邵 年陳 瑜程 晉陳文斌

(1.復(fù)旦大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,上海 200433;2.上海財(cái)經(jīng)大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院,上海 200433;3.復(fù)旦大學(xué)上海市現(xiàn)代應(yīng)用數(shù)學(xué)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,上海 200433)

1 背景介紹

2019年武漢發(fā)生的新型冠狀病毒肺炎(novel coronavirus pneumonia,NCP)疫情牽動(dòng)了億萬(wàn)中華兒女的心,1 月30 日一篇發(fā)表在著名醫(yī)學(xué)期刊《新英格蘭醫(yī)學(xué)期刊》(The New England Journal of Medicine)上的論文《新型冠狀病毒感染的肺炎在中國(guó)武漢的早期傳播動(dòng)力學(xué)》[1]引發(fā)了強(qiáng)烈的反響和爭(zhēng)議,也引起了人們的關(guān)注.現(xiàn)在回顧一下醫(yī)學(xué)界幾篇重要的研究報(bào)告:

·1月24日《柳葉刀》刊登的《武漢市2019年新型冠狀病毒感染患者的臨床特征》[2],是本次新冠肺炎疫情期間最早披露的臨床特征數(shù)據(jù).研究將疫情早期(截至1月2日)首批患病的41 名患者作為研究對(duì)象,將發(fā)病癥狀與死亡率量化并與其它傳染病對(duì)比.《科學(xué)》(Science)雜志隨后(1 月26日)刊文認(rèn)為,華南海鮮市場(chǎng)或許并非新冠病毒的唯一發(fā)源地.

·1月29日同樣在《柳葉刀》上發(fā)表的論文《武漢市2019例新型冠狀病毒性肺炎99例流行病學(xué)和臨床特征》[3]將臨床病例拓展至99例(截至1月20 日,樣本選自武漢金銀潭醫(yī)院).

·1月30日由《新英格蘭醫(yī)學(xué)期刊》刊登的《新型冠狀病毒感染的肺炎在中國(guó)武漢的早期傳播動(dòng)力學(xué)》[1],披露了迄今為止最完整的臨床診治數(shù)據(jù),共計(jì)425份確診病例(確診時(shí)間截至1月22日).相比此前兩份研究,這篇論文最重要的結(jié)論在于:2019年12月中旬以來(lái),新冠病毒已開(kāi)始人際傳播.同時(shí)他們測(cè)算認(rèn)為,現(xiàn)有患者平均將病毒傳給了另外2.2人,估計(jì)平均潛伏期為5.2天.

鐘南山先生的團(tuán)隊(duì)2月6日在Medrxiv公開(kāi)共享平臺(tái)上傳了一篇論文《中國(guó)2019年新型冠狀病毒感染的臨床特征》(Clinical characteristics of 2019 novel coronavirus infection in China)[4],論文通過(guò)對(duì)截至1 月29日的1099例確診患者數(shù)據(jù)的進(jìn)行回顧性研究,發(fā)現(xiàn)新冠病毒潛伏期中位數(shù)縮短為3天,但最長(zhǎng)可達(dá)24天,致死率相對(duì)較低.

復(fù)旦大學(xué)和上海財(cái)經(jīng)大學(xué)程晉團(tuán)隊(duì)在分析傳染病傳播的數(shù)學(xué)模型如SIR模型[5-7]、SEIR模型[6]和SEIJR模型[8]等模型的基礎(chǔ)上,考慮了潛伏期對(duì)于傳播的時(shí)間滯后效應(yīng)和數(shù)據(jù)滯后效應(yīng),建立了一種新的時(shí)滯動(dòng)力學(xué)模型(time delay dynamic model for novel coronavirus pneumonia,TDD-NCP)[9-12].西安交通大學(xué)馬知恩等[6]的著作《傳染病動(dòng)力學(xué)的數(shù)學(xué)建模與研究》第2章中提出了對(duì)淋病和肺結(jié)核等疾病的帶有時(shí)滯的數(shù)學(xué)建模.但是在研究SARS時(shí),參考CCDC中心曾光等專家的工作(中國(guó)疾病預(yù)防控制中心流行病學(xué)首席科學(xué)家曾光在他主持的“傳染性非典型肺炎傳播鏈分析”科研項(xiàng)目中給出了SARS傳播五大特點(diǎn),指出“未發(fā)現(xiàn)潛伏期非典病人具有傳染性”),認(rèn)為潛伏期是否有傳染性難以確定(見(jiàn)文獻(xiàn)[6]第97頁(yè)),所以不考慮潛伏期的傳染.而程晉團(tuán)隊(duì)提出的TDD-NCP模型明確地考慮了潛伏期的傳染,通過(guò)應(yīng)用公開(kāi)數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合計(jì)算與反演,發(fā)現(xiàn)新的模型對(duì)實(shí)際數(shù)據(jù)的預(yù)測(cè)是比較理想.

