朱志輝 劉宇 龔?fù)? 康厚軍 敬海泉

摘要：采用子結(jié)構(gòu)法研究了重載列車引起的大跨度鐵路斜拉橋拉索非線性振動問題。首先基于線性橋梁空間有限元模型，采用車一橋耦合動力學(xué)理論計(jì)算得到斜拉索錨固點(diǎn)動力響應(yīng);然后將該動力響應(yīng)作為斜拉索端部激勵(lì)，采用自編的基于CR列式法（Co-rotational Formulation）的拉索非線性動力有限元程序，計(jì)算斜拉索非線性動力響應(yīng)。以荊岳鐵路洞庭湖三塔斜拉橋?yàn)槔_展了車致斜拉橋拉索振動分析，結(jié)果表明：在設(shè)計(jì)時(shí)速范圍內(nèi)，重載列車作用下，斜拉橋索端激勵(lì)與拉索固有頻率兩者不存在明顯的匹配關(guān)系，車致拉索振動響應(yīng)為一個(gè)準(zhǔn)靜態(tài)過程;通過進(jìn)一步對比不同計(jì)算方案，即車一橋耦合振動、移動軸重瞬態(tài)分析與移動軸重影響線加載對拉索響應(yīng)的影響，發(fā)現(xiàn)對于大跨度鐵路斜拉橋而言，由于車一橋耦合振動效應(yīng)不顯著，采用移動軸重影響線加載方法得到的拉索應(yīng)力結(jié)果具有足夠精度。

關(guān)鍵詞：非線性振動;斜拉索;車一橋耦合振動;動力有限元方法

中圖分類號：0322;U448.27 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號：1004-4523（2020）01-0149-09

DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2020.01.017

引言

斜拉索作為斜拉橋的主要受力構(gòu)件之一，具有剛度小、阻尼小、質(zhì)量小的特點(diǎn)，容易在風(fēng)、列車或地震荷載等激勵(lì)源作用下發(fā)生振動，影響橋梁結(jié)構(gòu)安全、使用性能和壽命。關(guān)于斜拉索在交通荷載下的振動問題已有較多研究。Das等研究了不同路面粗糙度下移動車輛荷載造成的斜拉橋動力沖擊效應(yīng);王濤等建立了簡化的非線性橋梁模型，研究了列車通過時(shí)的索一梁相關(guān)振動關(guān)系;zhang等采用有限元法研究了斜拉橋在車輛荷載作用下的動力響應(yīng)，并通過子結(jié)構(gòu)法分析了斜拉索的局部振動;zhou等在考慮風(fēng)荷載以及車輛交通荷載情況下，對比了等效靜力方法與非線性動力方法得到的索力值?，F(xiàn)有研究主要針對公路斜拉橋以及客運(yùn)鐵路斜拉橋的車致拉索振動問題，由于斜拉橋在重載鐵路中尚無應(yīng)用案例，關(guān)于重載鐵路斜拉橋的車致拉索振動問題的相關(guān)研究還較少。同時(shí)，相較于汽車和客運(yùn)列車，貨運(yùn)重載列車具有軸重大、編組長的特點(diǎn)，因此需要針對大跨度鐵路斜拉橋在重載列車作用下的拉索振動響應(yīng)開展研究。

