劉付山 曾志平 郭無極 朱志輝

摘要：基于列車-軌道-橋梁耦合動力學(xué)理論，考慮輪軌接觸非線性，采用廣義概率密度演化理論建立了列車一軌道一橋梁垂向耦合系統(tǒng)非線性隨機振動方程。采用數(shù)論選點法結(jié)合譜表示一隨機函數(shù)法生成軌道隨機不平順樣本，實現(xiàn)了用兩個隨機變量和少量樣本較精確地反映軌道不平順功率譜的隨機特性。以高速列車一簡支梁橋上CRTSI型板式無砟軌道為例，從概率及可靠度角度，考慮非線性輪軌關(guān)系中跳軌現(xiàn)象以及軌道隨機平順影響，對比分析了線性與非線性輪軌對車輛運行安全性的影響;計算了不同軌道譜、車輛運行速度下輪重減載率概率密度演化規(guī)律及其對車輛運行安全性影響。結(jié)果表明，建議的方法可通過較少的隨機變量和樣本計算得到車輛一軌道一橋梁耦合系統(tǒng)非線性隨機動力響應(yīng)及其概率分布，可為車輛運行安全性評價提供更好的指導(dǎo)。

關(guān)鍵詞：非線性隨機振動;車輛-軌道-橋梁垂向耦合系統(tǒng);概率密度演化;車輛運行安全性

中圖分類號：0324;U238;U270.1⁺1 文獻標志碼：A 文章編號：1004-4523（2020）01-0139-10

DOI：10.16385/j.cnki.issn.i004-4523.2020.01.016

引言

隨著隨機振動及其相關(guān)理論的發(fā)展，許多學(xué)者對考慮軌道隨機不平順情況下的車輛一軌道一橋梁耦合系統(tǒng)隨機動力響應(yīng)進行了研究。翟婉明通過將車輛一軌道模型等效線性化，采用線性系統(tǒng)隨機振動頻域分析方法，對車輛一軌道耦合動力學(xué)系統(tǒng)進行了隨機振動分析，同時指出，目前針對非線性車輛一軌道系統(tǒng)，進行隨機振動分析的有效方法是數(shù)值積分法，即采用一段足夠長的樣本來代表整個隨機過程;文獻[3-4]采用Monte-Carlo法進行統(tǒng)計分析，對車輛一軌道一橋梁耦合動力學(xué)系統(tǒng)進行了隨機振動分析;文獻[5-6]通過虛擬激勵法對車輛一軌道一橋梁耦合系統(tǒng)進行了隨機振動分析，但由于虛擬激勵法只適用于輸入與輸出成線性關(guān)系的動力系統(tǒng)，因而采用的是線性化的車輛一軌道一橋梁耦合動力學(xué)模型;余志武等[7-8]采用廣義概率密度演化理論，將車輛一軌道一橋梁耦合動力系統(tǒng)等效線性化后，對其隨機動力響應(yīng)進行了研究。綜上可以看出，對車輛一軌道一橋梁耦合系統(tǒng)隨機振動研究多將系統(tǒng)線性化后進行分析，或采用較長的軌道不平順樣本來代替整個隨機過程。

在車輛一軌道一橋梁耦合動力系統(tǒng)動力學(xué)分析中，耦合動力系統(tǒng)的主要激勵源軌道不平順需要通過輪軌相互作用關(guān)系輸入到耦合動力系統(tǒng)中，除此以外，輪軌關(guān)系還需要準確反映車輪與鋼軌問的受力狀態(tài)。由于車輪、鋼軌踏面形狀的幾何非線性及其之問的力學(xué)關(guān)系，輪軌問相互作用關(guān)系往往表現(xiàn)出較強的非線性特征，而非線性車輛一軌道一橋梁耦合系統(tǒng)的隨機動力響應(yīng)還未見相關(guān)研究。

近年來廣義概率密度演化理論的發(fā)展，為非線性系統(tǒng)隨機振動分析提供了可能。本文基于廣義概率密度演化方法，利用考慮輪軌問非線性相互作用關(guān)系的非線性車輛一軌道一橋梁耦合系統(tǒng)動力學(xué)分析模型，采用數(shù)論選點法（NTM）結(jié)合譜表示一隨機函數(shù)法生成軌道不平順樣本，以較少樣本計算出系統(tǒng)隨機動力響應(yīng)及其概率分布，以車輛運行安全性指標——車體垂向加速度、輪重減載率為主要研究對象，對非線性車輛一軌道一橋梁垂向耦合系統(tǒng)進行隨機振動分析，研究方法可用于車輛運行安全性評價。

