胡經(jīng)濤,王應(yīng)明

(福州大學(xué) 經(jīng)濟(jì)與管理學(xué)院，福建 福州 350116)

多屬性決策可以簡(jiǎn)單理解為按照一定的決策準(zhǔn)則,對(duì)有限的備選方案計(jì)算不同屬性下的屬性值，并進(jìn)行排序和選擇該準(zhǔn)則下的最優(yōu)方案，在經(jīng)濟(jì)、管理、軍事、建筑工程等領(lǐng)域有著重要的應(yīng)用，排序準(zhǔn)則的確定則是多屬性決策的關(guān)鍵，也是眾多研究的熱點(diǎn)[1]。由我國學(xué)者鄧聚龍教授提出的灰色系統(tǒng)理論[2]，可從不同角度去描述和處理各種不確定信息，產(chǎn)生了巨大的國際影響力，灰關(guān)聯(lián)決策法在決策信息、決策模型等方面經(jīng)過不斷發(fā)展已經(jīng)成為不確定多屬性決策的重要組成部分[3-4]。灰數(shù)則是灰色系統(tǒng)理論中的基本單元，有一定的取值范圍但不能確定具體數(shù)值，是可以對(duì)其進(jìn)行加工、運(yùn)算生成得到有意義有價(jià)值的信息，從而描述系統(tǒng)。

灰關(guān)聯(lián)模型雖已采取區(qū)間灰數(shù)對(duì)屬性值做出改進(jìn)，但區(qū)間數(shù)存在著為完整保留屬性信息而導(dǎo)致區(qū)間過大、默認(rèn)區(qū)間內(nèi)各值概率相等的缺點(diǎn)，且隨著運(yùn)算法則的計(jì)算會(huì)產(chǎn)生誤差甚至失真現(xiàn)象。為此，張東興等[5]考慮了具有“獎(jiǎng)優(yōu)罰劣”線性變換算子的基于前景理論的灰關(guān)聯(lián)決策方法；陳可嘉等[6]給出了三參數(shù)區(qū)間灰數(shù)距離測(cè)度與排序方法，考慮三參數(shù)區(qū)間灰數(shù)重心點(diǎn)的影響，提出了基于三參數(shù)區(qū)間灰數(shù)的TOPSIS決策方法。然而，大多數(shù)文獻(xiàn)研究的是單一時(shí)間點(diǎn)的靜態(tài)決策問題，但是實(shí)際問題中很多領(lǐng)域需要考慮的是多時(shí)段動(dòng)態(tài)的決策過程，如動(dòng)態(tài)投融資金[7]、線上評(píng)估、股票交易、軍備系統(tǒng)等。為了使數(shù)據(jù)全面反映決策對(duì)象的特征，得到更加合理的決策結(jié)果，一些學(xué)者開始研究動(dòng)態(tài)多屬性決策問題。如裴鳳等[8]針對(duì)灰數(shù)與模糊數(shù)混合的動(dòng)態(tài)多屬性問題，考慮了決策問題發(fā)展的多階段性,采用熵權(quán)法確定時(shí)間權(quán)重，提出了基于時(shí)間參照點(diǎn)的混合靶心模型；陳德江等[9]采取泊松分布賦權(quán)法對(duì)多時(shí)段目標(biāo)信息進(jìn)行融合，從而確定動(dòng)態(tài)威脅排序結(jié)果。但是對(duì)于動(dòng)態(tài)的時(shí)間權(quán)重大多是直接給出或者由決策者直接設(shè)定[10-11]，這會(huì)導(dǎo)致決策結(jié)果受人為因素影響。