中國(guó)疾控中心等單位對(duì)新型冠狀病毒肺炎的研究成果[1]中已經(jīng)有了一些統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù),特別是給出了傳播鏈中連續(xù)病例的發(fā)病時(shí)間間隔、感染至發(fā)病的時(shí)間間隔、發(fā)病至住院的間隔時(shí)間等圖像.CCDC的這些數(shù)據(jù)對(duì)于傳染病的動(dòng)力學(xué)研究是很有價(jià)值的,可以看作是一種新型冠狀病毒肺炎的隨機(jī)動(dòng)力學(xué)模型(類似于SARS 研究中的工作[13]).而在TDD-NCP 模型中,核函數(shù)的選擇是不確定的.本文嘗試把中國(guó)疾控中心得到的一些經(jīng)驗(yàn)分布和隨機(jī)動(dòng)力行為數(shù)據(jù)[1]融入到TDD-NCP模型中,建立有醫(yī)學(xué)數(shù)據(jù)支持的TDD-NCP模型,本文把這一類模型稱為Fudan-CCDC模型.下面在第2節(jié)介紹了TDD-NCP模型和其縮減表示形式TDD-NCP-r模型.在第3節(jié)本文對(duì)文獻(xiàn)[1]的數(shù)據(jù)進(jìn)行了處理,得到了關(guān)于新型冠狀病毒肺炎(NCP)的一些模型:傳播鏈中連續(xù)病例的發(fā)病時(shí)間間隔分布、感染至發(fā)病的時(shí)間間隔分布和發(fā)病至住院的間隔時(shí)間3個(gè)分布的具體表達(dá)式和可能的候選,并形成了感染至確診的時(shí)間間隔分布.在第4節(jié)結(jié)合CCDC統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)和TDD-NCP模型,本文發(fā)展了一系列的隨機(jī)時(shí)滯動(dòng)力學(xué)模型(Fudan-CCDC模型),然后再第5節(jié)給出了參數(shù)反演與疫情分析,最后在結(jié)論部分做了一些討論.

2 武漢新型冠狀病毒時(shí)滯動(dòng)力學(xué)模型

在通常的傳染病模型中,通常將人群分為易感染者S、潛伏者E、傳染者I、確診者J與康復(fù)者R,通過(guò)人員之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系,從而可以建立起所謂的倉(cāng)室模型(SIR和SEIR模型等)[6],雖然現(xiàn)在已經(jīng)有豐富的傳染病模型,并且有許多的深入的數(shù)學(xué)分析,但是在實(shí)際操作與應(yīng)用中,模型的建立和變量的選擇仍然是一個(gè)有挑戰(zhàn)性的問(wèn)題.在文獻(xiàn)[9-10]中,在復(fù)旦大學(xué)丁光宏團(tuán)隊(duì)關(guān)于SARS傳播機(jī)制研究[8]的基礎(chǔ)上,程晉團(tuán)隊(duì)對(duì)武漢新型冠狀病毒(2019-nCoV,現(xiàn)統(tǒng)稱為NCP)引入了一類新的時(shí)滯動(dòng)力學(xué)模型(TDD-NCP),這個(gè)模型研究感染者、確診者和隔離者之間的關(guān)系.下面先簡(jiǎn)單介紹一下這個(gè)模型,這里約定記號(hào)如下:

·I(t):t時(shí)刻感染者的累計(jì)總數(shù);

·J(t):t時(shí)刻確診者的累計(jì)總數(shù);

·G(t):t時(shí)刻已感染且未確診,但已經(jīng)隔離的人群的實(shí)時(shí)總數(shù).

