李海超 龐福振 李玉慧 繆旭弘

摘要：提出一種半解析法來分析圓柱殼結(jié)構(gòu)自由振動特性。將圓柱殼殼結(jié)構(gòu)在軸向方向分解為若干殼段，用沿軸向的Jaeobi多項式和沿周向的Fourier級數(shù)來表示各個殼段的位移函數(shù)，并采用罰參數(shù)法對圓柱殼結(jié)構(gòu)的邊界條件和殼段問的連續(xù)性條件進行模擬;最后，基于Rayleigh-Ritz法求得圓柱殼結(jié)構(gòu)的自由振動頻率。研究表明，該方法具有較好的收斂性，與公開發(fā)表文獻一致性較高，研究成果可為復(fù)雜邊界條件下圓柱殼結(jié)構(gòu)自由振動特性分析提供數(shù)據(jù)積累和方法依據(jù)。

關(guān)鍵詞：自由振動;圓柱殼結(jié)構(gòu);彈簧參數(shù);半解析法

中圖分類號：0326;TB123 文獻標志碼：A 文章編號：1004-4523（2020）01-0056-08

DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2020.01.006

引言

圓柱殼結(jié)構(gòu)因具有良好的結(jié)構(gòu)性能，在民用機械、船舶、高鐵、航空航天等各個領(lǐng)域應(yīng)用廣泛。因此，開展圓柱殼結(jié)構(gòu)自由振動特性分析研究，獲取圓柱殼結(jié)構(gòu)復(fù)雜邊界條件下典型特征頻率，對指導(dǎo)相應(yīng)的工程應(yīng)用具有重要的意義。在此研究方面，孫述鵬通過解析分析與數(shù)值計算相結(jié)合的手段，研究了轉(zhuǎn)動薄壁圓柱殼的行波振動固有特性和響應(yīng)特性。周海軍通過引人波傳播方法，解決了圓柱殼彈性支撐邊界自由振動的求解問題。sheng等建立了一個理論模型來研究加熱功能梯度圓柱殼在熱環(huán)境下的動力學(xué)穩(wěn)定性和非線性振動。Xing等提出了Donnell-Mushtari殼理論圓柱殼自由振動的精確解。Wang等基于改進傅里葉方法，開展了中等厚度開口圓柱殼自由振動特性分析。李文達等基于Love殼體理論，對功能梯度圓柱殼自由振動行波特性及邊界約束影響進行了分析。Lee和Kwak基于Ray-leigh-Ritz法開展了一般邊界條件下圓柱殼結(jié)構(gòu)自由振動特性分析，并將不同理論計算結(jié)果進行了對比，總結(jié)了各個理論方法的優(yōu)缺點。Ni等基于哈密頓原理開展了一般邊界條件下功能梯度圓柱殼自由振動特性分析。陳旭東等采用動力剛度法開展了中厚圓柱殼自由振動特性分析。

由以上分析可知，現(xiàn)有文獻基于數(shù)值預(yù)報法、改進傅里葉法、Rayleigh-Ritz法以及哈密頓原理等實現(xiàn)了圓柱殼結(jié)構(gòu)自由振動特性分析，但尚未有統(tǒng)一的求解公式進行復(fù)雜邊界條件下圓柱殼結(jié)構(gòu)的自由振動特性分析。為此，本文基于Jacobi-Ritz法提出針對復(fù)雜邊界條件下圓柱殼結(jié)構(gòu)自由振動特性的統(tǒng)一求解公式，其中位移函數(shù)由軸向方向的Jacobi多項式和周向方向的傅里葉級數(shù)表示，邊界條件和連續(xù)性條件由彈簧剛度值來模擬。因此，本文在求解圓柱殼結(jié)構(gòu)自由振動時邊界條件可以任意選取，且統(tǒng)一形式的Jacobi多項式較改進傅里葉法、Ray-leigh-Ritz法等更容易選取位移函數(shù)，更有利于建立統(tǒng)一的求解方法。

1理論方法

1.1圓柱殼結(jié)構(gòu)幾何模型

如圖1所示，圓柱殼結(jié)構(gòu)是由母線ab繞軸Ox旋轉(zhuǎn)而成，母線ab長為L，厚度為h，母線距旋轉(zhuǎn)軸的距離為R，假定圓柱殼結(jié)構(gòu)由均質(zhì)和各向同性材料組成。

由表2可知，隨著子結(jié)構(gòu)劃分殼段數(shù)的不斷增加，圓柱殼結(jié)構(gòu)頻率逐漸趨于收斂;同時，當子結(jié)構(gòu)分段數(shù)等于5時，圓柱殼結(jié)構(gòu)頻率已具有較高的精度，此后繼續(xù)增加子結(jié)構(gòu)分段數(shù)對計算精度的影響較小。

2.1.3Jacobi多項式參數(shù)的影響

圓柱殼材料和結(jié)構(gòu)參數(shù)與圖2相同;結(jié)構(gòu)分段數(shù)H=5，M=8，以a=β=0為基準來衡量剛性固定邊界條件下不同Jacobi多項式參數(shù)取值對計算結(jié)果影響的相對誤差百分比。

由圖3可知，在其他參數(shù)一定條件下，Jacobi多項式參數(shù)a，β對圓柱殼結(jié)構(gòu)振動特性的影響較小，不同Jacobi多項式參數(shù)下的相對誤差不大于2×10^-6，對計算結(jié)果的影響可忽略不計。說明Jacobi多項式可在允許范圍內(nèi)任意取值，也進一步證實了本文提出的統(tǒng)一Jacobi多項式是切實可行的。