因此，筆者針對(duì)各決策時(shí)段時(shí)間權(quán)重、屬性權(quán)重信息未知的情況，首先，改進(jìn)了傳統(tǒng)灰數(shù)距離測(cè)度公式中，僅考慮端點(diǎn)值的差異造成信息缺失的不足，給出了一個(gè)保留區(qū)間灰數(shù)信息特性且具有更好分辨性能的新距離測(cè)度公式；其次，給出一個(gè)動(dòng)態(tài)模糊有序加權(quán)平均算子(DFOWA),利用該算子對(duì)各備選方案進(jìn)行方案內(nèi)屬性間與方案間多時(shí)段兩次信息集結(jié)，很大程度減少了主觀因素的影響，可對(duì)方案所有信息進(jìn)行集結(jié)；最后，根據(jù)綜合評(píng)價(jià)值的大小對(duì)各方案進(jìn)行擇優(yōu)，并通過算例分析來驗(yàn)證該方法的科學(xué)有效性。

1 預(yù)備知識(shí)

1.1 三參數(shù)區(qū)間灰數(shù)

定義2[13]對(duì)于三參數(shù)區(qū)間灰數(shù)a(?)和b(?)，這兩個(gè)灰數(shù)的距離如式(1)所示，并滿足以下性質(zhì)：①非負(fù)性，d(a(?),b(?))≥0；②對(duì)稱性，d(a(?),b(?))=d(b(?),a(?))；③三角不等式，d(a(?),b(?))≤d(a(?),c(?))+d(c(?),b(?))。

d(a(?),b(?))=

(1)

(2)

1.2 三參數(shù)區(qū)間灰數(shù)比較的可能度[16]

對(duì)于三參數(shù)區(qū)間灰數(shù)a(?)和b(?)，稱p(a(?)≥b(?))為a(?)≥b(?)的可能度，其中μ為風(fēng)險(xiǎn)系數(shù)。當(dāng)μ=0.5時(shí)，表明決策者是風(fēng)險(xiǎn)中立型；當(dāng)0<μ<0.5時(shí)，表明決策者是風(fēng)險(xiǎn)偏好型；當(dāng)0.5<μ<1時(shí)，表明決策者是風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避型。

p(a(?)≥b(?))=

(3)

將三參數(shù)區(qū)間灰數(shù)兩兩比較得到可能度矩陣P=(pii′)m×m，并利用式(4)求得排序向量:

(4)

2 決策方法

對(duì)于效益型屬性有：

(5)

對(duì)于成本型屬性有：

(6)

2.1 改進(jìn)的三參數(shù)區(qū)間灰數(shù)距離公式

式(1)表示的距離公式通過引進(jìn)心理風(fēng)險(xiǎn)系數(shù)來確定，但是并沒有體現(xiàn)出灰數(shù)與區(qū)間數(shù)或者三角模糊數(shù)的區(qū)別，閆書麗等[17]定義兩個(gè)三參數(shù)區(qū)間灰數(shù)的距離為：

(7)

其中,0≤α≤0.5，0.5≤β≤1。

該公式主要是從三參數(shù)區(qū)間灰數(shù)的信息域和最大可能值出發(fā)，考慮絕對(duì)差值，不考慮區(qū)間內(nèi)的每一個(gè)數(shù)值，與一般的區(qū)間數(shù)運(yùn)算并沒有本質(zhì)區(qū)別，僅考慮端點(diǎn)值的差異影響，容易造成信息缺失，沒有體現(xiàn)出信息背景下灰數(shù)不確定性的根本性特征。因此，筆者針對(duì)以上距離的不足，考慮三參數(shù)區(qū)間灰數(shù)信息域、核及區(qū)間內(nèi)的每一點(diǎn)的差異，同時(shí)過濾區(qū)間灰數(shù)信息重合部分，最大化突出區(qū)間灰數(shù)間差異性，給出一種改進(jìn)的三參數(shù)區(qū)間灰數(shù)距離公式，如式(8)所示，且該距離公式滿足定義2中的3條性質(zhì)。

(8)