1車輛-軌道-橋梁垂向耦合動力分析模型

本文將車輛一軌道一橋梁耦合系統(tǒng)分為車輛、鋼軌、軌道結(jié)構(gòu)一橋梁三部分分別建模，其中車輛模型與鋼軌問通過輪軌關(guān)系耦合，鋼軌與軌道結(jié)構(gòu)一橋梁模型問通過扣件耦合，建立的非線性車輛一軌道一橋梁垂向耦合動力學(xué)模型如圖1所示。

1.1車輛模型

將車輛模擬成由一個車體、兩個構(gòu)架、四個輪對和兩系懸掛組成的，以速度V運行在軌道結(jié)構(gòu)上的多剛體系統(tǒng)。在垂向模型中，每個剛體具有垂向位移（z）、點頭（β）兩個自由度，兩系懸掛采用線性彈簧阻尼器模擬。

1.2鋼軌振動方程

將鋼軌視為有限長簡支梁，采用Euler梁模型模擬，鋼軌振動微分方程可表示為

參考文獻[12]，將水泥乳化瀝青砂漿層離散為分布彈簧，軌道板與底座板問通過砂漿層彈簧阻尼單元連接。將橋面板離散為分布彈簧，底座板與橋梁通過橋面板彈簧連接。在板縫和梁縫處，單元長度會發(fā)生改變，板縫、梁縫處的單元劃分如圖1（a），（b）所示。

1.4輪軌關(guān)系

由于廣義概率密度演化方程實現(xiàn)了概率空問與物理空問的解耦，因而其可以廣泛運用于各種非線性問題。通過聯(lián)立物理方程與廣義概率密度演化方程并通過數(shù)值方法次序求解，則不難給出復(fù)雜結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的隨機非線性響應(yīng)解答。

3軌道隨機不平順數(shù)值模擬方法

通過實測發(fā)現(xiàn)，軌道隨機不平順具有較強的隨機性，隨著中國鐵路發(fā)展，廣大的科研院所、運營單位獲得了大量軌道隨機不平順數(shù)據(jù)，但這些數(shù)據(jù)若直接用于理論計算，其計算量將是巨大的。功率譜密度函數(shù)是通過對大量運營線路實測數(shù)據(jù)分析后得到的，是平穩(wěn)隨機過程的軌道不平順最重要和最常用的統(tǒng)計函數(shù)，中國也在近年發(fā)布并實施了反映中國高速鐵路無砟軌道不平順狀態(tài)的《高速鐵路無砟軌道不平順功率譜TB/T 3352-2014））。對于非線性系統(tǒng)，功率譜無法直接輸入，還需將軌道隨機平順功率譜轉(zhuǎn)換為時域樣本輸入動力學(xué)模型。通過合適的計算方法，得到具有代表性的軌道隨機不平順樣本，充分反映軌道隨機不平順統(tǒng)計特征，在可更好地反映實際線路狀態(tài)及其隨機特性的同時，最大限度地減少計算工作量。

在傅里葉變換中，要更好地反映目標過程，通常需要大量的頻率分量，軌道不平順的模擬同樣如此，否則生成的軌道隨機不平順時程將不能使用，例如可能具有明顯的周期性_1引。在進行非線性隨機振動分析時，直接采用數(shù)百個諧波分量或頻率分量的情況下，往往需要大量樣本計算才能滿足分析計算精度要求。

為了減少生成軌道隨機不平順時所需的隨機變量數(shù)，本文采用譜表示一隨機函數(shù)法生成軌道不平順時程樣本，相較于常用的三級級數(shù)法、隨機諧和函數(shù)法，該方法實現(xiàn)了軌道隨機不平順樣本模擬過程的降維，可用一個或兩個基本隨機變量對模擬生成軌道隨機不平順時域樣本。采用譜表示一隨機函數(shù)法時軌道不平順樣本可表示為

文獻[15]中計算高速鐵路無砟軌道不平順功率時，計算單元長為1024m，采樣問隔0.25m，共4096點，單個計算單元經(jīng)傅里葉變換后最多可得頻點4096個。為盡可能保留軌道不平順中的頻率信息，參考軌道不平順功率譜計算方法，生成軌道不平順時程樣本時，單個樣本長度不超過1024m，頻率采樣點取4096個，采用隨機譜函數(shù)法時僅需兩個隨機變量。