以往在研究斜拉橋車致振動響應(yīng)時(shí)，所建立的列車一軌道一橋梁耦合模型通常不考慮橋梁幾何非線性。當(dāng)考慮斜拉索非線性振動時(shí)，不管是車一橋耦合振動的全耦合分析方法或者分離迭代分析法，都需要在每一步更新耦合系統(tǒng)整體剛度矩陣或者進(jìn)行平衡迭代，導(dǎo)致計(jì)算分析難度大、計(jì)算效率低?，F(xiàn)有的車致斜拉橋拉索振動研究表明，在車輛或列車荷載作用下，斜拉橋拉索振動對橋梁結(jié)構(gòu)的影響較小，特別地，相比于公路與客運(yùn)線路，重載鐵路斜拉橋的列車活載等級更高，拉索與主梁的質(zhì)量比相差更為懸殊，因此拉索振動對于橋梁振動的影響可以忽略。為簡化分析，部分學(xué)者采用子結(jié)構(gòu)法研究斜拉橋拉索振動問題，即首先建立基于OECS（one element cable system）的線性橋梁模型，再進(jìn)行動力學(xué)分析得到外荷載下全橋斜拉索錨固點(diǎn)的振動時(shí)程;然后建立斜拉索非線性力學(xué)模型，輸入上述錨固點(diǎn)的時(shí)程結(jié)果作為激勵(lì)進(jìn)行計(jì)算，考察斜拉索在外荷載下的非線性動力響應(yīng)。

綜上所述，本文以重載鐵路洞庭湖三塔斜拉橋?yàn)檠芯繉ο螅⒘丝諉柫熊囈卉壍酪粯蛄厚詈蟿恿W(xué)模型，采用子結(jié)構(gòu)法研究不同行車條件下重載列車引起的拉索非線性振動響應(yīng)，并對比和討論了不同計(jì)算方案研究車致拉索振動響應(yīng)的可行性。

1列車-軌道-橋梁耦合動力學(xué)方程

列車一軌道一橋梁耦合系統(tǒng)包括車輛子系統(tǒng)和橋梁一軌道子系統(tǒng)。其中，車輛模型采用基于多剛體系統(tǒng)動力學(xué)建立的31自由度動力學(xué)模型;橋梁一軌道模型采用有限元法建立三維精細(xì)化動力學(xué)模型。采用直接剛度法建立列車一軌道一橋梁空問耦合系統(tǒng)動力平衡方程如下。

本文采用空問輪軌接觸模型，根據(jù)輪軌滾動接觸理論，利用空問跡線法研究車輪踏面和鋼軌之問的相對位置關(guān)系，利用幾何學(xué)描述車輛橫向位移、側(cè)滾角、搖頭角坐標(biāo)問的依賴關(guān)系和相關(guān)參數(shù)，這樣可以考慮輪軌之間的彈性接觸變形和輪軌瞬問脫離的情形。當(dāng)輪軌接觸時(shí)，輪軌法向接觸力pi（t）采用赫茲非線性接觸理論，表達(dá)式如下

對于輪軌問的蠕滑作用，首先基于Kalker線性蠕滑理論計(jì)算，然后采用Johnson-Vermeulen理論進(jìn)行非線性修正，這樣可以使輪軌蠕滑力的計(jì)算廣泛應(yīng)用于任意蠕滑率的情形，輪軌縱向蠕滑力Fx，橫向蠕滑力Fy和旋轉(zhuǎn)蠕滑力矩Mz的計(jì)算公式如下式所示：

軌道隨機(jī)不平順是車橋系統(tǒng)振動的主要激勵(lì)源之一，通常將軌道不平順視為具有零均值的各態(tài)歷經(jīng)性的平穩(wěn)Gauss隨機(jī)過程。通常根據(jù)軌道不平順功率譜密度函數(shù)，采用三角級數(shù)疊加法得到軌道不平順樣本。

本文采用顯一隱式混合數(shù)值積分模式，即車輛子系統(tǒng)動力響應(yīng)采用顯式二步積分法，對于橋梁一軌道子系統(tǒng)動力響應(yīng)采用Newmark-β隱式積分法。采用這種混合數(shù)值積分法進(jìn)行列車一軌道一橋梁耦合系統(tǒng)的動力仿真計(jì)算既保證了橋梁結(jié)構(gòu)有限元分析的穩(wěn)定性，又提高了復(fù)雜的輪軌非線性系統(tǒng)動力學(xué)計(jì)算效率。

2斜拉索動力非線性有限元方程

拉索的非線性有限元模型是將單個(gè)拉索離散為多個(gè)單元（MECS，multiple element cable system），以中問節(jié)點(diǎn)定義拉索的振動狀態(tài)，建立基于MECS的斜拉索力學(xué)模型，并考慮幾何非線性效應(yīng)后，斜拉索整體動力方程為

