亚洲免费av电影一区二区三区,日韩爱爱视频,51精品视频一区二区三区,91视频爱爱,日韩欧美在线播放视频,中文字幕少妇AV,亚洲电影中文字幕,久久久久亚洲av成人网址,久久综合视频网站,国产在线不卡免费播放

        ?

        覆蓋同余式組及其應用

        2020-05-18 05:05:24
        關鍵詞:合數(shù)素數(shù)所求

        華 程

        (泰州學院 數(shù)理學院,江蘇 泰州 225300)

        0 引言及主要結論

        若每個整數(shù)都至少滿足同余式組

        x≡a1(modn1),x≡a2(modn2),…,x≡at(modnt)

        (1)

        中的1個,這里1

        關于覆蓋同余式組的性質(zhì)與構造已有許多結果,具體內(nèi)容可參考文獻[1~4]。

        由于覆蓋同余式通過一切非負整數(shù),故可用來解決一類與合數(shù)有關的數(shù)論問題。1980年,著名數(shù)學家Erd?s曾提出“能否找到一個正整數(shù)k,使得k·2n+1對每一個非負整數(shù)n均為合數(shù)?”的求解問題。文獻[5]利用覆蓋同余式組證明了k的存在性,并給出21類這樣的k值。文獻[6]證明了當素數(shù)p=7、13及p≡5(mod6)時,存在正整數(shù)k,使得2kpn+1對每一個非負整數(shù)n均為合數(shù),并猜測當素數(shù)p≡1(mod6)時,結論仍成立。文獻[7]證明了當素數(shù)p=19、31、37、43、61、67、73、79、97時,結論成立。至此提出如下猜想:

        猜想 若素數(shù)p≡1(mod6),則存在正整數(shù)k,使得2kpn+1對每一個非負整數(shù)n均為合數(shù)。

        2017年,文獻[7]證明了當素數(shù)p≡19、31、37、43、61、67、73、79、97時,猜想成立。

        至此,已經(jīng)證明當素數(shù)p≡1(mod6)且7≤p<100時, 猜想成立。 作為該問題的延續(xù), 本文對p≡1(mod6)(100

        定理 設素數(shù)p=103、109、127、139、151、157、163、181、193、199,則存在正整數(shù)k,使得2kpn+1對每一個非負整數(shù)n均為合數(shù)。

        1 引理

        引理1[6]n≡0(mod2),n≡0(mod3),n≡1(mod4),n≡5(mod6),n≡7(mod12)是一組覆蓋同余式。

        引理2[8](中國剩余定理)設m1,m2,…,mk(k≥2)是兩兩互素的正整數(shù),令m1m2…mk=M=m1M1=m2M2=…=mkMk,則同余方程組

        x≡Ci(modmi),i=1,…,k

        有唯一解

        這里Miαi≡1(modmi)(i=1,…,k)。

        2 定理的證明

        情形1p=103

        因為1032≡1(mod3),1033≡1(mod17),1034≡1(mod5),1036≡1(mod7),10312≡1(mod13),

        所以

        當n≡0(mod2),即n=2m時,有2k·103n+1=2k·1032m+1≡2k+1(mod3);

        當n≡0(mod3),即n=3m時,有2k·103n+1=2k·1033m+1≡2k+1(mod17);

        當n≡1(mod4),即n=4m+1時,有2k·103n+1=2k·1034m+1+1≡k+1(mod5);

        當n≡5(mod6),即n=6m+5時,有2k·103n+1=2k·1036m+5+1≡ -k+1(mod7);

        當n≡7(mod12),即n=12m+7時,有2k·103n+1=2k·10312m+7+1≡ -2k+1(mod13)。

        因此,只需k滿足下列同余方程組

        (2)

        由引理1知,對每一個非負整數(shù)n,2k·103n+1至少被3、17、5、7、13中一數(shù)整除,因而2k·103n+1必是1個合數(shù)。

        由計算知,(2)式等價于下列同余方程組

        (3)

        由于模m1=3,m2=17,m3=5,m4=7,m5=13兩兩互素,故(3)式可用引理2求得k≡2269(mod23205)。于是,所求的正整數(shù)k=2269+23205t,這里t是任意非負整數(shù)。

        情形2p=109

        因為1092≡1(mod3),1093≡1(mod7),1094≡1(mod5),1096≡1(mod11),10912≡1(mod13),

        所以

        當n≡0(mod2),即n=2m時,有2k·109n+1=2k·1092m+1≡2k+1(mod3);

        當n≡0(mod3),即n=3m時,有2k·109n+1=2k·1093m+1≡2k+1(mod7);

