陳金 金棟平 劉福壽

摘要：針對含分布式控制力矩陀螺的柔性體結構動力學建模問題，研究了結構和陀螺之間相互耦合對結構固有振動的影響。通過基于有限元離散的建模思路，獲得了含分布式控制力矩陀螺的結構動力學模型。對比模態(tài)疊加方法，提出原柔性體模態(tài)的概念。結果表明，分布控制力矩陀螺對結構固有振動產(chǎn)生了本質(zhì)的影響?；谠嵝泽w結構前幾階模態(tài)的模態(tài)疊加法，由于沒有計入結構和陀螺之間的耦合效應，所得到結構動力學降階模型具有較大誤差。

關鍵詞：結構動力學;陀螺柔性體;模態(tài)疊加法;模型降階;原柔性體模態(tài)

中圖分類號：0326 文獻標志碼：A 文章編號：1004-4523（2020）01-0074-08

DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2020.01.008

引言

自DEleuterio和Hughes提出連續(xù)陀螺柔性體概念以來，陀螺在結構中的耦合效應引起了廣大學者的注意。Brocato和Capriz詳細研究了陀螺影響結構振動的機理;Hassanpour和Heppler提出了微極陀螺連續(xù)體的概念，將模型適用性拓展至大轉角。然而，由于連續(xù)分布陀螺在工程中無法實現(xiàn)，很多學者研究了鏈式連接陀螺體、離散分布陀螺柔性體的耦合動力學問題，并將其用于陀螺阻尼器、姿態(tài)和振動抑制等。Hu等將離散的分布式陀螺柔性體擴展到空問結構，研究了奇異性和操縱律。Wu等針對傳統(tǒng)控制方案易出現(xiàn)奇異性的問題，基于斜交構型變速控制力矩陀螺群，以控制力矩陀螺狀態(tài)變量作為系統(tǒng)控制輸人，將控制力矩陀螺的奇異問題轉化為系統(tǒng)狀態(tài)變量與控制輸人受限的控制問題，采用非線性模型預測控制方法實現(xiàn)了航天器的姿態(tài)控制。

在現(xiàn)階段陀螺柔性體的動力學建模中，部分采用的建模思路是模態(tài)疊加法，選取的模態(tài)是未考慮結構和陀螺之問耦合效應的原柔性體結構的固有振動模態(tài)，這種采用原柔性體結構前幾階模態(tài)對陀螺柔性體進行模型降階的方法造成很大誤差。本文將結構和陀螺之問的耦合效應納入有限元離散過程，建立了分布式陀螺柔性體的動力學模型，對比研究了有限元方法和模態(tài)疊加法的計算結果，指出了模態(tài)疊加法的適用性。

1陀螺柔性體動力學精確建模

研究含分布式控制力矩陀螺（Control MomentGyro，cMG）的柔性體結構動力學建模問題。建立固定于地球的慣性坐標系Oe-Xeyeze和第i個CMG框架和轉子的質(zhì)心坐標系Oi-xiyizi，其中xi和yi分別沿框架轉軸和轉子轉軸方向，如圖1所示。假設結構為線彈性、小變形，框架轉角及角速度均為小最。

由上述說明可以發(fā)現(xiàn)，方程（12）可以由方程（9）降階變換得到。即：使用模態(tài)疊加法建模，當選取模態(tài)階數(shù)趨于系統(tǒng)離散自由度時，模態(tài)疊加結果收斂于方程（9）。

需要注意的是，對于陀螺柔性體而言，陀螺耦合效應改變了系統(tǒng)固有屬性，因此在模態(tài)疊加建模過程中采用的模態(tài)信息來源于原柔性體結構，并不是陀螺柔性體結構的真實模態(tài)，將這種不能體現(xiàn)系統(tǒng)真實固有特性的模態(tài)稱為原柔性體模態(tài)。

在采用結構真實模態(tài)進行模態(tài)降階時，真實模態(tài)可以使系統(tǒng)解耦，使用前幾階模態(tài)即可較為準確地描述結構振動;而采用原柔性體模態(tài)進行模態(tài)疊加建模時，所得到的系統(tǒng)動力學的固有特性誤差不僅來源于模態(tài)截斷，更來源于原柔性體模態(tài)，并不能真實描述耦合系統(tǒng)的固有振動。

綜上所述，對于陀螺柔性體結構，通過本文提出的基于有限元離散思想的建模方法，可以得到較為準確的動力學方程并進行模態(tài)分析;而采用模態(tài)疊加法建模時，由于原柔性體模態(tài)未考慮陀螺耦合效應對結構的影響，選取的模態(tài)疊加階數(shù)較低時無法得到較為準確的動力學模型及耦合結構的真實模態(tài)信息。

3算例

3.1CMGs對固有振型影響

研究陀螺轉子角動量對耦合柔性體結構固有特性的影響，將框架與柔性結構固定，即將方程（9）和（12）右端輸人項置零。文獻[1，10]給出了陀螺柔性體的陀螺柔性模態(tài)概念，均表明陀螺柔性體運動可由陀螺柔性模態(tài)（uo，va）描述。參照上述文獻推導過程，對式（9）作同樣處理，即寫成狀態(tài)空問形式