3子結(jié)構(gòu)法斜拉索振動分析流程

基于子結(jié)構(gòu)法的車致斜拉索振動分析流程如圖2所示。首先，建立基于OEcs的線性斜拉橋模型，采用零位移法確定斜拉橋模型的初始幾何構(gòu)型，得到各斜拉索初始索力;再建立列車一橋梁一軌道耦合動力學(xué)模型，進(jìn)行車一橋耦合振動分析，得到全橋拉索錨固點(diǎn)的振動時(shí)程;最后建立基于MECS方法的斜拉索非線性動力模型，以初始索力作為初始幾何剛度，采用大剛度法施加端部位移激勵(lì)，計(jì)算得到斜拉索非線性振動響應(yīng)。因?yàn)闆]有直接作用于節(jié)點(diǎn)上的力，式（7）所示的拉索動力方程右端FC為位移激勵(lì)引起的等效外荷載，F(xiàn)C需要根據(jù)錨固端振動時(shí)程和對應(yīng)自由度的剛度實(shí)時(shí)更新計(jì)算得到，同樣具有非線性特征。

4案例分析

4.1橋梁概況

荊岳鐵路洞庭湖三塔斜拉橋?yàn)槊扇A鐵路荊岳段跨越湘江的雙線特大跨度鐵路橋梁，是世界上第一座三塔雙主跨鐵路斜拉橋。荊岳鐵路洞庭湖三塔斜拉橋的跨度布置為（98+140+406+406+140+98）m，如圖3所示。該斜拉橋主梁采用鋼箱一鋼桁組合結(jié)構(gòu)，斜拉索采用空問雙索面扇形的布置形式，每根塔柱兩側(cè)分別布置了13對斜拉索，同時(shí)在邊塔橫梁上方和中塔問布置穩(wěn)定索（共8根），全橋共有164根斜拉索，均采用強(qiáng)度等級1770MPa的平行鋼絲束，拉索參數(shù)如表1所示。主橋在邊墩（①，7.），輔助墩（②，⑥），邊塔（③，⑤）及中塔（④）處均設(shè)置有豎向支承和橫向支承，在中塔處設(shè)有縱向支承?；炷寥葜貫?5kN/m³，二期恒載為135kN/m。為考慮斜拉索垂度效應(yīng)引起的幾何非線性影響，本文在OECS橋梁模型中采用Ernst公式修正其彈性模量。分析過程中軌道不平順采用美國五級譜，橋梁阻尼采用瑞利阻尼模式，阻尼比取2%。

4.2拉索與全橋的自振特性

斜拉橋的自振特性不僅反映了橋梁結(jié)構(gòu)自身的動力特性，還反映了車一橋耦合振動引起斜拉索共振的可能性。圖4給出了利用子空問迭代法求解得到的該橋前6階斜拉橋振型。表2給出了斜拉橋前6階自振特性。圖5給出了全橋斜拉索的自振頻率，并與斜拉橋主梁前14階自振頻率進(jìn)行了對比。

4.3車輛模型參數(shù)

以中國C80重載貨車作為計(jì)算車輛模型，牽引機(jī)車選取SS4型提速機(jī)車，列車編組為2D+30T（D為SS4機(jī)車，T為C80貨車）。機(jī)車和貨車的主要參數(shù)如表3所示，其余信息見文獻(xiàn)[11]。

4.4不同車速下的拉索響應(yīng)