考慮到潛伏期的影響,在TDD-NCP模型中做了如下假設(shè):

1)感染者在出現(xiàn)明顯癥狀前會(huì)經(jīng)歷τ1天的潛伏期,一旦出現(xiàn)癥狀,感染者將尋求治療,從而轉(zhuǎn)為確診病例;

2)由于政府干預(yù)控制措施,某些感染者在潛伏期內(nèi)尚未出現(xiàn)癥狀時(shí)已被隔離,在被隔離了平均天后出現(xiàn)癥狀成為確診病例,隔離不影響發(fā)病時(shí)間.

由此,可以得到如下時(shí)滯動(dòng)力學(xué)模型(TDD-NCP model)[11]:

如果進(jìn)一步考慮R(t):t時(shí)刻康復(fù)者的累計(jì)總數(shù),假設(shè)確診者在τ2天后結(jié)束治療,有κ的比例被治愈,1?κ的比例死亡.可以考慮如下的關(guān)系:

下面對(duì)這個(gè)模型的動(dòng)機(jī)稍做解釋:

1)β定義為傳染率,代表每個(gè)傳染者在單位時(shí)間內(nèi)平均傳染人數(shù).本文假設(shè)確診者與隔離者均無(wú)傳染性,因此,在時(shí)刻t能引起進(jìn)一步傳染的人數(shù)是I(t)?J(t)?G(t);

2)系數(shù)γ是致病率參數(shù).累計(jì)確診人數(shù)J(t)均來(lái)自于潛伏期τ1天內(nèi)的感染人數(shù);

3)隔離者人數(shù)G(t)的變化由以下兩個(gè)因素決定:

·具有傳染性的人群因政府防控措施而被隔離,其中隔離率為?.

在政府每日公布的疫情數(shù)據(jù)中,可以得到累計(jì)確診人數(shù)J(t)和累計(jì)治愈人數(shù)R(t)的信息.

這個(gè)模型在實(shí)際的反演過(guò)程中,產(chǎn)生了不同的版本[9-11],這里本文主要參考文獻(xiàn)[11]的版本.

2.1 TDD-NCP-r模型

如果進(jìn)一步對(duì)TDD-NCP模型進(jìn)行分析,發(fā)現(xiàn)實(shí)際上這個(gè)模型可以進(jìn)一步簡(jiǎn)化:引入變量

那么可以用1個(gè)方程來(lái)描述I0:

這里γβ=γ ?β.一旦I0確定,可以進(jìn)一步求解J,G和R.這個(gè)模型本文稱為TDD-NCP-r 模型.特別地,如果這里的延遲核函數(shù)取為某種δ函數(shù),可以得到如下的離散d-TDD-NCP-r模型:

這里的τ1和可以與TDD-NCP-r模型不同,通?？煽紤]傳染病隨機(jī)模型的最大似然估計(jì)得到的時(shí)刻.這個(gè)模型可以以天為單位,利用公布的數(shù)據(jù)來(lái)反演參數(shù).

3 CCDC的隨機(jī)動(dòng)力學(xué)模型

在中國(guó)疾病預(yù)防控制中心(以下簡(jiǎn)稱CCDC)的論文[1]中,研究人員對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行了一些統(tǒng)計(jì)分析,得到了一種隨機(jī)動(dòng)力學(xué)模型[13].他們的論文中提到,檢查了10 例確診病例的暴露數(shù)據(jù),估計(jì)平均潛伏期為5.2天(95%置信區(qū)間,[4.1～7.0]),絕大部分在12.5天以下,截至2020年1月4日的流行曲線,流行增長(zhǎng)率為每天0.10,病例倍增時(shí)間為7.4天,估計(jì)基本傳染數(shù)R0為2.2(95%置信區(qū)間,[1.4～3.9]),平均一個(gè)病人能傳染2.2個(gè)人.據(jù)估計(jì),1月1日前發(fā)病的45名患者從發(fā)病到首次就診時(shí)間按平均為5.8天,1月1日至11日發(fā)病的207名患者平均為4.6天.44例在1月1日前發(fā)病的患者,發(fā)病到入院的平均時(shí)間為12.5天,1月1日到11日發(fā)病的189例患者的平均時(shí)間為9.1天.CCDC在文獻(xiàn)[1]的圖2中給出了這些數(shù)據(jù)的圖形.研究人員認(rèn)為從2019年12月中旬以來(lái),人與人之間的傳播主要在密切接觸者中發(fā)生,并在隨后的一個(gè)月逐步向外傳播.

