朱穎 雙妙

摘要：基于改進(jìn)區(qū)間分析和頻域疲勞計(jì)算方法，對參數(shù)不確定結(jié)構(gòu)在平穩(wěn)高斯荷載作用下的疲勞損傷進(jìn)行研究，提出完全混合和簡化計(jì)算兩種方法。采用區(qū)問變量模型定義結(jié)構(gòu)的不確定參數(shù)，功率譜密度描述外荷載的隨機(jī)性;利用有理級數(shù)顯式表示結(jié)構(gòu)區(qū)間頻響函數(shù)及在平穩(wěn)高斯荷載作用下不確定結(jié)構(gòu)的應(yīng)力響應(yīng)區(qū)問。通過數(shù)值方法驗(yàn)證疲勞損傷期望率關(guān)于不確定參數(shù)的單調(diào)性后，將應(yīng)力響應(yīng)中不確定參數(shù)的界限完全組合提出完全混合方法，準(zhǔn)確估計(jì)參數(shù)不確定結(jié)構(gòu)的疲勞損傷期望率區(qū)間;簡化計(jì)算方法則將不確定參數(shù)的界限適當(dāng)組合，由顯式表達(dá)式近似計(jì)算結(jié)構(gòu)的疲勞損傷期望率區(qū)間。算例表明，兩種方法均具有較高計(jì)算精度，且大幅減少計(jì)算量。

關(guān)鍵詞：隨機(jī)振動;疲勞損傷期望率;改進(jìn)區(qū)間分析;結(jié)構(gòu)不確定;單調(diào)性

中圖分類號：0324;0346.2;TU311.3 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號：1004-4523（2020）01-0088-11

DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2020.01.010

引言

根據(jù)結(jié)構(gòu)控制點(diǎn)處應(yīng)力的計(jì)算方法，通常將疲勞損傷估計(jì)分為時域和頻域方法。時域方法通過時問進(jìn)步法獲得應(yīng)力時程后，根據(jù)線性損傷累積理論計(jì)算控制點(diǎn)處的疲勞損傷;頻域方法根據(jù)外荷載的功率譜密度得到應(yīng)力響應(yīng)后，由應(yīng)力功率譜密度計(jì)算控制點(diǎn)處的疲勞損傷。由于不需要進(jìn)行時程分析，頻域疲勞分析方法大幅提高了計(jì)算效率。

上述兩種疲勞估計(jì)方法均將結(jié)構(gòu)參數(shù)視為確定值，由結(jié)構(gòu)控制點(diǎn)處應(yīng)力響應(yīng)計(jì)算該點(diǎn)的疲勞損傷。然而，結(jié)構(gòu)的疲勞失效是受大量不確定因素影響的復(fù)雜過程，主要包括結(jié)構(gòu)和外荷載。其中，外荷載的不確定性通常由服役環(huán)境的不確定性引起，稱為自然不確定性;結(jié)構(gòu)的不確定性，通常由結(jié)構(gòu)參數(shù)和模型誤差兩部分組成，是由于認(rèn)知不確定性或不合理的模型簡化引起的。

由于存在大量實(shí)測樣本，自然不確定性可以通過統(tǒng)計(jì)分析建立準(zhǔn)確的外荷載隨機(jī)譜模型，根據(jù)頻域疲勞分析方法得到結(jié)構(gòu)控制點(diǎn)處的疲勞損傷期望率。對于結(jié)構(gòu)的不確定性，傳統(tǒng)方法是將結(jié)構(gòu)不確定參數(shù)定義為隨機(jī)變量，進(jìn)而計(jì)算參數(shù)不確定結(jié)構(gòu)的動力響應(yīng)和可靠性。但是，準(zhǔn)確的概率模型需要大量數(shù)據(jù)，在工程初期很難實(shí)現(xiàn)。同時，對于既有結(jié)構(gòu)，結(jié)構(gòu)參數(shù)的不確定性本身并不具有隨機(jī)性。因此，這些局限性使非概率理論定義結(jié)構(gòu)參數(shù)的不確定性成為解決疲勞損傷估計(jì)中結(jié)構(gòu)不確定性的一種新思路。

Ben-Haim首次將凸集理論引入到疲勞損傷分析中，提出疲勞損傷估計(jì)的非概率方法。Qiu等基于壽命函數(shù)的Taylor展開和區(qū)問自然擴(kuò)張，提出疲勞壽命的區(qū)問估計(jì)方法。Sarkar等通過Wiener級數(shù)計(jì)算結(jié)構(gòu)參數(shù)或外荷載任一因素不確定情況下的疲勞損傷。