本文首先考察了重載貨車以80-140km/h的速度通過橋梁時(shí)的全橋拉索振動響應(yīng)，圖6為不同行車速度下計(jì)算得到的C1-C40拉索中點(diǎn)最大位移。從圖6中可以看出：1）不同列車行駛速度下，車一橋耦合振動引起的各拉索中點(diǎn)最大位移受車速影響較小。這是因?yàn)橹剌d列車車速較低且橋梁剛度較大，在車速為80-140km/h的范圍內(nèi)列車引起的索端激勵(lì)幅值較為接近，且車一橋耦合振動引起的索端激勵(lì)沒有與拉索的固有頻率出現(xiàn)明顯的匹配關(guān)系，故未引起各拉索的大幅振動;2）超長索中點(diǎn)最大位移較中長索、短索更大，其中最大位移發(fā)生于C40穩(wěn)定索，在車速為100km/h時(shí)達(dá)到了516mm;這是因?yàn)殡S著拉索長度增加，其垂度效應(yīng)更明顯，采用MECS方法模擬斜拉索可以準(zhǔn)確模擬拉索垂度效應(yīng)導(dǎo)致的幾何非線性效應(yīng)。

在考察全橋各拉索中點(diǎn)最大位移的基礎(chǔ)上，還需要對列車過橋過程中的拉索應(yīng)力時(shí)程做進(jìn)一步研究。圖7給出了車速為140km/h時(shí)，C1，C13，C14，C26，C27，C39，C40拉索動應(yīng)力時(shí)程曲線，縱坐標(biāo)△σ為行車過程中拉索應(yīng)力相對于初始狀態(tài)的增量。

從圖7可以看出，拉索應(yīng)力變化主要受行車位置影響。當(dāng)車輛從左至右行駛時(shí)，C13至C39索依次達(dá)到應(yīng)力最大值;當(dāng)所有列車均行駛在第3跨時(shí)，c1索應(yīng)力達(dá)到最大值，而C40索出現(xiàn)了明顯的應(yīng)力松弛現(xiàn)象;當(dāng)車輛行駛在第3跨和第4跨的整個(gè)過程中，C27索一直處于張緊狀態(tài)。此外，各拉索應(yīng)力時(shí)程曲線均較平緩，沒有出現(xiàn)明顯的波動現(xiàn)象。

為探究索端激勵(lì)與拉索動力響應(yīng)的關(guān)系，圖8和9分別給出了車速為140km/h時(shí)C27拉索中點(diǎn)以及索、塔錨固點(diǎn)的位移時(shí)程曲線及頻譜特征。圖中C27表示C27拉索中點(diǎn)，C27-G表示C27拉索的主梁錨固點(diǎn)，C27-T表示C27拉索的橋塔錨固點(diǎn)。

從圖8，9中可以看出：1）C27拉索的振動響應(yīng)主要受主梁豎向振動以及主塔縱向振動影響，橋塔、主梁以及拉索橫向振動幅值很小，約為豎向振動幅值的1%;2）列車速度為140km/h時(shí)，C27拉索主梁錨固點(diǎn)、索塔錨固點(diǎn)的激勵(lì)頻率以靜態(tài)分量為主，對應(yīng)的拉索振動響應(yīng)也以靜態(tài)分量為主，索塔以及主梁的一階頻率都在0.2Hz以內(nèi);3）C27拉索的端部激勵(lì)頻率與其一階面內(nèi)、一階面外頻率相差較大。

由以上分析可知：在設(shè)計(jì)時(shí)速范圍內(nèi)，車一橋耦合振動不會引起洞庭湖斜拉橋拉索的大幅振動，這是因?yàn)樗鞫思?lì)與拉索固有頻率兩者不存在明顯的匹配關(guān)系，列車經(jīng)過橋梁時(shí)引起的拉索振動響應(yīng)是一個(gè)準(zhǔn)靜態(tài)的過程。

4.5不同計(jì)算方案下的拉索響應(yīng)

為了探討不同簡化方案分析車致拉索振動的可行性，本節(jié)對比了車速為140km/h時(shí)三種方法計(jì)算的拉索中點(diǎn)最大位移、應(yīng)力以及應(yīng)力沖擊系數(shù)。其中方案一與方案二分別采用車一橋耦合振動和移動軸重兩種方案獲得索端激勵(lì);方案三采用移動軸重影響線加載獲得索端位移。三種計(jì)算均采用子結(jié)構(gòu)法計(jì)算拉索響應(yīng)。