        當n≡1(mod4),即n=4m+1時,有2k·109n+1=2k·1094m+1+1≡ -2k+1(mod5);

        當n≡5(mod6),即n=6m+5時,有2k·109n+1=2k·1096m+5+1≡2k+1(mod11);

        當n≡7(mod12),即n=12m+7時,有2k·109n+1=2k·10912m+7+1≡3k+1(mod13)。

        因此,只需k滿足下列同余方程組

        (4)

        由引理1知,對每一個非負整數(shù)n,2k·109n+1至少被3、7、5、11、13中一數(shù)整除,因而2k·109n+1必是1個合數(shù)。

        由計算知,(4)式等價于下列同余方程組

        (5)

        由于模m1=3,m2=7,m3=5,m4=11,m5=13兩兩互素,故(5)式可用引理2求得k≡7843(mod15015)。于是,所求的正整數(shù)k=7843+15015t,這里t是任意非負整數(shù)。

        情形3p=127

        因為1272≡1(mod3),1273≡1(mod7),1274≡1(mod5),1276≡1(mod13),12712≡1(mod457),

        所以

        當n≡0(mod2),即n=2m時,有2k·127n+1=2k·1272m+1≡2k+1(mod3);

        當n≡0(mod3),即n=3m時,有2k·127n+1=2k·1273m+1≡2k+1(mod7);

        當n≡1(mod4),即n=4m+1時,有2k·127n+1=2k·1274m+1+1≡ -k+1(mod5);

        當n≡5(mod6),即n=6m+5時,有2k·127n+1=2k·1276m+5+1≡ -6k+1(mod13);

        當n≡7(mod12),即n=12m+7時,有2k·127n+1=2k·12712m+7+1≡203k+1(mod457)。

        因此,只需k滿足下列同余方程組

        (6)

        由引理1知,對每一個非負整數(shù)n,2k·127n+1至少被3、7、5、13、457中一數(shù)整除,因而2k·127n+1必是1個合數(shù)。

        由計算知,(6)式等價于下列同余方程組

        (7)

        由于模m1=3,m2=7,m3=5,m4=13,m5=457兩兩互素,故(7)式可用引理2求得k≡356926(mod623805)。于是,所求的正整數(shù)k=356926+623805t,這里t是任意非負整數(shù)。

        情形4p=139

        因為1392≡1(mod5),1393≡1(mod3),1394≡1(mod7),1396≡1(mod13).13912≡1(mod23),

        所以

        當n≡0(mod2),即n=2m時,有2k·139n+1=2k·1392m+1≡2k+1(mod5);

        當n≡0(mod3),即n=3m時,有2k·139n+1=2k·1393m+1≡2k+1(mod3);

        當n≡1(mod4),即n=4m+1時,有2k·139n+1=2k·1394m+1+1≡-2k+1(mod7);

        當n≡5(mod6),即n=6m+5時,有2k·139n+1=2k·1396m+5+1≡6k+1(mod13);

        當n≡7(mod12),即n=12m+7時,有2k·139n+1=2k·13912m+7+1≡2k+1(mod23)。

        因此,只需k滿足下列同余方程組

        (8)

        由引理1知,對每一個非負整數(shù)n,2k·139n+1至少被5、3、7、13、23中一數(shù)整除,因而2k·139n+1必是1個合數(shù)。

        由計算知,(8)式等價于下列同余方程組

        (9)

        由于模m1=5,m2=3,m3=7,m4=13,m5=23兩兩互素,故(9)式可用引理2求得k≡21907(mod31395)。于是,所求的正整數(shù)k=21907+31395t,這里t是任意非負整數(shù)。

        情形5p=151

        因為1512≡1(mod3),1513≡1(mod7),1514≡1(mod13),1516≡1(mod5),15112≡1(mod19),

        所以

        當n≡0(mod2),即n=2m時,有2k·151n+1=2k·1512m+1≡2k+1(mod3);

        當n≡0(mod3),即n=3m時,有2k·151n+1=2k·1513m+1≡2k+1(mod7);

        當n≡1(mod4),即n=4m+1時,有2k·151n+1=2k·1514m+1+1≡3k+1(mod13);

        當n≡5(mod6),即n=6m+5時,有2k·151n+1=2k·1516m+5+1≡2k+1(mod5);

        當n≡7(mod12),即n=12m+7時,有2k·151n+1=2k·15112m+7+1≡ -2k+1(mod19)。

        因此,只需k滿足下列同余方程組

        (10)

        由引理1知,對每一個非負整數(shù)n,2k·151n+1至少被3、7、13、5、19中一數(shù)整除,因而2k·151n+1必是1個合數(shù)。

        由計算知,(10)式等價于下列同余方程組

        (11)