采用數(shù)論選點法生成隨機變量的低偏差數(shù)列，采用隨機譜函數(shù)法計算得到610個軌道不平順隨機樣本。單個軌道不平順樣本及其功率譜對比情況如圖3和圖4所示。圖4中單個軌道不平順的功率譜密度與功率譜密度函數(shù)得到的功率譜相差較大，這是由于常用的軌道不平順功率譜為大量實測軌道不平順統(tǒng)計分析得到的均值譜，軌道不平順譜一次計算的隨機誤差很大，達到100%，因而單個有限長度的不平順樣本功率譜密度會與功率譜密度函數(shù)存在較大偏差。

樣本總體均值、標準差以及功率譜密度對比情況如圖5所示，從圖中可以看出，樣本總體均值、標準差以及功率譜密度與目標譜吻合較好，采用譜表示一隨機譜函數(shù)法可準確模擬生成軌道隨機不平順時域樣本，且實現(xiàn)了數(shù)值模擬過程的降維。

4計算流程及數(shù)值計算方法

本文中車輛一鋼軌系統(tǒng)采用“翟積分”顯式積分方法求解，該方法具有較好的非線性適應(yīng)性強;軌道一橋梁模型采用Newmark-β法求解。廣義概率密度演化方程求解時，采用TVD（Total VariationDiminishing）格式的有限差分法求解。具體求解過程如圖6所示。

5模型驗證及數(shù)值分析

5.1模型驗證

本文以橋上單元板式無砟軌道、32m簡支梁、CRH2型動車組為工程背景。軌道不平順采用中國高速鐵路無砟軌道不平順譜，波長范圍2-200m。采用NTM（數(shù)論選點法）、隨機譜函數(shù)各生成377，610，987個軌道不平順隨機樣本，以610個樣本工況為例，計算得到考慮非線性輪軌關(guān)系時的輪重減載率、車體垂向加速度概率密度演化情況如圖7和圖8所示。

相較于傳統(tǒng)的單樣本分析，采用廣義概率密度演化方法，可用較少樣本得到考慮軌道隨機不平順下的概率分布，為可靠性分析提供了可能。需要指出的是在圖7中，車體加速度出現(xiàn)明顯的周期性變化，其周期長度與梁長相同，這是由于梁體變形引起的車體周期性變化，在等概率密度圖中可以很容易發(fā)現(xiàn)這一現(xiàn)象，而在單個樣本分析時往往難以察覺到。

采用MCM（蒙特卡羅法）計算得到30000個樣本與PDEM（廣義概率密度演化法）法377，610，987個樣本均值對比情況如圖9和10所示，以車輛運行距離200m處為例，累積概率分布及截口概率密度如圖9和10所示。表1中列舉了計算距離范圍內(nèi)的輪重減載率、車體垂向加速度累積概率分布絕對誤差最大值情況。

綜上可以看出，本文中模型計算結(jié)果與大量樣本的MCM計算結(jié)果相比偏差較小，且小于相同樣本數(shù)MCM計算結(jié)果，計算偏差能夠滿足工程應(yīng)用計算精度要求。

5.2線性與非線性輪軌關(guān)系對比分析

本文1.4中分析了線性與非線性輪軌關(guān)系在剛度變化曲線中的區(qū)別，利用車輛一軌道一橋梁耦合動力學(xué)模型，結(jié)合廣義概率密度演化理論對線性與非線性輪軌關(guān)系和對車輛運行安全性的影響進行對比分析。

由于本文采用的中國高速鐵路無砟軌道不平順譜的平順較好，跳軌的情況不易發(fā)生，這里將軌道隨機不平順xk與10m長的確定性諧波不平順xz疊加，參考《高速鐵路養(yǎng)護維修規(guī)則》軌道不平順Ⅳ級偏差標準，不平順幅值取15mm。運行速度350km/h時，線性與非線性輪軌關(guān)系下的輪重減載率單樣本對比如圖11所示。從圖中可以看出，車輛-軌道-橋梁垂向耦合動力學(xué)模型中，線性與非線性輪軌關(guān)系對輪重減載率區(qū)別主要體現(xiàn)在發(fā)生跳軌階段，而其他位置輪重減載率相差很小。