圖10給出了三種方案全橋拉索中點(diǎn)最大位移的計(jì)算結(jié)果。計(jì)算結(jié)果表明，三種計(jì)算方案得到的拉索中點(diǎn)最大位移基本一致，其中方案三計(jì)算結(jié)果總體偏小，采用移動軸重模擬方式的方案二計(jì)算結(jié)果略大，但兩者與車一橋耦合振動分析計(jì)算結(jié)果誤差均小于5%。

圖11給出了三種方案計(jì)算得到的拉索應(yīng)力幅，并以方案一（車-橋耦合振動）的計(jì)算結(jié)果為基準(zhǔn)值，分析了方案二、方案三計(jì)算的拉索應(yīng)力幅誤差百分比，其中應(yīng)力幅為列車過橋過程中拉索最大應(yīng)力與最小應(yīng)力的差值。從圖11可以看出：三種方案計(jì)算的應(yīng)力幅結(jié)果總體相近;方案二、方案三的應(yīng)力幅與車一橋耦合分析得到的索力應(yīng)力幅相對誤差在10%以內(nèi)，其中C40索（穩(wěn)定索）的應(yīng)力幅相對誤差最大，誤差值為9.147%。

圖12給出了方案一（車一橋耦合振動）和方案二（移動軸重）計(jì)算的斜拉索應(yīng)力沖擊系數(shù)。從圖12中可以看出方案二計(jì)算的沖擊系數(shù)大于方案一的計(jì)算結(jié)果，但兩種方案得到的索力沖擊系數(shù)均較小，在0.01-0.03之問。表明對洞庭湖斜拉橋這一大跨度鐵路斜拉橋而言，重載列車引起的拉索動力效應(yīng)并不顯著。

圖13給出車輛通過橋梁時(shí)三種方案計(jì)算得到的C13，C26，C39，C40索應(yīng)力增量△σ的變化過程。從圖13中可以看出。三種方案計(jì)算的拉索應(yīng)力結(jié)果和變化趨勢均較為一致，其中移動軸重計(jì)算方案的計(jì)算結(jié)果略大于車一橋耦合分析的結(jié)果。

綜上所述，三種計(jì)算方案均可有效計(jì)算重載鐵路斜拉橋車致拉索位移和應(yīng)力。但是從實(shí)施難度上來說，車一橋耦合振動分析需要建立復(fù)雜的列車模型，同時(shí)需要處理空間輪軌接觸關(guān)系，實(shí)現(xiàn)難度較高;而采用移動軸重瞬態(tài)分析方法和移動軸重影響線方法較容易實(shí)現(xiàn)，且計(jì)算精度滿足要求。

5結(jié)論

針對重載列車引起的大跨度斜拉橋拉索振動問題，本文以洞庭湖三塔斜拉橋?yàn)檠芯繉ο?，建立列車一軌道一橋梁空間耦合動力學(xué)模型，編制斜拉索動力非線性有限元計(jì)算程序，采用子結(jié)構(gòu)法研究了不同行車條件對拉索非線性空問振動響應(yīng)的影響，并對比了不同計(jì)算方案下的車致斜拉橋拉索的響應(yīng)，主要得到以下結(jié)論：

1）在設(shè)計(jì)時(shí)速內(nèi)，重載列車不會引起洞庭湖斜拉橋拉索大幅振動，索端激勵(lì)與拉索固有頻率兩者不存在明顯的匹配關(guān)系，列車經(jīng)過橋梁時(shí)引起的拉索振動響應(yīng)是一個(gè)準(zhǔn)靜態(tài)的過程。

2）車致拉索振動主要以面內(nèi)振動即縱向和豎向振動為主，面外振動即橫向振動幅值很小。

3）大跨度斜拉橋在重載列車荷載作用下的拉索動力效應(yīng)不顯著，采用移動軸重影響線的加載方式得到索端位移用以計(jì)算車致拉索應(yīng)力響應(yīng)具有足夠的精度。