鐘世萍，曾姚姚

(贛南師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，江西 贛州 341000)

1 介紹

附加affinor結(jié)構(gòu)q和度量g的微分流形(M,g,q)的研究受到廣泛的關(guān)注，其中很多學(xué)者研究的是q滿足一些二階的恒等式q2=±id(稱為近復(fù)結(jié)構(gòu)或仿近復(fù)結(jié)構(gòu))[1-4]，另外K.Yano 和S.Ishihara[5]系統(tǒng)地研究了q滿足三階方程q3+q=0的流形(M,g,q).此外，I. Dokuzova 等人不僅研究了循環(huán)結(jié)構(gòu)q滿足三階恒等式q3=±id,q≠id的流形(M,g,q)，而且還探討了(反)循環(huán)結(jié)構(gòu)q滿足四階恒等式q4=id,q2≠id和q4=-id的流形(M,g,q)等等[6-11].最近，I. Dokuzova等人[8,10]討論了具有特殊循環(huán)結(jié)構(gòu)的4-維李群.本文將研究具有反循環(huán)和anti-abelian結(jié)構(gòu)的4-維李群.

2 記號(hào)和預(yù)備知識(shí)

設(shè)M是一個(gè)4-維黎曼流形，在M上任一點(diǎn)p的切空間TpM上賦予一個(gè)張量結(jié)構(gòu)S.在給定一個(gè)基底時(shí)，S是一個(gè)反循環(huán)矩陣(稱S為反循環(huán)結(jié)構(gòu))，具體如下：

(1)

則S有以下性質(zhì)S4=-id,

(2)

設(shè)度量g和結(jié)構(gòu)S滿足

g(Sx,Sy)=g(x,y),x,y∈Γ(TpM).

(3)

由(1)和(3)可得，度量g結(jié)構(gòu)如下：

(4)

在本文中x,y,z,u都是代表M上的光滑向量場(chǎng)或TpM中向量.本文使用Einstein求和符號(hào)，i,j,k,a,b取值始終為{1,2,3,4}.

R(x,y)z=xyz-yxz-[x,y]z,

(5)

R(x,y,z,u)=g(R(x,y)z,u).

(6)

Ricci張量ρ，數(shù)量曲率τ以及它的關(guān)聯(lián)的數(shù)量曲率τ*分別定義為

ρ(y,z)=gijR(ei,y,z,ej),

(7)

(8)

(9)

3 4-維李群(G,g,S,[,])

設(shè)G是4-維實(shí)李群，(η,[,])是在基{x1,x2,x3,x4}下的李代數(shù)，定義反循環(huán)結(jié)構(gòu)S，度量g和括號(hào)[,]：

Sx1=x2,Sx2=x3,Sx3=x4,Sx4=-x1,

(10)

(11)

?Sxi,Sxj」=-?xi,xj」,i.e.,S是anti-abelian 結(jié)構(gòu).

(12)

以此方式引入的流形用(G,g,S,[,])表示，稱(G,g,S,[,])為具有反循環(huán)和anti-abelian結(jié)構(gòu)的4-維李群.

下面，我們考慮一類4-維李群(G,g,S,[,])的曲率性質(zhì).設(shè)

[x1,x2]=-[x1,x4]=-[x2,x3]=[x3,x4]=λ1x1+λ2x2+λ3x3+λ4x4

[x1,x3]=-[x2,x4]=(-λ2-λ4)x1+(λ1-λ3)x2+(λ2-λ4)x3+(λ1+λ3)x4,

(13)

其中λi∈R.我們發(fā)現(xiàn)由(13)確定的李代數(shù)(η,[,])所決定的李群(G,g,S,[,])具有一個(gè)anti-abelian結(jié)構(gòu)S.上述(13)可以通過(10)(11)以及Jacobi恒等式得到.

引理1xixj可得到如下結(jié)果：

x1x1=λ1(x4-x2)+x3(λ2+λ4),x1x2=λ1x1+λ3x3,x1x3=λ3(x4-x2)-x1(λ2+λ4),

(14)

證明由(11)(13)以及著名的Koszul公式2g(xixj,xk)=g([xi,xj],xk+g([xk,xi],xj)+g([xk,xj],xi),我們可以計(jì)算xixj如式(14).

引理2曲率張量R=Rijkl的非零部分，結(jié)果如下：

(15)

證明利用(5)(6)(11)(13)(14)，計(jì)算得到曲率張量R=Rijkl的非零部分如式(15).

引理3Ricci張量ρ=(ρij)如下：

(16)

證明根據(jù)(7)(11)(15)，計(jì)算得到Ricci張量ρ=(ρij)如式(16).

(17)

引理4數(shù)量曲率τ以及它的關(guān)聯(lián)量τ*如下：

(18)

證明應(yīng)用(8)(11)(16)(17)，得到數(shù)量曲率τ以及它的關(guān)聯(lián)量τ*如式(18).

根據(jù)引理2-4，我們有

定理1若(G,η,S)是一個(gè)具有如(13)所示的李代數(shù)(η,[,])的流形，則：

根據(jù)定理1，我們有

推論1若(G,η,S)是一個(gè)有如下所示的李代數(shù)(η,[,])的流形[x1,x2]=-[x1,x4]=-[x2,x3]=[x3,x4]=λ1x1+λ1x3+λ4x4,[x1,x3]=-[x2,x4]=-λ4x1-λ4x3+2λ1x4,則

推論2若(G,η,S)是一個(gè)帶有如下所示的李代數(shù)(η,[,])的流形

[x1,x2]=-[x1,x4]=-[x2,x3]=[x3,x4]=(λ2+λ4)x1+λ2x2+(λ4-λ2)x3+λ4x4,

[x1,x3]=-[x2,x4]=(-λ2-λ4)x1+2λ2x2+(λ2-λ4)x3+2λ4x4,則

R1213=R2434=-2(λ2+λ4)λ4,R1224=R1334=2λ2(λ4-λ2),

R1413=R2423=2(λ2+λ4)λ2,R2414=R2313=2(λ4-λ2)λ4,R1212=R2334=-R1214=-2λ2λ4.

ρ23=-4(λ4+λ2)λ4,ρ24=-4λ2λ4,ρ34=-4(λ4+λ2)λ2.