由于筆者沒(méi)有一手的數(shù)據(jù)資料,從這個(gè)圖的圖像中抽取數(shù)據(jù),并進(jìn)行了分析和擬合,通過(guò)MATLAB的擬合工具得到有關(guān)新型冠狀病毒的從感染至發(fā)病的時(shí)間間隔、傳播鏈中連續(xù)病例的發(fā)病時(shí)間間隔和發(fā)病至住院的間隔時(shí)間的分布信息如下:

·傳播鏈中連續(xù)病例的發(fā)病時(shí)間間隔:傳播鏈中連續(xù)病例的發(fā)病時(shí)間間隔分布f1(t)為參數(shù)為(n,b)=的Gamma分布,見(jiàn)圖1(a).

·感染至發(fā)病的時(shí)間間隔:感染至發(fā)病的時(shí)間間隔分布f2(t)為參數(shù)為(μ,σ2)=(1.417,0.4525)的對(duì)數(shù)正態(tài)分布,見(jiàn)圖1(b).

·發(fā)病至住院的間隔時(shí)間:發(fā)病至住院的間隔時(shí)間分布f3(t)為參數(shù)為(λ,k)=(179.9,2.641)的Weibull分布,見(jiàn)圖1(c).

事實(shí)上,如果把從感染到確診分成感染到發(fā)病和發(fā)病到確診,則可得到如下感染到確診時(shí)間分布.

·感染至確診的時(shí)間間隔:感染至確診(或住院)的時(shí)間間隔分布由兩個(gè)參數(shù)為(μ,σ2)={(10.87,14.46),(15.97,23.42)}的正態(tài)分布組合而成,也可以用一個(gè)正態(tài)分布去擬合.

筆者也注意到鐘南山團(tuán)隊(duì)[4]通過(guò)對(duì)截至1月29日的1099例確診患者數(shù)據(jù)的回顧性研究,發(fā)現(xiàn)新冠病毒中位數(shù)潛伏期縮短為3天,但最長(zhǎng)可達(dá)24天.由于本文可以采樣得到CCDC的數(shù)據(jù),所以基本上以CCDC的數(shù)據(jù)為參考模型.因此本文建議用如下的隨機(jī)動(dòng)力學(xué)模型建模.

圖1 時(shí)間間隔擬合圖Fig.1 Fitting curve of interval

·傳播鏈中連續(xù)病例的發(fā)病時(shí)間間隔:待定形狀參數(shù)和逆尺度參數(shù)的Gamma分布;

·感染至發(fā)病的時(shí)間間隔:待定期望和方差的對(duì)數(shù)正態(tài)分布;

·發(fā)病至住院的間隔時(shí)間:待定比例和形狀參數(shù)的Weibull分布;

·感染至確診的時(shí)間間隔:待定期望和方差的正態(tài)分布或多個(gè)正態(tài)分布的線性組合.

這些參數(shù)的估計(jì)可以通過(guò)一些實(shí)際病例得到.在實(shí)際模擬中本文采用CCDC的數(shù)據(jù)得到的表達(dá)式.

4 Fudan-CCDC模型的建立

在本節(jié)中,筆者結(jié)合TDD-NCP模型和中國(guó)疾控中心的隨機(jī)動(dòng)力學(xué)模型,提出了下面兩種隨機(jī)動(dòng)力學(xué)模型:

·假設(shè)治病率參數(shù)γ=1,也就是這里不引入治病率參數(shù).

·將從感染到確診分成兩個(gè)過(guò)程:從感染到發(fā)病、從發(fā)病到確診.

在下述模型中,仍然定義I0(t)=I(t)?J(t)?G(t).

假設(shè)在t時(shí)刻,被感染的人數(shù)是βI0(t),考慮感染到發(fā)病的時(shí)間間隔分布f2(t),那么在t時(shí)刻發(fā)病的人數(shù)是f2(t)與βI0(t)的卷積(沒(méi)有隔離),然后再考慮發(fā)病到住院的時(shí)間間隔分布f3(t),那么從感染到住院的人數(shù)為

這里“?”表示卷積.也可以直接用感染到住院的時(shí)間間隔分布f4(t)來(lái)表示:

對(duì)于隔離人數(shù)的分析可以類似進(jìn)行.同時(shí)對(duì)隔離發(fā)生的時(shí)刻做假設(shè)得到了如下兩個(gè)模型:Fudan-CCDC-1模型和Fudan-CCDC-2模型.