2.2 屬性權(quán)重的確定

求解方案的綜合屬性值，并按照大小進(jìn)行排序，是方案選擇時(shí)的重要手段。如果某一屬性對(duì)所有方案的綜合屬性值的排序影響不明顯,則說明該屬性對(duì)所有方案的綜合屬性值排序來說不是特別重要,即該屬性僅對(duì)方案造成很小或有限的影響。因此,從對(duì)方案進(jìn)行排序的合理性和客觀性角度出發(fā),那些對(duì)方案屬性值影響越大的屬性應(yīng)該被賦予更大的權(quán)重。

對(duì)于規(guī)范化后的決策矩陣R=(rij)m×n,將屬性Cj下決策方案Ai與其他方案之間的離差用Vij(w)來表示,并定義為：

(9)

用Vj(w)表示在屬性Cj下所有方案與其他方案的總離差，可定義為：

于是,求解加權(quán)向量W可以轉(zhuǎn)化為求解下列最優(yōu)化問題：

則歸一化后屬性權(quán)重的計(jì)算公式為：

(12)

2.3 時(shí)間權(quán)重的確定

目前確定時(shí)間權(quán)重的主要方法有BUM法、厚今薄古法[18]、正態(tài)分布法、衰減法[19]等，由于時(shí)代的瞬息萬變且信息更新的速度快，以往的數(shù)據(jù)可能不具有很好的代表性，但依然存在參考價(jià)值。根據(jù)灰色系統(tǒng)理論中“新信息優(yōu)先”原則，基于熵值理論確定時(shí)間權(quán)重，具體定義如下：

(13)

式中：λh表示第h個(gè)時(shí)段的權(quán)重，表明了決策者對(duì)時(shí)序的重視程度；θ∈[0,1]表示的是“時(shí)間度”概念，θ越接近1表示決策者在所有時(shí)期數(shù)據(jù)中越重視距現(xiàn)在較遠(yuǎn)期的數(shù)據(jù)，θ越接近0意味著決策者在所有時(shí)期數(shù)據(jù)中越重視近期數(shù)據(jù)。θ的取值通常為0.1，0.2，0.3，0.4，0.5。當(dāng)θ取0.5時(shí)，表明決策者對(duì)于各個(gè)時(shí)間段的數(shù)據(jù)無偏好，同樣重視。

2.4 動(dòng)態(tài)模糊有序加權(quán)平均算子(DFOWA)

2.4.1 有序加權(quán)平均算子(OWA)

定義8設(shè)a(?)，b(?)，…，z(?)是一組三參數(shù)區(qū)間灰數(shù)，則DFOWA算子可分為方案內(nèi)屬性間集結(jié)與方案間多時(shí)段集結(jié)兩步。

(1)方案內(nèi)屬性間集結(jié)：

DFOWAw(a(?)，b(?)，…，z(?))=

(14)

(2)方案間多時(shí)段集結(jié)：

(15)

3 算例分析

3.1 問題描述

假設(shè)由于業(yè)務(wù)擴(kuò)展，某公司需要聘請(qǐng)一名分公司經(jīng)理，目前共有4名候選人(x1,x2,x3,x4)。面試分為初面(t1)、復(fù)面(t2)、終面(t3)3個(gè)時(shí)間段。為了招聘到最合適的人選，決策者主要從以下幾個(gè)方面考慮：自信程度(c1)、人際交流(c2)、工作熱情(c3)、期望工資(c4) 。其中屬性值采取三參數(shù)區(qū)間灰數(shù)來表示，決策者面試后得到初面、復(fù)面、終面各階段的成績(jī)表，如表1所示。

表1 各階段成績(jī)表

三參數(shù)區(qū)間灰數(shù)下的多屬性決策方法的具體步驟如下。

(1)根據(jù)式(5)和式(6)將t1時(shí)段的初始決策矩陣進(jìn)行規(guī)范化處理(以t1時(shí)段為例)，得到U(t1)。

(2)利用改進(jìn)的距離公式計(jì)算t1時(shí)段下的距離矩陣，并根據(jù)式(12)計(jì)算各屬性權(quán)重:w1=0.236 3,w2=0.225 4,w3=0.280 6,w4=0.257 7。