2.1.4最大容許函數(shù)取值的影響

圓柱殼材料和結(jié)構(gòu)參數(shù)與圖2相同;結(jié)構(gòu)分段數(shù)H=5，a=β=0。剛性固定邊界條件下最大容許函數(shù)對圓柱殼結(jié)構(gòu)振動特性的影響如圖4所示。

由圖4可知，當最大容許函數(shù)M不小于4時，計算結(jié)果已趨于穩(wěn)定，此后最大容許函數(shù)M的增加對增加計算精度影響較小，無特殊說明情況下本文選取M=8。

2.2計算結(jié)果的有效性驗證

前文已驗證本文方法收斂性，為將本文方法應(yīng)用于復(fù)雜邊界條件下圓柱殼結(jié)構(gòu)自由振動特性分析，需開展本文方法的有效性驗證，將一般邊界條件下圓柱殼結(jié)構(gòu)振動頻率與文獻[13]進行比對。圓柱殼結(jié)構(gòu)、材料參數(shù)取值等與圖2相同，對比結(jié)果如表3所示。

由表3可知，本文方法與文獻[13]具有較高的一致性，說明本文方法可用于一般邊界條件下圓柱殼結(jié)構(gòu)自由振動特性分析。實際工程應(yīng)用中，圓柱殼結(jié)構(gòu)邊界條件往往更加復(fù)雜，為將圓柱殼結(jié)構(gòu)邊界條件擴展到復(fù)雜邊界條件，需進行彈性邊界條件下圓柱殼結(jié)構(gòu)自由振動有效性驗證。彈性邊界條件下圓柱殼結(jié)構(gòu)自由振動頻率對比如表4所示。

由表4可知，彈性邊界條件下，本文方法與文獻[13]同樣具有較高的一致性，由此可將本文方法擴展到復(fù)雜邊界條件下圓柱殼結(jié)構(gòu)自由振動特性分析。彈性邊界條件下本文方法的誤差主要來自表1彈性剛度值大小的選取，當選取彈性范圍內(nèi)更合適的彈簧剛度值，可使計算誤差進一步減小。同時，由表4可知，隨著周向波數(shù)n的增大，不同彈性邊界條件對圓柱殼結(jié)構(gòu)自由振動特性影響逐漸減小。

2.3復(fù)雜邊界條件下圓柱殼結(jié)構(gòu)自由振動特性分析

基于上述研究，開展復(fù)雜邊界條件下圓柱殼結(jié)構(gòu)自由振動特性研究，為復(fù)雜邊界條件下圓柱殼結(jié)構(gòu)自由振動分析提供數(shù)據(jù)參考。復(fù)雜邊界條件下圓柱殼結(jié)構(gòu)自由振動特性如表5所示。

由表5可知，不同邊界條件對圓柱殼結(jié)構(gòu)振動特性的影響存在較大差異。同時，同一周向模態(tài)下，軸向模態(tài)數(shù)越大，圓柱殼結(jié)構(gòu)固有頻率越高。

為探究圓柱殼結(jié)構(gòu)尺度參數(shù)對其自由振動特性的影響規(guī)律，開展不同長度半徑比值下圓柱殼結(jié)構(gòu)自由振動特性研究。圓柱殼材料參數(shù)同圖2，結(jié)構(gòu)分段數(shù)H=5，M=8，a=β=0，不同長度半徑比值下圓柱殼結(jié)構(gòu)自由振動特性如圖5所示。

由圖5可知，同一周向和軸向波數(shù)下，圓柱殼長度與半徑的比值越大，自由振動頻率越小;同一周向波數(shù)下，圓柱殼結(jié)構(gòu)自由振動頻率隨軸向波數(shù)的增加逐漸增大。

3結(jié)論

本文基于Jacobi-Ritz法提出統(tǒng)一的求解公式，開展了任意邊界條件下圓柱殼結(jié)構(gòu)自由振動特性分析。通過本文研究，可得如下主要結(jié)論：

1.圓柱殼結(jié)構(gòu)收斂性與彈簧剛度值大小、殼段數(shù)、Jacobi參數(shù)及最大容許函數(shù)選取等有關(guān)。當彈簧剛度值K≥10³E時可視為剛性邊界條件;當彈簧剛度值K=0時可視為自由邊界條件;當彈簧剛度值在10^-4E≤K≤10^-2E范圍內(nèi)時可視為彈性邊界條件。殼段數(shù)劃分越多，本文方法求解精度越高，計及求解效率等因素，殼段數(shù)劃分不宜過大;Jacobi多項式參數(shù)對圓柱殼結(jié)構(gòu)自由振動頻率影響較小，可忽略不計;最大容許函數(shù)M越大，計算精度越高。

2.一般邊界條件下，基于Jacobi-Ritz法的圓柱殼結(jié)構(gòu)振動特性分析結(jié)果與文獻[13]計算結(jié)果吻合較好，說明本文方法可用于復(fù)雜邊界條件下圓柱殼結(jié)構(gòu)自由振動特性分析。

3.給出了復(fù)雜邊界條件下圓柱殼結(jié)構(gòu)自由振動特性規(guī)律，為圓柱殼結(jié)構(gòu)自由振動特性分析提供了數(shù)據(jù)積累及方法依據(jù)。

4.同一周向和軸向波數(shù)下，圓柱殼長度與半徑的比值越大，自由振動頻率越小;同一周向波數(shù)下，圓柱殼結(jié)構(gòu)自由振動頻率隨軸向波數(shù)的增加逐漸增大。