        由于模m1=3,m2=7,m3=13,m4=5,m5=19兩兩互素,故(11)式可用引理2求得k≡3202(mod25935)。于是,所求的正整數(shù)k=3202+25935t,這里t是任意非負整數(shù)。

        情形6p=157

        因為1572≡1(mod3),1573≡1(mod13),1574≡1(mod5),1576≡1(mod7),15712≡1(mod17),

        所以

        當n≡0(mod2),即n=2m時,有2k·157n+1=2k·1572m+1≡2k+1(mod3);

        當n≡0(mod3),即n=3m時,有2k·157n+1=2k·1573m+1≡2k+1(mod13);

        當n≡1(mod4),即n=4m+1時,有2k·157n+1=2k·1574m+1+1≡-k+1(mod5);

        當n≡5(mod6),即n=6m+5時,有2k·157n+1=2k·1576m+5+1≡3k+1(mod7);

        當n≡7(mod12),即n=12m+7時,有2k·157n+1=2k·15712m+7+1≡9k+1(mod17)。

        因此,只需k滿足下列同余方程組

        (12)

        由引理1知,對每一個非負整數(shù)n,2k·157n+1至少被3、13、5、7、17中一數(shù)整除,因而2k·157n+1必是1個合數(shù)。

        由計算知,(12)式等價于下列同余方程組

        (13)

        由于模m1=3,m2=13,m3=5,m4=7,m5=17兩兩互素,故(13)式可用引理2求得k≡20806(mod23205)。于是,所求的正整數(shù)k=20806+23205t,這里t是任意非負整數(shù)。

        情形7p=163

        因為1632≡1(mod3),1633≡1(mod7),1634≡1(mod5),1636≡1(mod19),16312≡1(mod13),

        所以

        當n≡0(mod2),即n=2m時,有2k·163n+1=2k·1632m+1≡2k+1(mod3);

        當n≡0(mod3),即n=3m時,有2k·163n+1=2k·1633m+1≡2k+1(mod7);

        當n≡1(mod4),即n=4m+1時,有2k·163n+1=2k·1634m+1+1≡k+1(mod5);

        當n≡5(mod6),即n=6m+5時,有2k·163n+1=2k·1636m+5+1≡ -5k+1(mod19);

        當n≡7(mod12),即n=12m+7時,有2k·163n+1=2k·16312m+7+1≡ -k+1(mod13)。

        因此,只需k滿足下列同余方程組

        (14)

        由引理1知,對每一個非負整數(shù)n,2k·163n+1至少被3、7、5、19、13中一數(shù)整除,因而2k·163n+1必是1個合數(shù)。

        由計算知,(14)式等價于下列同余方程組

        (15)

        由于模m1=3,m2=7,m3=5,m4=19,m5=13兩兩互素,故(15)式可用引理2求得k≡23089(mod25935)。于是,所求的正整數(shù)k=23089+25935t,這里t是任意非負整數(shù)。

        情形8p=181

        因為1812≡1(mod3),1813≡1(mod5),1814≡1(mod7),1816≡1(mod13),18112≡1(mod31),

        所以

        當n≡0(mod2),即n=2m時,有2k·181n+1=2k·1812m+1≡2k+1(mod3)

        當n≡0(mod3),即n=3m時,有2k·181n+1=2k·1813m+1≡2k+1(mod5)

        當n≡1(mod4),即n=4m+1時,有2k·181n+1=2k·1814m+1+1≡ -2k+1(mod7)

        當n≡5(mod6),即n=6m+5時,有2k·181n+1=2k·1816m+5+1≡ -2k+1(mod13)

        當n≡7(mod12),即n=12m+7時,有2k·181n+1=2k·18112m+7+1≡ -10k+1(mod31)。

        因此,只需k滿足下列同余方程組

        (16)

        由引理1知,對每一個非負整數(shù)n,2k·181n+1至少被3、5、7、13、31中一數(shù)整除,因而2k·181n+1必是1個合數(shù)。

        由計算知,(16)式等價于下列同余方程組

        (17)

        由于模m1=3,m2=5,m3=7,m4=13,m5=31兩兩互素,故(17)式可用引理2求得k≡34717(mod42315)。于是,所求的正整數(shù)k=34717+42315t,這里t是任意非負整數(shù)。

        情形9p=193

        因為1932≡1(mod3),1933≡1(mod7),1934≡1(mod5),1936≡1(mod97),19312≡1(mod13),

        所以

        當n≡0(mod2),即n=2m時,有2k·193n+1=2k·1932m+1≡2k+1(mod3);

        當n≡0(mod3),即n=3m時,有2k·193n+1=2k·1933m+1≡2k+1(mod7);

