何春生

(北京市第八十中學(xué) 北京 100102)

1 問(wèn)題的提出

溫度是分子平均動(dòng)能的標(biāo)志(人教版用詞)或量度(教科版用詞).對(duì)同種物質(zhì)，溫度越高，分子運(yùn)動(dòng)越劇烈，分子的平均動(dòng)能越大.但對(duì)不同種物質(zhì)，如何比較分子的平均動(dòng)能呢？既然說(shuō)溫度是分子平均動(dòng)能的標(biāo)志，那就是說(shuō)溫度相同時(shí)不同種類的分子平均動(dòng)能也相等.這個(gè)結(jié)論是如何得到的呢？高中學(xué)生受認(rèn)知水平的限制，很難在這個(gè)學(xué)段把這個(gè)問(wèn)題研究清楚.

筆者在教學(xué)過(guò)程中，通過(guò)建構(gòu)理想氣體模型，結(jié)合高中學(xué)生已經(jīng)掌握的彈性碰撞模型，使用動(dòng)量和能量的相關(guān)知識(shí)，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到，分子質(zhì)量不同的理想氣體溫度相同時(shí)分子的平均動(dòng)能也相等.

2 建構(gòu)理想氣體模型

從學(xué)生對(duì)實(shí)際氣體的微觀認(rèn)識(shí)入手，抓住主要因素，忽略次要因素，建構(gòu)理想氣體模型.

(1)理想氣體微觀結(jié)構(gòu)

氣體很容易被壓縮，實(shí)驗(yàn)表明，氣體的體積約為同種分子組成的相同質(zhì)量的液體體積的1 000倍.可見氣體分子間距離比分子本身的線度大得多.據(jù)此可將常溫常壓下的氣體分子理想化，忽略分子的形狀和大小，將氣體分子視為質(zhì)點(diǎn).

(2)理想氣體分子之間的相互作用

近幾年河南省高校一直引進(jìn)健美操專業(yè)的高學(xué)歷人才，使河南省高校健美操教師男女比例差異大且年齡趨于年輕化；據(jù)國(guó)家教委對(duì)高校師資應(yīng)具有研究生及以上學(xué)歷要求，與當(dāng)前河南省健美操教師的實(shí)際情況相結(jié)合，發(fā)現(xiàn)河南高校健美操教師學(xué)歷層次方面存在差距，這對(duì)其健美操的相關(guān)科研發(fā)展有一定的影響。最后，體院培養(yǎng)健美操專項(xiàng)方向的教師時(shí)間短，從事健美操方向的專業(yè)教師也就少，在允許自由選課前提下，學(xué)生選學(xué)健美操人數(shù)卻很多，從而出現(xiàn)健美操教師缺編的問(wèn)題，學(xué)校對(duì)健美操教師的培養(yǎng)不能夠滿足學(xué)生們的選課需要，因此，需要對(duì)高校健美操教師專業(yè)結(jié)構(gòu)進(jìn)行調(diào)整和改進(jìn)。

分子間存在相互作用的引力和斥力.引力和斥力都隨分子間距離的增加而減小，但斥力減小得更快.當(dāng)rr0時(shí)，分子間表現(xiàn)為引力.但當(dāng)分子間距離r?r0時(shí)，分子間相互作用力可以忽略，如圖1所示.又因?yàn)榉肿釉谟啦煌Ｏ⒌刈鰺o(wú)規(guī)則運(yùn)動(dòng)，氣體分子之間在不停地發(fā)生碰撞.據(jù)統(tǒng)計(jì)，在標(biāo)準(zhǔn)狀況下，一個(gè)氣體分子在1 s內(nèi)與其他分子碰撞可達(dá)65億次之多.碰撞時(shí)分子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)瞬間發(fā)生改變，分子間作用力較大.據(jù)此可將分子間的相互作用理想化，除碰撞外，分子間相互作用不計(jì).

