)化:

其中:Q和R分別為輸出變量誤差加權(quán)矩陣和輸入增量控制加權(quán)矩陣;(k)為由式(7)中得到的線性環(huán)節(jié)預(yù)測輸出序列;vr(k)為模型中間線性環(huán)節(jié)的輸出參考軌跡,由系統(tǒng)輸出設(shè)定值ysp經(jīng)如下變換后得到:

其中:vsp為系統(tǒng)動態(tài)線性環(huán)節(jié)輸出設(shè)定值;ar為濾波參數(shù).進(jìn)行濾波的目的在于使系統(tǒng)線性環(huán)節(jié)的輸出vk沿著預(yù)期規(guī)定的曲線平滑的達(dá)到設(shè)定值vsp,保證控制平穩(wěn)性.

將vr(k)代入式(8),優(yōu)化計(jì)算得到控制增量?x(k):

進(jìn)一步得到線性環(huán)節(jié)的輸入控制量

在實(shí)際控制過程中由式(12)計(jì)算得到控制量xk不能直接作用于被控對象,因?yàn)樵诰€性環(huán)節(jié)前串聯(lián)有一個(gè)靜態(tài)非線性環(huán)節(jié)f(·),則需對控制器優(yōu)化計(jì)算得到的控制量xk做如下處理,得到實(shí)際控制量uk:

3.4 反饋校正

模型預(yù)測控制策略對于模型精度的要求不高,由于反饋校正環(huán)節(jié)可對系統(tǒng)預(yù)測輸出不斷進(jìn)行修正,從而可以在一定程度上克服系統(tǒng)擾動和模型失配對控制系統(tǒng)的影響.

針對可用H-W模型描述的實(shí)際被控過程,本文所提策略控制器中的預(yù)測模型為H-W模型中的線性環(huán)節(jié)部分,故預(yù)測輸出序列(k)為線性環(huán)節(jié)部分的直接輸出,然而采樣器獲取的實(shí)際輸出y(k)為靜態(tài)非線性環(huán)節(jié)h之后的輸出,為了使其能夠?qū)刂破髦械念A(yù)測輸出進(jìn)行合理校正,需作如下處理:

在k+1時(shí)刻首先得到系統(tǒng)線性環(huán)節(jié)的實(shí)際測量輸出v(k+1),k時(shí)刻對k+1 時(shí)刻的預(yù)測輸出值為(k+1|k),可得預(yù)測誤差

利用上式誤差信息可對k時(shí)刻的預(yù)測輸出序列進(jìn)行校正:

3.5 約束處理方法

以上從MPC算法的3個(gè)主要方面對所提策略基本原理進(jìn)行闡述,MPC的優(yōu)越性是能夠顯式地處理工業(yè)過程中廣泛存在的各種約束條件,故本策略實(shí)施時(shí)需對輸入輸出約束條件進(jìn)行預(yù)先處理.

以單入單出系統(tǒng)為例,被控對象輸入輸出變量約束如下所示:

其中:uL,yL,?uL分別表示控制輸入下限、被控輸出下限和控制輸入增量下限;uH,yH,?uH分別表示控制輸入上限、被控輸出上限和控制輸入增量上限.

假設(shè)式(19)形成的約束可行域?yàn)棣礜,現(xiàn)需通過輸入非線性環(huán)節(jié)變換及輸出非線性環(huán)節(jié)逆變換將以上對整個(gè)被控過程的約束域轉(zhuǎn)換為對H-W模型中間線性環(huán)節(jié)的約束域ΦL如下:

其中:xL,vL,?xL分別表示線性環(huán)節(jié)控制輸入下限、線性環(huán)節(jié)被控輸出下限和線性環(huán)節(jié)控制輸入增量下限;xH,vH,?xH分別表示線性環(huán)節(jié)控制輸入上限、線性環(huán)節(jié)被控輸出上限和線性環(huán)節(jié)控制輸入增量上限.