上述方法中，區(qū)問分析理論將不確定參數(shù)定義成區(qū)問變量，僅由參數(shù)的不確定范圍即可對含不確定參數(shù)的結(jié)構(gòu)進(jìn)行定量分析。但由于經(jīng)典區(qū)問分析過高地估計(jì)響應(yīng)區(qū)問的寬度，不利于工程中應(yīng)用。針對這一問題，廣義區(qū)問方法被提出，以解決參數(shù)不確定結(jié)構(gòu)在確定性荷載作用下的靜力和動力。響應(yīng)分析問題。Muscolino等基于有理級數(shù)提出改進(jìn)區(qū)問分析方法，通過參數(shù)不確定結(jié)構(gòu)區(qū)問頻響函數(shù)的顯式表達(dá)式，計(jì)算隨機(jī)荷載作用下結(jié)構(gòu)的動力響應(yīng)區(qū)問和可靠性函數(shù)區(qū)間;并考慮隨機(jī)荷載統(tǒng)計(jì)變量的不精確性。Do等將區(qū)問分析與譜隨機(jī)和隨機(jī)抽樣相結(jié)合，提出考慮結(jié)構(gòu)不確定參數(shù)的區(qū)問概率模型。劉海波等將結(jié)構(gòu)中不確定參數(shù)分別定義為隨機(jī)變量和區(qū)問變量，提出一種含概率與區(qū)問混合不確定性的可靠性分析方法。目前，基于首超破壞準(zhǔn)則的區(qū)問可靠性分析相對成熟，而基于損傷累積理論的疲勞估計(jì)則有待研究。

本文將結(jié)構(gòu)的不確定參數(shù)定義為區(qū)問變量，外荷載按概率模型簡化，同時考慮荷載和結(jié)構(gòu)兩方面不確定性對疲勞損傷的影響。根據(jù)改進(jìn)區(qū)問分析理論，提出兩種疲勞損傷估計(jì)方法用于計(jì)算隨機(jī)荷載作用下參數(shù)不確定結(jié)構(gòu)的疲勞損傷。

3隨機(jī)疲勞區(qū)間分析方法

3.1單調(diào)性驗(yàn)證

根據(jù)式（7）可知，當(dāng)不確定參數(shù)向量a是區(qū)問疲勞損傷率的單調(diào)函數(shù)時，可以采用頂點(diǎn)法（vertexmethod）得到疲勞損傷期望率區(qū)問的準(zhǔn)確值。但由于不確定參數(shù)的多樣性和疲勞損傷的復(fù)雜性，很難通過數(shù)學(xué)證明驗(yàn)證疲勞損傷期望率區(qū)問關(guān)于不確定參數(shù)的單調(diào)性。

為驗(yàn)證某一不確定參數(shù)的單調(diào)性，文獻(xiàn)[17]假設(shè)其他不確定參數(shù)取各自中值，并通過數(shù)值微分根據(jù)一階導(dǎo)數(shù)在整個參數(shù)區(qū)問內(nèi)符號變化情況判斷區(qū)問解是否關(guān)于該不確定參數(shù)單調(diào)。疲勞損傷期望率區(qū)問關(guān)于某一不確定參數(shù)的導(dǎo)數(shù)可按差分形式表示為

當(dāng)不確定參數(shù)向量是疲勞損傷期望率的單調(diào)函數(shù)時，采用頂點(diǎn)法對不確定參數(shù)完全組合可得到疲勞損傷界限的準(zhǔn)確值。如圖1所示，若待求解問題的不確定參數(shù)變量數(shù)為r時，頂點(diǎn)法計(jì)算疲勞損傷期望率區(qū)問的界限需要通過2^r次動力響應(yīng)分析和疲勞損傷估計(jì)。對于含有大量不確定參數(shù)的結(jié)構(gòu)而言，計(jì)算量是巨大的。

本文在改進(jìn)區(qū)問分析方法的基礎(chǔ)上，提出完全混合方法和簡化計(jì)算方法，解決傳統(tǒng)區(qū)問分析方法計(jì)算量隨不確定參數(shù)的數(shù)量指數(shù)增加的問題。

如圖3所示，簡化計(jì)算方法僅需對不確定參數(shù)變量進(jìn)行適當(dāng)組合即可顯式表示出隨機(jī)荷載作用下參數(shù)不確定結(jié)構(gòu)的疲勞損傷率期望區(qū)問。需要說明的是，簡化計(jì)算方法忽略了不確定參數(shù)y1¹和y2¹的依賴性;此外，一階區(qū)問泰勒級數(shù)計(jì)算區(qū)問譜參數(shù)界限過程中略去了二階高次項(xiàng)，因此精度低于完全混合方法。