4.1 Fudan-CCDC-1模型(隔離發(fā)生在患者被感染的時(shí)刻)

將感染至住院的間隔時(shí)間分布f4代入TDD-NCP模型,并假設(shè)

·所有感染者具有相同的傳染能力;

·隔離發(fā)生在患者被感染的時(shí)刻.

有如下Fudan-CCDC-1模型(隔離發(fā)生在患者被感染的時(shí)刻):

類似地,可以引入如下的離散模型:

下面對(duì)這個(gè)模型做簡(jiǎn)單的解釋:

·第2個(gè)方程表示s時(shí)刻感染的人在t時(shí)刻被隔離.

·第3個(gè)方程表示隔離者會(huì)因?yàn)椴粩嘤腥吮桓綦x而增多,而隔離者被確診也會(huì)導(dǎo)致隔離者減少.

4.2 Fudan-CCDC-2模型(隔離發(fā)生在患者發(fā)病時(shí))

與模型1類似,模型2仍然假設(shè)所有感染者具有相同的傳染能力,但此時(shí)假設(shè)隔離發(fā)生在患者發(fā)病時(shí),有如下Fudan-CCDC-2模型:

類似地,可以引入如下的離散模型:

最后一個(gè)方程通過(guò)f2描述了患者從被感染到發(fā)病的過(guò)程.需要注意的是,在實(shí)際推演過(guò)程中,由于變量的實(shí)際含義,往往還要加上非負(fù)性等限制條件,這些條件在此處忽略.

5 參數(shù)反演與數(shù)值模擬

在本節(jié)中,本文對(duì)Fudan-CCDC-1模型和Fudan-CCDC-2模型進(jìn)行參數(shù)反演和數(shù)值求解,首先增加如下假設(shè)條件:

1)設(shè)置初始感染人數(shù)I0=4(在文獻(xiàn)[1]中最早發(fā)現(xiàn)的新型病原體數(shù)目是4),隔離與確診人數(shù)均為0,時(shí)間為t0.

2)在初始階段隔離率?1,在td日起,政府開(kāi)始采取隔離措施,從此日起隔離率為?2.

3)人口不發(fā)生遷移,即沒(méi)有人口的流入流出.

參照萬(wàn)得宏觀經(jīng)濟(jì)數(shù)據(jù)庫(kù)上每日公開(kāi)的累計(jì)確診數(shù)據(jù)(在仿真圖中用圓圈表示),數(shù)值求解如下優(yōu)化問(wèn)題:

可得參數(shù)反演結(jié)果,然后反演的參數(shù)可以用來(lái)做后期的預(yù)測(cè)和估計(jì).這個(gè)參數(shù)的反演結(jié)果在實(shí)際應(yīng)用中還要進(jìn)行非常仔細(xì)的前期數(shù)據(jù)清洗和后期的敏感性分析,才能使得使得最終的反演結(jié)果盡可能合理的.特別是在筆者遞交第1版本的第2天,在2月12日湖北尤其是武漢更改了確診病例核算方法,因此前后公布的數(shù)據(jù)有較大差異.這里對(duì)前后兩組數(shù)據(jù)進(jìn)行反演和分析.

在下面報(bào)告的結(jié)果中,本文選擇了兩組數(shù)據(jù):一組是1月16日至2月10日,另外一組是1月16日至2月16日(跨過(guò)數(shù)據(jù)跳躍點(diǎn)2月12日),公布的累計(jì)確診數(shù)據(jù)在仿真圖中用圓圈表示.

下面對(duì)計(jì)算結(jié)果做一些初步的分析,模擬的結(jié)果見(jiàn)圖2和圖3.

1)從對(duì)數(shù)據(jù)的擬合與預(yù)測(cè)來(lái)看,兩個(gè)模型基本接近;

2)從圖2-3可以發(fā)現(xiàn),累計(jì)感染人數(shù)的變化,模型2相對(duì)比較平滑;

3)從圖2-3可以發(fā)現(xiàn),對(duì)于數(shù)據(jù)發(fā)生大幅跳動(dòng)的武漢情況,模型2偏離原來(lái)公布的不準(zhǔn)確的數(shù)據(jù)更遠(yuǎn).