本文所提策略將H-W中間線性環(huán)節(jié)的模型作為模型預(yù)測控制器中的預(yù)測模型,即其控制律的優(yōu)化與計(jì)算均需在式(20)所描述變換后的約束域ΦL內(nèi)進(jìn)行.需要指出,所提算法的優(yōu)化可行性及閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性完全取決于MPC控制器中線性環(huán)節(jié)優(yōu)化問題在其約束域ΦL內(nèi)的優(yōu)化可行性及穩(wěn)定性,分析如下:

分析1如圖1中H-W模型結(jié)構(gòu)圖所示,與中間線性環(huán)節(jié)所串聯(lián)的輸入輸出非線性模塊均為靜態(tài)非線性關(guān)系,即約束域ΦN與ΦL之間可通過靜態(tài)非線性函數(shù)進(jìn)行映射:

其中:ΨN表示H-W模型輸入輸出非線性函數(shù);ΨL表示H-W模型中間線性環(huán)節(jié)的線性函數(shù),且存在關(guān)系ΨN=f(·)ΨLh(·).

在以上的約束處理過程中,利用到非線性模塊的逆模型h?1(·),關(guān)于逆模型的獲取將在下一小節(jié)中進(jìn)行討論.

保證系統(tǒng)穩(wěn)定性可通過增加終端約束或輸出狀態(tài)反饋等方法來實(shí)現(xiàn).線性環(huán)節(jié)的輸入輸出有界,則通過靜態(tài)有界非線性函數(shù)變換之后仍然有界,即線性環(huán)節(jié)控制的穩(wěn)定性可保證閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性.當(dāng)存在穩(wěn)態(tài)優(yōu)化不可行時(shí),可采用引入松弛變量進(jìn)行軟約束放松或優(yōu)先級設(shè)定等策略獲取可行解.可行性及穩(wěn)定性的分析不是本文研究的重點(diǎn),再此不作詳細(xì)討論,具體可參見丁寶蒼[14]、李妍[11-12]等論文的研究.

3.6 算法具體實(shí)施步驟

基于H-W模型的線性模型預(yù)測控制算法實(shí)施步驟具體如下(從k時(shí)刻起):

1)算法初始化:建立模型,分別得到動態(tài)線性模型和靜態(tài)非線性模型,并得到其對應(yīng)逆模型f?1(·),h?1(·),控制器參數(shù)初始化;

2)將被控過程輸入輸出約束按照式(20)進(jìn)行變換,形成MPC控制器中線性控制優(yōu)化問題的約束域;將系統(tǒng)輸出設(shè)定值ysp(k)經(jīng)式(9)變換后得到線性環(huán)節(jié)的輸出設(shè)定值vsp(k),并經(jīng)過式(10)濾波處理后得到輸出參考軌跡vr(k+i);

3)讀入k時(shí)刻系統(tǒng)輸出值y(k),經(jīng)式(14)變換得到線性環(huán)節(jié)的實(shí)際輸出v(k),通過式(15)計(jì)算得到k時(shí)刻預(yù)測誤差e(k);

4)用k時(shí)刻的預(yù)測誤差e(k)對k時(shí)刻的預(yù)測輸出序列進(jìn)行修正,位移后得到k+1時(shí)刻的初始輸出預(yù)測序列

6)由式(13)求得應(yīng)施加到實(shí)際對象上的控制量u(k+1),并執(zhí)行;

7)令k=k+1,轉(zhuǎn)3);

可以看出,第1)步中建立H-W模型以及逆模型f(·),h(·)的獲取是所提控制策略得以實(shí)施的重要前提,下面將對模型的建立和逆模型的獲取方法進(jìn)行簡述.

4 H-W模型建立及逆模型獲取

實(shí)際工業(yè)控制中,倘若生產(chǎn)過程的機(jī)理明確,容易得到H-W模型輸入、輸出靜態(tài)非線性環(huán)節(jié)的確切函數(shù)關(guān)系時(shí),可以通過數(shù)學(xué)方法方便的得到其對應(yīng)環(huán)節(jié)的逆模型,利用本文提出的策略進(jìn)行實(shí)施控制.大多數(shù)情況下實(shí)際過程較為復(fù)雜,很難通過理論推導(dǎo)進(jìn)行機(jī)理建模,通過實(shí)時(shí)采集各生產(chǎn)點(diǎn)數(shù)據(jù),利用實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)辨識建模是通常采取的方法.