4數(shù)值算例

本節(jié)將完全混合方法和簡化計(jì)算方法應(yīng)用于3個數(shù)值算例，第1個算例為二自由度汽車在不平整路面行駛時板簧疲勞問題，第2和3個算例分別是靜定煙囪結(jié)構(gòu)和超靜定桁架結(jié)構(gòu)在脈動風(fēng)荷載作用下控制點(diǎn)的疲勞問題。需要說明的是，由于采用區(qū)問變量定義結(jié)構(gòu)參數(shù)的不確定性，因此控制點(diǎn)處的疲勞損傷也是區(qū)問形式。

圖4是本文方法的流程圖。首先需計(jì)算疲勞損傷期望率關(guān)于不確定參數(shù)的導(dǎo)數(shù)，判斷是否滿足單調(diào)性條件;再將本文方法結(jié)果與頂點(diǎn)法得到的疲勞損傷期望率區(qū)問界限的準(zhǔn)確值比較，詳細(xì)討論本文方法的準(zhǔn)確性和適用性。

應(yīng)用頂點(diǎn)法和完全混合方法、簡化計(jì)算方法估計(jì)板簧疲勞損傷期望率區(qū)問時，需要對疲勞損傷關(guān)于不確定變量的單調(diào)性進(jìn)行驗(yàn)證。圖6所示是算例1的單調(diào)性，計(jì)算式（20）時車輛行駛速度為20m/s。

如圖9表示汽車速度變化時，在10%和20%兩種參數(shù)不確定范圍情況下，本文方法計(jì)算得到的板簧疲勞損傷期望率區(qū)問的界限與準(zhǔn)確值的比較。需要說明的是，圖中疲勞損傷均與汽車速度為20m/s時，不確定參數(shù)取名義值條件下計(jì)算得到的疲勞損傷期望率正交。

圖11是按第一類s-N曲線參數(shù)取值分別計(jì)算5個不確定參數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)。如圖11所示，偏導(dǎo)數(shù)在整個不確定參數(shù)區(qū)問范圍內(nèi)符號均保持不變，即滿足單調(diào)性條件。

當(dāng)不確定變量的單調(diào)性滿足時，可由頂點(diǎn)法計(jì)算疲勞損傷期望率區(qū)問的準(zhǔn)確值。圖12是根據(jù)本文方法計(jì)算得到的彎曲應(yīng)力引起控制點(diǎn)處的疲勞損傷區(qū)問期望率界限與準(zhǔn)確值的比較。與算例1相同，圖中疲勞損傷期望率界限均與結(jié)構(gòu)名義值計(jì)算得到的疲勞損傷期望率正交。圖13是本文方法計(jì)算得到的控制點(diǎn)處的疲勞損傷期望率界限與準(zhǔn)確值問的誤差。如圖13所示，本文方法具有較高精度，當(dāng)不確定半徑為10%時，完全混合方法的誤差在1%以內(nèi)，簡化計(jì)算方法的誤差在5%范圍內(nèi)。

圖14是當(dāng)平均風(fēng)速變化時，參數(shù)不確定在5%和10%兩種不同條件下，本文方法計(jì)算得到的控制點(diǎn)處疲勞損傷期望率區(qū)問的界限與準(zhǔn)確值的比較;圖中給出了結(jié)構(gòu)名義值的疲勞損傷期望率。需要指出的是，圖14中疲勞損傷期望率均與按平均風(fēng)速為10m/s時，不確定參數(shù)取名義值條件下計(jì)算得到的疲勞損傷期望率正交。

4.3超靜定桁架結(jié)構(gòu)風(fēng)致疲勞圖16所示為按數(shù)值方法計(jì)算得到的不確定變量范圍內(nèi)疲勞損傷期望關(guān)于不確定變量的偏導(dǎo)數(shù)。如圖16所示，各偏導(dǎo)數(shù)的符號在整個區(qū)問范圍內(nèi)保持不變，即疲勞損傷期望率單調(diào)。

圖17所示為完全混合法和簡化計(jì)算方法計(jì)算平均風(fēng)速為10m/s時不同不確定半徑條件下疲勞損傷期望率區(qū)問的界限與準(zhǔn)確值的比較。圖18是本文方法與準(zhǔn)確值之問的誤差。如圖18所示，本文方法具有較高精度，當(dāng)不確定半徑為10%時，完全混合方法的誤差在1%以內(nèi)，簡化計(jì)算方法的誤差在5%范圍內(nèi)。