圖1 分子之間相互作用力隨距離的變化

(3)理想氣體分子與分子之間的碰撞過(guò)程

氣體分子碰撞前后，分子間距離都比較遠(yuǎn).從分子勢(shì)能隨距離變化的圖像上(圖2)，我們不難看出，氣體分子碰撞前后，分子勢(shì)能都可以視為零.因此碰撞前后，發(fā)生碰撞的分子的總動(dòng)能不變.這和發(fā)生彈性碰撞的情況相同.因此我們可以將氣體分子間碰撞視為彈性碰撞.

這樣就將常溫常壓下的氣體做了理想化處理，建立了理想化模型.這就是理想氣體模型.

圖2 分子勢(shì)能隨距離的變化

3 溫度是理想氣體分子平均動(dòng)能的標(biāo)志

理想氣體分子之間的能量轉(zhuǎn)移是通過(guò)分子間頻繁的碰撞來(lái)實(shí)現(xiàn)的.直接研究三維碰撞對(duì)高中學(xué)生來(lái)說(shuō)，難度較大.先簡(jiǎn)化模型，假設(shè)分子只能在一條直線上運(yùn)動(dòng).探究分子在一維直線發(fā)生正碰時(shí)，能量轉(zhuǎn)移和哪些因素有關(guān).

3.1 兩分子追碰

如圖3所示，設(shè)A和B兩類理想氣體分子的分子質(zhì)量分別為mA和mB，A類分子中A1和B類分子中的B1在一條直線上運(yùn)動(dòng)，它們的速度分別為vA11和vB11，A1追上B1發(fā)生正碰，碰撞后它們的速度分別為vA12和vB12.因A1和B1間發(fā)生的碰撞是彈性碰撞，所以有

圖3 兩分子追碰

mAvA11+mBvB11=mAvA12+mBvB12

(1)

(2)

碰撞過(guò)程中A1分子損失的動(dòng)能ΔEA1等于A1碰撞前動(dòng)能減去A1碰撞后動(dòng)能，即

(3)

聯(lián)立式(1)～(3)解得

(4)

3.2 兩分子對(duì)碰

如圖4所示，設(shè)另一速度大小、方向均與A1相同的分子A2，與另一速度大小與B1相同但速度方向與B1相反的分子B2發(fā)生正碰(對(duì)碰)，將A2分子的速度記為vA21，B2分子的速度記為vB21.

圖4 兩分子對(duì)碰

類比A1和B1的碰撞，易解得A2與B2分子碰撞前后，A2損失的動(dòng)能為

(5)

3.3 上述兩對(duì)追碰和對(duì)碰的兩個(gè)A類分子損失的動(dòng)能之和

3.1追碰和3.2對(duì)碰過(guò)程中，兩個(gè)A類分子損失的動(dòng)能之和應(yīng)為ΔEA1+ΔEA2.又因?yàn)関A11與vA21大小和方向都相同，vB11與vB21大小相等，方向相反，所以ΔEA1中的中括號(hào)里的第三項(xiàng)和ΔEA2中的中括號(hào)里的第三項(xiàng)滿足

所以

(6)

ΔEA1+ΔEA2=

(7)

可見在這樣速率分別相等的一對(duì)追碰和對(duì)碰中，A類兩分子損失的動(dòng)能之和，等于k倍的A分子碰撞前的總動(dòng)能減去B分子碰撞之前的總動(dòng)能.

3.4 大量的A類分子和B類分子發(fā)生碰撞

(1)對(duì)大量分子而言，速度大小為vA11的A類分子和速度大小為vB11分子發(fā)生追碰和對(duì)碰的幾率相等.所以具有這兩個(gè)速率的分子發(fā)生碰撞，A類分子損失的動(dòng)能等于k倍的發(fā)生碰撞的A分子的總初動(dòng)能減去B類分子的總初動(dòng)能.

(2)因?yàn)関B11可以為任意值，所以速度大小為vA11的A類分子與任意速率的B類分子發(fā)生碰撞，A類分子損失的動(dòng)能之和等于k倍的所有參與碰撞的A分子動(dòng)能之和減去參與碰撞的B類分子動(dòng)能之和.