4.1 中間變量可測時(shí)的建模

在中間變量可測的情況下,分別對各中間變量實(shí)時(shí)數(shù)據(jù)進(jìn)行測取分析,辨識出各環(huán)節(jié)子模型,下面以工程中應(yīng)用最廣泛的最小二乘辨識法為例進(jìn)行介紹.

1)靜態(tài)非線性部分模型的辨識.

首先在過程各個(gè)可能的工作點(diǎn)上,通過實(shí)驗(yàn)測取靜態(tài)非線性環(huán)節(jié)輸入輸出(穩(wěn)態(tài))數(shù)據(jù).然后將得到的輸入u=[u(1)u(2)··· u(N)]與輸出x=[x(1)x(2)··· x(N)]之間的靜態(tài)關(guān)系用近似的函數(shù)關(guān)系進(jìn)行擬合x=f(u),最小二乘線性擬合的基本思路如下:

第1步選定一組函數(shù)r1(u),r2(u),···,rm(u),m

第2步通過最小化如下性能指標(biāo)J,確定參數(shù)α1,α2,···αm,即使N個(gè)點(diǎn)(ui,xi)與曲線x=f(u)的距離δi的平方和最小:

通過上述方法或借助MATLAB使用非線性辨識的方法得到靜態(tài)非線性函數(shù)變換關(guān)系f(·),同樣的方法可以得到h(·).

2)動態(tài)線性部分模型的辨識.

將H-W塊結(jié)構(gòu)模型的中間線性環(huán)節(jié)從圖1中分離出來如圖3所示,其中:輸入x(k)和輸出v(k)是可測量的,w(k)是測量噪聲;要獲得其線性環(huán)節(jié)的動態(tài)過程模型G(z),需要充分的輸入激勵(lì)信號,工程中通常采用M序列作為輸入激勵(lì)信號.

圖3 H-W模型中間線性環(huán)節(jié)Fig.3 The linear segment of H-W model

首先獲取中間線性環(huán)節(jié)的輸入輸出數(shù)據(jù)x(k)和v(k),假設(shè)被辨識模型G(z)為

考慮系統(tǒng)測量噪聲,相應(yīng)的差分方程可描述如下:

定義

假設(shè)數(shù)據(jù)樣本量為N,即k=1,2,···,N,則上式可改寫為矩陣形式如下:

最小二乘法的思想就是尋找一個(gè)θ的估計(jì)值使得各次測量的vi(i=1,···,N)與由估計(jì)值所確定的測量估計(jì)之差的平方和最小,即

通過以上方法,利用測取到的輸入輸出數(shù)據(jù)可獲得中間動態(tài)線性模型G(z),當(dāng)然也可以使用經(jīng)典的時(shí)域法和頻域法進(jìn)行傳遞函數(shù)辨識,或利用MATLAB中的模型辨識工具箱獲得目標(biāo)模型G(z),此處不再贅述.

3)靜態(tài)非線性環(huán)節(jié)逆模型的獲取.

當(dāng)靜態(tài)非線性環(huán)節(jié)辨識得到的靜態(tài)模型f(·),h(·)具有輸入輸出一一對應(yīng)映射關(guān)系時(shí),可通過數(shù)學(xué)變換直接得到該環(huán)節(jié)的逆模型f?1(·),h?1(·);通常在實(shí)際中所獲取的非線性靜態(tài)模型f(·)及h(·)不滿足一一映射關(guān)系,此時(shí)可通過測取到的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)u=[u(1)u(2)··· u(N)]和x=[x(1)x(2)··· x(N)]反向擬合辨識得到關(guān)系u=f′(x),f′(·)即為f?1(·),驗(yàn)證辨識所得的靜態(tài)非線性模型是否滿足關(guān)系:f?1(f(u))=u(或近似等于u),根據(jù)工程經(jīng)驗(yàn)設(shè)定相對誤差δ=×100%≤5%可接受.