        當n≡1(mod4),即n=4m+1時,有2k·193n+1=2k·1934m+1+1≡k+1(mod5);

        當n≡5(mod6),即n=6m+5時,有2k·193n+1=2k·1936m+5+1≡ -2k+1(mod97);

        當n≡7(mod12),即n=12m+7時,有2k·193n+1=2k·19312m+7+1≡4k+1(mod13)。

        因此,只需k滿足下列同余方程組

        (18)

        由引理1知,對每一個非負整數(shù)n,2k·193n+1至少被3、7、5、97、13中一數(shù)整除,因而2k·193n+1必是1個合數(shù)。

        由計算知,(18)式等價于下列同余方程組

        (19)

        由于模m1=3,m2=7,m3=5,m4=97,m5=13兩兩互素,故(19)式可用引理2求得k≡66979(mod132405)。于是,所求的正整數(shù)k=66979+132405t,這里t是任意非負整數(shù)。

        情形10p=199

        因為1992≡1(mod3),1993≡1(mod11),1994≡1(mod5),1996≡1(mod7),19912≡1(mod13),

        所以

        當n≡0(mod2),即n=2m時,有2k·199n+1=2k·1992m+1≡2k+1(mod3);

        當n≡0(mod3),即n=3m時,有2k·199n+1=2k·1993m+1≡2k+1(mod11);

        當n≡1(mod4),即n=4m+1時,有2k·199n+1=2k·1994m+1+1≡ -2k+1(mod5);

        當n≡5(mod6),即n=6m+5時,有2k·199n+1=2k·1996m+5+1≡3k+1(mod7);

        當n≡7(mod12),即n=12m+7時,有2k·199n+1=2k·19912m+7+1≡ -5k+1(mod13)。

        因此,只需k滿足下列同余方程組

        (20)

        由引理1知,對每一個非負整數(shù)n,2k·199n+1至少被3,11,5,7,13中一數(shù)整除,因而2k·199n+1必是1個合數(shù)。

        由計算知,(20)式等價于下列同余方程組

        (21)

        由于模m1=3,m2=11,m3=5,m4=7,m5=13兩兩互素,故(21)式可用引理2求得k≡1633(mod15015)。于是,所求的正整數(shù)k=1633+15015t,這里t是任意非負整數(shù)。

        定理得證。

        3 結 論

        本文定理進一步支持了文獻[6]中提出的猜想,具體給出了使2kpn+1(10013,使q|(p3-1),即可證猜想成立。

        表1 p與q的取值

        通過表1發(fā)現(xiàn),當p≡1(mod6)(7≤p<1000)時,猜想都成立。

        猜你喜歡
        合數(shù)素數(shù)所求
        孿生素數(shù)
        兩個素數(shù)平方、四個素數(shù)立方和2的整數(shù)冪
        無所求
        關于兩個素數(shù)和一個素數(shù)κ次冪的丟番圖不等式
        三角函數(shù)化簡求值四注意
        奇妙的素數(shù)
        感恩
        黃河之聲(2016年24期)2016-02-03 09:01:52
        奇合數(shù)的構成規(guī)律研究
        同循合數(shù)
        對素數(shù)(質(zhì)數(shù))一些特性的探討
        97福利视频| 中文字幕日本人妻久久久免费| 色老板精品视频在线观看| 国产av天堂成人网| 精品国产又大又黄又粗av| 被灌醉的日本人妻中文字幕| 乱码av麻豆丝袜熟女系列 | 97av在线播放| 日本一区二区三区清视频| 97人伦影院a级毛片| 亚洲学生妹高清av| 欧美高h视频| 亚洲一区二区三区在线看| 97人妻人人做人碰人人爽| 久久国产成人午夜av影院| 久久国产香蕉一区精品天美| 国产视频激情视频在线观看| 人人摸人人搞人人透| 亚洲日本va中文字幕久久| 国产高跟丝袜在线诱惑| 精品人妻va一区二区三区| 国产免费人成视频在线观看| 国产精品乱一区二区三区| 亚洲av国产精品色a变脸| 亚洲中国精品精华液| 日本又黄又爽gif动态图| 午夜爽毛片| 全亚洲高清视频在线观看| 狠狠躁夜夜躁人人躁婷婷视频| 日韩在线免费| 色婷婷亚洲一区二区在线| 日韩欧美中文字幕公布| 无码国产色欲xxxxx视频| 色婷婷丁香综合激情| 青青草成人免费在线视频| 狠狠色婷婷久久一区二区三区| 国产欧美久久久另类精品| 白白在线免费观看视频| 国产午夜精品av一区二区麻豆| 精品一区二区三区在线观看视频 | 日本a在线天堂|