(3)根據(jù)式(13)計(jì)算各時(shí)段權(quán)重，根據(jù)以往招聘數(shù)據(jù)反饋，令時(shí)間度θ=0.3，明顯重視近期數(shù)據(jù)，得時(shí)間權(quán)重：λ1=0.154，λ2=0.292，λ3=0.554。

對(duì)方案間多時(shí)段集結(jié)可得各方案綜合屬性值：F1=(0.185 0,0.395 9,0.576 8)，F(xiàn)2=(0.263 1,0.404 2,0.640 8)，F(xiàn)3=(0.251 5,0.471 7,0.643 7)，F(xiàn)4=(0.291 6,0.523 9,0.749 1)。

(5)根據(jù)式(3)計(jì)算兩兩三參數(shù)區(qū)間灰數(shù)比較的可能度，并求得可能度矩陣：

(6)根據(jù)式(4)計(jì)算各方案綜合評(píng)價(jià)值：T1=0.199 6,T2=0.233 3,T3=0.259 6,T4=0.307 5。可以看出T1

(7)調(diào)整時(shí)間度θ取值并計(jì)算各時(shí)段權(quán)重，得到各應(yīng)聘者最終排序，如表2所示。

表2 不同時(shí)間度下的綜合評(píng)價(jià)值及排序結(jié)果

由表2可知，當(dāng)θ=0.9時(shí)，意味著決策者極其重視該公司距今久遠(yuǎn)的招聘數(shù)據(jù)，候選人排序先后順序發(fā)生了改變，說明該公司的招聘原則可能發(fā)生了變化，就會(huì)產(chǎn)生不同結(jié)果，這對(duì)解決實(shí)際問題具有現(xiàn)實(shí)意義。

3.2 方法比較

為了說明所提方法的科學(xué)性與有效性，將所得結(jié)果與其他兩篇文獻(xiàn)方法進(jìn)行對(duì)比分析。

由表3可知，各應(yīng)聘者的排序?yàn)閤2

(2)前景理論下的三參數(shù)區(qū)間灰數(shù)決策法(文獻(xiàn)[13])：該方法考慮了時(shí)間權(quán)重的波動(dòng)性，將兩兩方案互相比較求解其間距離來確定最優(yōu)屬性權(quán)重，最終計(jì)算得出綜合前景值。求得的最優(yōu)屬性權(quán)重w*=(0.219 1,0.188 5,0.334 0,0.258 5)；最終綜合前景值為：T1=-2.104 1,T2=-0.766 3,T3=-0.419 0,T4=0.712 1,因此各應(yīng)聘者的排序?yàn)閤1

表3 決策向量的區(qū)間關(guān)聯(lián)度

4 結(jié)論

在信息獲取時(shí)用三參數(shù)區(qū)間灰數(shù)來描述決策信息更符合投融資、管理、大工程等實(shí)際情況，考慮時(shí)段權(quán)重的動(dòng)態(tài)性也是實(shí)際問題發(fā)展的需要。因此，筆者提出了一個(gè)新的基于三參數(shù)區(qū)間灰數(shù)的距離測(cè)度公式和基于DFOWA算子的三參數(shù)區(qū)間灰數(shù)信息下的動(dòng)態(tài)多屬性決策方法。一方面利用核和信息域最大程度保留三參數(shù)區(qū)間灰數(shù)特性，另一方面利用DFOWA算子進(jìn)行方案內(nèi)屬性間與方案間多時(shí)段兩次集結(jié)，很大程度減少了主觀因素的影響，對(duì)方案所有信息進(jìn)行了集結(jié)。最后通過算例分析與不同方法比較，驗(yàn)證了所提方法的科學(xué)可行性。未來研究可更多考慮既有區(qū)間灰數(shù)又有實(shí)數(shù)的決策情形及更為復(fù)雜的四參數(shù)區(qū)間灰數(shù)動(dòng)態(tài)多屬性決策模型。