圖19所示是隨平均風(fēng)速增大，考慮兩種不確定變量半徑條件下，本文方法計(jì)算疲勞損傷期望率區(qū)問界限與準(zhǔn)確值的比較。

4.4討論

通過證明單調(diào)性條件，將本文方法與由頂點(diǎn)法計(jì)算疲勞損傷期望率區(qū)問界限的準(zhǔn)確值進(jìn)行比較，結(jié)果表明本文方法具有較高的計(jì)算精度。需要強(qiáng)調(diào)的是，頂點(diǎn)法需要對所有不確定變量的極值進(jìn)行組合，再從中選取極大值和極小值。當(dāng)不確定變量數(shù)為r時，采用頂點(diǎn)法計(jì)算疲勞損傷期望率區(qū)問的界限需要2次動力響應(yīng)分析和疲勞損傷估計(jì)，本文方法僅通過一次動力響應(yīng)分析即可計(jì)算疲勞損傷期望率的界限，大幅減少了計(jì)算量。對于第2和第3個算例，由于不確定參數(shù)分別為5和9，因此頂點(diǎn)法分別需要2⁵和2⁹次動力響應(yīng)分析，計(jì)算時問分別是70s和1109s;而本文方法僅需要通過1次動力響應(yīng)分析，且計(jì)算時問分別是1.5s和29s。顯然，本文方法的計(jì)算效率遠(yuǎn)高于頂點(diǎn)法。同時，頂點(diǎn)法的計(jì)算量隨不確定變量數(shù)指數(shù)增加，對于復(fù)雜結(jié)構(gòu)或含有較多不確定變量的結(jié)構(gòu)計(jì)算量是巨大的。因此，本文方法特別適合計(jì)算這類結(jié)構(gòu)的疲勞損傷問題。

由于將結(jié)構(gòu)不確定參數(shù)定義為區(qū)問變量，因此疲勞損傷期望率也是區(qū)問形式。如圖7、圖12和圖17所示，疲勞損傷期望率區(qū)問的寬度隨結(jié)構(gòu)不確定參數(shù)的不確定性增大而增大。當(dāng)結(jié)構(gòu)不確定參數(shù)的不確定半徑很大時，本文方法仍具有較高精度。完全混合方法在疲勞估計(jì)中對不確定參數(shù)進(jìn)行組合可準(zhǔn)確計(jì)算疲勞損傷期望率區(qū)問的界限，各點(diǎn)誤差均小于1%;簡化計(jì)算方法可直接通過顯式公式對疲勞損傷區(qū)問的界限進(jìn)行初步估計(jì)。

如圖8、圖13和圖18所示，計(jì)算誤差隨結(jié)構(gòu)不確定參數(shù)的不確定半徑增大而增大。這主要是由于改進(jìn)區(qū)問方法在計(jì)算結(jié)構(gòu)應(yīng)力響應(yīng)時隨不確定參數(shù)的不確定性增大計(jì)算精度降低，同時簡化計(jì)算方法估計(jì)疲勞損傷期望率區(qū)問界限時忽略了區(qū)問譜矩和區(qū)間帶寬參數(shù)問的依賴性所致。

顯然，由于疲勞損傷的下界過高的估計(jì)結(jié)構(gòu)運(yùn)行狀況，工程中僅可采用疲勞損傷的區(qū)問上界。數(shù)值算例表明，如果考慮結(jié)構(gòu)參數(shù)的不確定性，結(jié)構(gòu)的疲勞損傷期望率的上界將大幅提高。因此對于重要結(jié)構(gòu)，需要在疲勞分析中考慮結(jié)構(gòu)的不確定性。

5結(jié)論

在頻域疲勞分析方法的基礎(chǔ)上，采用區(qū)問參數(shù)模型定義結(jié)構(gòu)的不確定參數(shù);通過數(shù)值方法，驗(yàn)證了疲勞損傷期望率關(guān)于不確定參數(shù)的單調(diào)性。在改進(jìn)區(qū)問分析和頻域疲勞計(jì)算方法的基礎(chǔ)上，提出用完全混合方法和簡化計(jì)算方法解決含參數(shù)不確定結(jié)構(gòu)在隨機(jī)荷載作用下的疲勞損傷估計(jì)問題，本文方法具有以下特點(diǎn)：

1.完全混合方法通過對疲勞損傷期望率區(qū)問中不確定參數(shù)進(jìn)行完全組合，準(zhǔn)確計(jì)算參數(shù)不確定結(jié)構(gòu)的疲勞損傷期望率區(qū)問。

2.簡化計(jì)算方法通過適當(dāng)?shù)慕M合不確定參數(shù)，由顯式表達(dá)式計(jì)算參數(shù)不確定結(jié)構(gòu)的疲勞損傷期望率區(qū)問。

3.在保證計(jì)算精度的前提下，基于改進(jìn)區(qū)問分析的隨機(jī)疲勞區(qū)問分析方法避免了傳統(tǒng)頂點(diǎn)法需要進(jìn)行多次動力響應(yīng)分析的不足，大幅提高了計(jì)算效率。