線性與非線性輪軌關(guān)系下的輪重減載率概率密度演化情況如圖12和圖13所示?？紤]在軌道不平順隨機情況下，以輪重減載率0.8為限值，線性與非線性輪重減載率超限概率分別為26.36%，23.36%。在采用線性輪軌接觸關(guān)系的模型中，當輪重減載率大于1時即認為發(fā)生了跳軌，采用線性與非線性輪軌關(guān)系模型中，跳軌概率分別為1.40%，0.45%。

綜上可以看出，單樣本分析時，線性與非線性輪軌關(guān)系主要區(qū)別在于對輪軌問跳軌的模擬，而考慮軌道不平順隨機情況下，線性化輪軌關(guān)系的輪重減載率超限概率與跳軌概率均大于非線性化輪軌關(guān)系。

5.3不同軌道譜對車輛運行安全性影響分析

不同軌道不平順功率譜反映的是不同線路軌道隨機不平順統(tǒng)計特性，以研究中常用的德國低干擾譜、美國六級譜、中國高速鐵路無砟軌道不平順譜為例，對不同線路狀態(tài)下列車運行安全性評價方法進行說明，采用本文中計算方法，車輛運行速度為350km/h，分別以輪重減載率0.6，0.8為限值，車輛運行安全性可靠度如圖14和圖15所示。

由于中國無砟軌道不平順的平順性優(yōu)于美國六級譜以及德國低干擾譜，采用中國無砟軌道譜的情況下車輛運行安全性可靠度最佳。綜上可以看出，采用本文中方法，可用較少樣本對考慮軌道隨機不平順情況下的車輛運行安全性可靠度進行計算。

5.4車輛運行速度對車輛運行安全性影響分析

采用本文中計算方法，分別計算得到時速250-450km/h下輪重減載率概率演化情況。分別以輪重減載率0.2，0.3，0.4，0.5為限值，不同速度下的車輛運行安全性可靠度如圖16所示。

由于中國高速鐵路無砟軌道不平順譜的平順性好，且本文中僅考慮了垂向振動，因而本文模型中計算得到的輪重減載率相較于實際情況偏小。本文中僅采用這一計算結(jié)果分析速度對行車安全性影響。不同輪重減載率限值情況下，車輛運行安全性可靠度隨速度增大而逐漸降低，且下降速率逐漸加快，而要獲得更高車輛運行安全性可靠度，需要軌道具有更好的平順性，因而隨著運行速度增加，對軌道平順性要求不僅僅是逐漸加強，且愈加嚴苛。

6結(jié)論

車輛一軌道一橋梁耦合動力系統(tǒng)由于其自身力學(xué)特性決定了其必然是一個多自由度的非線性系統(tǒng)，同時由于軌道不平順的隨機性，有必要對其隨機振動特性進行研究。本文考慮車輛一軌道一橋梁耦合動力系統(tǒng)中關(guān)鍵的輪軌接觸非線性，采用廣義概率密度演化理論，結(jié)合現(xiàn)有理論中的車輛運行安全性評價指標如車體加速度、輪重減載率，對非線性車輛一軌道一橋梁耦合動力系統(tǒng)隨機振動特性進行了分析。

（1）采用數(shù)論選點法結(jié)合譜表示一隨機譜函數(shù)法生成軌道隨機不平順樣本，實現(xiàn)了軌道隨機不平順數(shù)值模擬過程的降維，并通過樣本均值、標準差、功率譜密度的對比，驗證了數(shù)值模擬方法的準確性。

（2）從概率角度對比了線性與非線性輪軌關(guān)系對列車運行安全性影響。計算結(jié)果表明，在僅考慮垂向振動的情況下，采用線性輪軌關(guān)系計算結(jié)果偏向于保守。

（3）建立了考慮輪軌非線性接觸的車輛一軌道一橋梁垂向耦合系統(tǒng)隨機振動分析模型，并對不同軌道譜、不同行車速度情況下的車輛運行安全性進行了研究。

計算結(jié)果表明，本文中建議的方法可通過較少的隨機變量和樣本計算得到車輛一軌道一橋梁耦合動力系統(tǒng)隨機動力響應(yīng)及其概率分布，結(jié)合各評價指標，可為車輛運行安全性評價提供更好的指導(dǎo)。