下面再對(duì)反演參數(shù)結(jié)果做些說(shuō)明,數(shù)據(jù)見(jiàn)表1.

圖2 Fudan-CCDC1模型預(yù)測(cè)圖Fig.2 Fudan-CCDC1 model forecast

圖3 Fudan-CCDC2模型預(yù)測(cè)圖Fig.3 Fudan-CCDC2 model forecast

表1 Fudan-CCDC模型參數(shù)反演結(jié)果Table 1 Values of the parameters of the Fudan-CCDC model

1)對(duì)感染的增長(zhǎng)率β來(lái)看,模型1反演得到的武漢的數(shù)據(jù)比湖北和全國(guó)要小或者接近,這個(gè)結(jié)果與實(shí)際情況不相符,現(xiàn)在普遍的觀點(diǎn)是武漢的增長(zhǎng)率應(yīng)該大于湖北和全國(guó)的增長(zhǎng)率;而模型2正好體現(xiàn)了這一點(diǎn);

2)從隔離率?1和?2來(lái)看,模型2也更合理,特別是武漢的?2小于湖北的,湖北的?2小于全國(guó)的,這個(gè)次序關(guān)系在表中非常清晰;這說(shuō)明一旦數(shù)據(jù)比較準(zhǔn)確,模型2就能非常準(zhǔn)確地來(lái)反應(yīng)真實(shí)情況,并給出可靠預(yù)測(cè),這一點(diǎn)在亞洲其他各國(guó)數(shù)據(jù)擬合和預(yù)測(cè)中也體現(xiàn)的非常明顯.

基于上述的一些觀察和其他大量實(shí)例的分析,最終本文把模型2稱為Fudan-CCDC模型,并用于其他國(guó)家的預(yù)測(cè).這里也要指出的是,這個(gè)模型還在發(fā)展之中,而且有關(guān)的數(shù)學(xué)的分析和算法的研究也會(huì)陸續(xù)進(jìn)行.

6 結(jié)論

在本文,筆者利用CCDC公布的一些統(tǒng)計(jì)信息和分布,發(fā)展了一套隨機(jī)時(shí)滯動(dòng)力學(xué)模型,這個(gè)想法可能對(duì)于促進(jìn)中國(guó)傳染病模型的研究是有一定意義的:如何充分利用現(xiàn)有的數(shù)據(jù)來(lái)發(fā)展模型,進(jìn)而有意識(shí)地去采集一些特定的數(shù)據(jù)來(lái)進(jìn)行模型預(yù)測(cè),這對(duì)于實(shí)際操作和政府決策是非常重要的.在研究過(guò)程中,上網(wǎng)和資料的查詢也非常不方便,許多的文獻(xiàn)都沒(méi)有涉及到,這里需要抱歉.新型冠狀病毒肺炎有關(guān)的模型和仿真研究還在繼續(xù)發(fā)展和研究中,即使是如何來(lái)命名新型冠狀病毒肺炎,也沒(méi)有統(tǒng)一,早期模型本文采用中國(guó)自己的命名NCP(在論文成文時(shí),2020年1月12日世界衛(wèi)生組織命名為COVID-19),現(xiàn)在把這個(gè)新的模型統(tǒng)稱為Fudan-CCDC模型.這次新型冠狀病毒肺炎對(duì)于數(shù)學(xué)界也提出了一些新問(wèn)題和新的思路,也有不少的工作.在本文成文過(guò)程中,通過(guò)1月10日數(shù)學(xué)會(huì)的公眾號(hào)知道:陜西師范大學(xué)唐三一教授聯(lián)合陜西師范大學(xué)生物數(shù)學(xué)團(tuán)隊(duì)、西安交通大學(xué)生物數(shù)學(xué)團(tuán)隊(duì)以及加拿大吳建宏教授團(tuán)隊(duì)、北京建筑大學(xué)崔景安教授團(tuán)隊(duì)、北師范大學(xué)范猛教授團(tuán)隊(duì)、北京大學(xué)公共衛(wèi)生學(xué)院生物統(tǒng)計(jì)系主任周曉華教授都對(duì)新型冠狀病毒肺炎有了一些成果,筆者感覺(jué)由衷得高興,希望傳染病模型不只是數(shù)學(xué)建模中的一個(gè)常規(guī)問(wèn)題,而是成為對(duì)付傳染病的一個(gè)有力的工具.