4.2 中間變量不可測時(shí)的建模

過程中間變量無法通過測量獲得時(shí),需要根據(jù)實(shí)際生產(chǎn)過程特點(diǎn),憑借工程師豐富的現(xiàn)場經(jīng)驗(yàn)對H-W模型的非線性輸入和輸出端靜態(tài)關(guān)系模型進(jìn)行假設(shè).例如化工工程中某化學(xué)反應(yīng)過程較為復(fù)雜,根據(jù)工程經(jīng)驗(yàn)可知,溫度對反應(yīng)速率的影響為反應(yīng)溫度升高時(shí)反應(yīng)速率呈指數(shù)增長趨勢.故可將該過程定義為一個(gè)指數(shù)函數(shù)形式的靜態(tài)非線性模型,之后通過實(shí)驗(yàn)法獲得系統(tǒng)總的輸入輸出數(shù)據(jù),訓(xùn)練擬合獲得模型各參數(shù)的值,并用實(shí)際數(shù)據(jù)檢驗(yàn)所得模型的準(zhǔn)確性.得到確定的輸入輸出靜態(tài)非線性函數(shù)關(guān)系后,通過數(shù)學(xué)方法,變換得到相應(yīng)非線性環(huán)節(jié)的逆模型.

5 仿真算例

為驗(yàn)證本文提出控制策略的可行性及有效性,現(xiàn)基于以下模型給出仿真驗(yàn)證:

其中:式(21)表示H-W系統(tǒng)輸入端靜態(tài)非線性函數(shù)關(guān)系,一般可用來描述等百分比閥門的非線性特征;過程輸出端靜態(tài)非線性函數(shù)關(guān)系用式(22)表示;實(shí)際系統(tǒng)輸出y(k)與動態(tài)線性環(huán)節(jié)的輸出v(k)呈三次方非線性關(guān)系;式(23)表示H-W系統(tǒng)中間線性環(huán)節(jié)的動態(tài)響應(yīng)過程.現(xiàn)假設(shè)輸出端的靜態(tài)非線性環(huán)節(jié)模型已知,下面通過使用實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)辨識的方法辨識獲取輸入端靜態(tài)非線性模型和過程動態(tài)線性環(huán)節(jié)模型.

5.1 模型辨識與逆模型獲取

在系統(tǒng)過程輸出端加白噪聲干擾,在線采集200組系統(tǒng)輸入端靜態(tài)非線性環(huán)節(jié)的輸入輸出數(shù)據(jù),分別利用最小二乘線性辨識法進(jìn)行線性函數(shù)和多項(xiàng)式非線性函數(shù)擬合,得到靜態(tài)非線性環(huán)節(jié)的模型如圖4所示.

圖4 線性擬合與非線性擬合曲線Fig.4 Linear fitting and nonlinear fitting curves

圖4中:點(diǎn)線為線性函數(shù)擬合結(jié)果,點(diǎn)劃線為以三次多項(xiàng)式函數(shù)進(jìn)行擬合的非線性曲線,實(shí)線為非線性靜態(tài)環(huán)節(jié)的實(shí)際輸入輸出曲線,可以看出,使用非線性函數(shù)的擬合度明顯較高.

通過線性函數(shù)擬合得到的線性模型為

使用三次多項(xiàng)式函數(shù)擬合得到的模型為

對辨識得到的靜態(tài)非線性模型求逆模型時(shí),由于原函數(shù)為三次函數(shù),不容易直接得到反函數(shù),故通過輸入端輸入輸出數(shù)據(jù)反向辨識得到逆模型轉(zhuǎn)換關(guān)系:

檢驗(yàn)f(·)與f?1(·)互為逆變換;取隨機(jī)變量x ∈[0,1],將序列f?1(f(x))與x比較最大偏差率得

故可將f?1(·)近似為f(·)的逆變換.