以圖3所示固支約束邊界陀螺柔性梁結構為例，采用有限元法離散為20個梁單元，共有21個節(jié)點，結構總自由度為120。選取節(jié)點3，5，7，9，11，13，15，17，19，21作為控制力矩陀螺的安裝位置。陀螺初始框架坐標系與結構慣性參考系重合，結構參數(shù)如表1所示。梁橫截面積為0.01m×0.02m，材料為鋁合金。

給定陀螺轉子角動量hi=15N·m·s，分別使用有限元離散和6階原柔性體模態(tài)疊加計算陀螺柔性模態(tài)，如圖4所示。

從圖4可以發(fā)現(xiàn)，使用6階原柔性體模態(tài)疊加可以較為準確地模擬1階陀螺柔性模態(tài)，而其余階陀螺柔性模態(tài)誤差會越來越大。模態(tài)疊加思想之所以可以用于降階動力學模型，是因為真實系統(tǒng)模態(tài)可以使質(zhì)量矩陣和剛度矩陣解耦，低階模態(tài)振動能量相對于結構真實振動能量占比較高，高階模態(tài)對結構真實振動影響較小。然而，如果耦合效應影響了系統(tǒng)真實固有特性，改變了結構真實模態(tài)，此時使用原柔性體模態(tài)疊加進行動力學建模，將產(chǎn)生比較大的誤差。

3.2CMGs對固有頻率影響

本節(jié)計算轉子轉速對結構固有頻率的影響，同樣選取圖2所示的約束邊界梁結構。改變各個陀螺的轉子角動量，使其在0-24N·m·s范圍內(nèi)變化，分別使用有限元離散及5，10，20階原柔性體模態(tài)疊加計算結構固有頻率隨角動量的變化，結果如圖5所示。

從圖5（b）可見，當采用5階原柔性體模態(tài)疊加計算時，固有頻率變化趨勢出現(xiàn)明顯錯誤;從圖5（c）可見，模態(tài)疊加階數(shù)提高為10階時，結果趨于圖5（a）有限元離散的結果，但對比A點與B點可以發(fā)現(xiàn)，數(shù)值上仍存在較大誤差;從圖5（d）可見，當模態(tài)階數(shù)為20階時，結果與有限元離散計算趨于一致。

給定轉子角動量15N·m·s，采用本文提出的方程（9）計算陀螺柔性體前4階固有頻率，并與不同階數(shù)原柔性體模態(tài)疊加計算結果對比，結果如表2所示。從表2可見，對于圖2所示構型，針對陀螺柔性體前4階固有頻率，所選取的原柔性體模態(tài)階數(shù)需達到10階時，才可以使誤差降到5%以下。

對于不同構型或不同轉子角動量，由于耦合效應對結構固有特性影響程度不同，原柔性體模態(tài)疊加計算誤差也不同，因此對于不同構型的陀螺柔性體建模，難以事先確定可以實現(xiàn)足夠精度的原柔性體模態(tài)階數(shù)。為此，建立如圖6所示不同陀螺柔性梁構型，這里初始轉子角動量方向分別指向y軸和z軸。改變各個轉子角動量，使其在0-24N·m·s內(nèi)變化，采用本文提出的方程（9）計算結構固有頻率隨角動量變化趨勢，結果如圖7所示。

對比圖5和7可以發(fā)現(xiàn)，不同構型的陀螺耦合效應對結構固有特性影響不同。例如，y向構型的陀螺耦合效應對結構原始1階、3階和5階固有振動沒有影響;z向構型的陀螺耦合效應對結構原始2階和4階固有振動沒有影響。通常，陀螺耦合效應使結構固有頻率降低，特殊情況下局部頻率上升，因此可以通過合理的配置使結構達到期望的動力學特性。

同樣地，給定轉子角動量15N·m·s，使用原柔性體模態(tài)疊加法，計算前4階y和z向構型陀螺柔性梁固有頻率，結果如表3和4所示?？梢姡嬎阏`差在5%以下所需原柔性體模態(tài)階數(shù)分別為37階和48階。實際應用中，模態(tài)疊加使用的模態(tài)階數(shù)一般不會超過10階，若所選模態(tài)序列為結構真實模態(tài)序列，選取前幾階即可準確描述相應的模態(tài)振動;若選取的模態(tài)序列為原柔性體模態(tài)，為得到足夠的精度，所需模態(tài)階數(shù)取決于耦合效應對結構固有特性的影響。若耦合效應對結構固有特性改變較小，較少階原柔性體模態(tài)疊加可以達到較高的精度，若耦合效應對結構真實模態(tài)改變較大，原柔性體模態(tài)疊加會造成很大的誤差。

4結論

對于陀螺柔性體結構，結構變形引起的陀螺耦合效應可以改變結構的固有特性。一般情況下，陀螺耦合效應使結構固有頻率下降，但不同的陀螺配置和轉子角動量對固有特性影響不同，特殊構型可以使結構部分固有頻率上升。由于結構真實模態(tài)受陀螺影響而發(fā)生改變，用原柔性體模態(tài)作模態(tài)疊加建模無法得到真實的降階模型，產(chǎn)生的誤差取決于耦合效應對結構真實模態(tài)的影響程度。因此在對任一特定的陀螺柔性體結構建模前，如果采用模態(tài)疊加方法，需要對其進行陀螺耦合效應及收斂性分析。