(3)再因?yàn)関A11也是任意的，所以任意速率的A分子與B分子發(fā)生碰撞，A類分子損失的動(dòng)能之和等于所有參與碰撞的A類分子的動(dòng)能總和減去B類分子的動(dòng)能總和.所以只要參與碰撞的分子數(shù)量足夠多，就可以認(rèn)為在所有A類分子和B類分子的碰撞中，A類分子損失的動(dòng)能等于k倍的參與碰撞的所有A類分子總動(dòng)能減去參與碰撞的B類分子的動(dòng)能之和.

3.5 若只考慮一維運(yùn)動(dòng) 對(duì)理想氣體溫度是分子平均動(dòng)能的標(biāo)志

由上面的分析不難看出，如果只考慮一維碰撞，若vA1和vB1分別表示A和B分子碰撞前的速率，則A和B兩類氣體分子碰撞中A分子損失的動(dòng)能可以表示為

(8)

等式兩邊同時(shí)除以碰撞的次數(shù)，則有

(9)

可見，如果A分子的平均動(dòng)能和B分子的平均動(dòng)能相等，則在A和B分子發(fā)生碰撞時(shí)，A類分子損失動(dòng)能的平均值為零.即A和B兩類理想分子熱交換的總量是零.而在宏觀現(xiàn)象中，只有兩個(gè)物體溫度相等，它們之間的熱交換才滿足這個(gè)規(guī)律.所以宏觀表現(xiàn)為溫度相同的兩類理想氣體，它們分子的平均動(dòng)能相等.所以溫度可以看做分子平均動(dòng)能的標(biāo)志.

3.6 三維運(yùn)動(dòng)下的理想氣體溫度也是分子平均動(dòng)能的標(biāo)志

上述結(jié)論是只考慮理想氣體分子只參與一維運(yùn)動(dòng)和碰撞得出的.實(shí)際上理想氣體分子參與的是三維的運(yùn)動(dòng)和碰撞.一維碰撞中的速度可以看做理想氣體的速度在這個(gè)維度上的速度分量.利用速度的合成與分解，通過(guò)更復(fù)雜的統(tǒng)計(jì)運(yùn)算，也可以得到

(10)

4 總結(jié)與反思

(1)學(xué)生對(duì)問(wèn)題的認(rèn)識(shí)是不斷發(fā)展的，隨著學(xué)生認(rèn)知水平逐步提升，學(xué)生對(duì)問(wèn)題的認(rèn)識(shí)也會(huì)逐漸深入，這也就是學(xué)習(xí)的進(jìn)階.在階段性的教學(xué)中，教學(xué)也應(yīng)該是開放式的，即既要提供適合學(xué)生認(rèn)知的教學(xué)手段和教學(xué)層級(jí)，也要提供開放式的接口，告訴學(xué)生有些內(nèi)容和環(huán)節(jié)，目前我們還不能進(jìn)行深入研究，等條件成熟了，我們?cè)僦鸩綄W(xué)習(xí)和探究.

(2)通過(guò)物理模型研究物理問(wèn)題是物理學(xué)的重要方法和手段.模型建構(gòu)是科學(xué)思維的重要組成部分.培養(yǎng)學(xué)生建構(gòu)和應(yīng)用模型的能力，也是學(xué)生學(xué)習(xí)物理課程的重要目標(biāo)之一.教學(xué)中應(yīng)該讓學(xué)生多一些體驗(yàn)和感受.

(3)運(yùn)動(dòng)和相互作用觀、能量觀是重要的物理觀念.教學(xué)中應(yīng)該注意促進(jìn)學(xué)生物理觀念的形成.雖然在熱學(xué)的研究和教學(xué)中，研究大量分子行為使用的是統(tǒng)計(jì)規(guī)律，但研究單個(gè)分子的運(yùn)動(dòng)時(shí)，仍然使用力和運(yùn)動(dòng)與能量等經(jīng)典物理知識(shí).使用碰撞探討溫度和分子平均動(dòng)能的關(guān)系，既在宏觀和微觀物理量之間示范性搭建了一座橋，也有利于學(xué)生相關(guān)物理觀念的形成.