采集120組系統(tǒng)線性動態(tài)環(huán)節(jié)的輸入輸出數(shù)據(jù),用最小二乘辨識法得到動態(tài)環(huán)節(jié)模型如下:

實(shí)際對象動態(tài)線性部分模型的和辨識得到的線性模型的單位階躍響應(yīng)如圖5所示.

圖5 實(shí)際線性環(huán)節(jié)與辨識得到的線性環(huán)節(jié)階躍響應(yīng)曲線Fig.5 Step response curves respectively for actual linear object and identified model

圖5中:實(shí)線為實(shí)際被控對象動態(tài)線性環(huán)節(jié)的階躍響應(yīng)曲線,虛線為通過線性辨識得到的動態(tài)線性環(huán)節(jié)模型的階躍響應(yīng)曲線.辨識得到的模型可以較好的反應(yīng)實(shí)際被控系統(tǒng)線性環(huán)節(jié)的動態(tài)響應(yīng)過程,由于在系統(tǒng)輸出端增加了測量白噪聲擾動,穩(wěn)態(tài)增益有一定程度的失配.由于模型預(yù)測控制算法具有反饋校正環(huán)節(jié),其對模型精度的要求不高,對于一定程度的模型失配具有較好的魯棒性,當(dāng)模型失配超過一定程度時(shí),可通過構(gòu)造狀態(tài)觀測器對預(yù)測模型進(jìn)行補(bǔ)償,必要時(shí)進(jìn)行模型再辨識.

已知系統(tǒng)輸出端靜態(tài)非線性模型增益h(·)=(v(k))3,通過數(shù)學(xué)公式變換可得對應(yīng)逆模型:h(·)=(v(k))1/3.當(dāng)輸出靜態(tài)非線性環(huán)節(jié)h(·)的輸入量在[0,1]范圍內(nèi)時(shí),可用線性模型近似表示:hl(·)=0.928v(k)?0.189,靜態(tài)增益為0.928.

5.2 基于H-W模型的模型預(yù)測控制策略

第5.1節(jié)通過辨識得到了被控系統(tǒng)輸入端靜態(tài)非線性模型f(·),反向辨識得到輸入端非線性逆模型f?1(·);通過模型辨識得到動態(tài)線性模型已知系統(tǒng)輸出端靜態(tài)非線性模型增益h(·)及其對應(yīng)逆模型h?1(·).

分別采用3種控制策略對非線性被控對象進(jìn)行控制:

策略1為利用已有條件,在此避免對整個(gè)非線性系統(tǒng)進(jìn)行線性化,使用第5.1小節(jié)中辨識到的線性靜態(tài)關(guān)系fl(·)代替輸入端非線性環(huán)節(jié)f(·),輸出端靜態(tài)非線性環(huán)節(jié)用其近似線性模型hl(·)替代h(·),這樣輸入輸出端的非線性特性均由一固定的靜態(tài)增益來表示,從而采用線性模型預(yù)測控制算法進(jìn)行控制;

策略2控制器中用辨識得到的作為預(yù)測模型,采用本文提出的策略進(jìn)行控制;

策略3使用常規(guī)非線性預(yù)測控制算法對被控對象進(jìn)行控制,在此假設(shè)已建立機(jī)理非線性模型,即模型標(biāo)稱.

在取相同的控制參數(shù):預(yù)測時(shí)域P=20;控制時(shí)域M=10;輸入輸出權(quán)重系數(shù)分別為Q=10,R=1的情況下,3種控制策略控制曲線與輸出曲線如圖6所示.

圖6 3種策略輸入輸出控制曲線Fig.6 Input and output curves of the three strategies

圖6中:實(shí)線為常規(guī)線性策略1控制輸入輸出曲線,長虛線為策略2(本文所提策略)控制輸入輸出曲線,點(diǎn)虛線為策略3控制下輸入輸出曲線.從圖中可以看出,策略2和策略3的控制效果明顯優(yōu)于策略1常規(guī)線性策略控制效果,在輸出設(shè)定值發(fā)生變換時(shí),策略1調(diào)節(jié)時(shí)間較長,究其原因是預(yù)測模型失配較大所致,分析如下:

圖7給出了3種策略下的預(yù)測誤差曲線,預(yù)測誤差e定義為

其中:y為實(shí)際輸出值;yp為預(yù)測輸出值;預(yù)測誤差e反映了模型失配的程度.

圖7 3種策略的預(yù)測誤差曲線Fig.7 Predictive error curves of the three strategies

圖7中:實(shí)線為策略1預(yù)測誤差曲線,長虛線為策略2預(yù)測誤差曲線,點(diǎn)虛線為策略3預(yù)測誤差曲線;因策略3使用機(jī)理非線性模型,模型無失配,預(yù)測誤差為0;比較而言,策略1模型失配的程度大于策略2模型失配的程度,策略2模型失配的程度小,建立在較準(zhǔn)確的建立輸入輸出端靜態(tài)非線性逆模型的基礎(chǔ)之上,較完整的反映了過程包含的非線性特征.

從圖6和圖7中可以看出,策略2和策略3的控制效果都很理想,而且由于策略3使用機(jī)理非線性模型,其控制更精準(zhǔn),幾乎沒有超調(diào).但是由于策略3使用非線性模型,控制器優(yōu)化時(shí)間較長,表1中對所述3種策略的計(jì)算負(fù)擔(dān)進(jìn)行比較,分別比較了運(yùn)行200 步所需要的總時(shí)間Tc/s和控制器單步優(yōu)化所需要的平均時(shí)間Tave/s.

表1 3種控制策略時(shí)間計(jì)算復(fù)雜度比較Table 1 Comparison of time calculation complexity of three control strategies

從表1可以看出,由于策略2和策略3中優(yōu)化策略均為線性優(yōu)化,故計(jì)算時(shí)間復(fù)雜度小;策略3為對非線性函數(shù)進(jìn)行優(yōu)化,時(shí)間復(fù)雜度將近為策2的450倍,當(dāng)被控對象規(guī)模更大,非線性模型更復(fù)雜時(shí),其所需計(jì)算時(shí)間有可能不能夠滿足控制需求.

綜上所述,對于可用H-W模型描述的非線性系統(tǒng),采用本文策略相較于常規(guī)線性預(yù)測控制策略,在控制性能方面更好;較之于常規(guī)非線性控制策略,在時(shí)間計(jì)算復(fù)雜度方面又具有明顯優(yōu)勢,有利于其在復(fù)雜的工業(yè)過程控制中推廣應(yīng)用.

6 結(jié)論

本文利用H-W非線性系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)特性,通過建立非線性環(huán)節(jié)逆模型對原系統(tǒng)的非線性環(huán)節(jié)進(jìn)行補(bǔ)償?shù)姆椒?最終利用線性模型預(yù)測控制算法解決了H-W非線性系統(tǒng)的控制問題,相較于常規(guī)的非線性模型預(yù)測控制策略,無需對整個(gè)被控對象建立復(fù)雜的非線性模型,進(jìn)而避免了直接對非線性模型進(jìn)行優(yōu)化,極大地減少了優(yōu)化計(jì)算量.本文旨在闡明所提策略的原理和實(shí)施方案,在實(shí)際應(yīng)用中可方便地推廣至多入多出復(fù)雜系統(tǒng),亦可融合到工業(yè)工程中廣泛采用的雙層結(jié)構(gòu)模型預(yù)測控制框架中.需要指出的是,本文策略在應(yīng)用中亦存在一定局限性,對于無法用H-W模型進(jìn)行描述的非線性系統(tǒng),或無法獲得系統(tǒng)輸入輸出靜態(tài)非線性模型時(shí)并不適用,此時(shí)仍需采用非線性優(yōu)化策略對整個(gè)系統(tǒng)進(jìn)行優(yōu)化控制.