陽(yáng)開榮韋煜明

(廣西師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,廣西 桂林 541006)

0 引言

近年來(lái),由于各種傳染病的出現(xiàn)給人類的健康帶來(lái)了巨大的傷害與損失,而從傳染病動(dòng)力學(xué)的角度研究傳染病的傳播因素為傳染病預(yù)防與控制帶來(lái)了一定程度的幫助.在以往的一些動(dòng)力學(xué)模型中通常考慮的是確定型的模型,但在實(shí)際生活中,傳染病的流行在一定程度上會(huì)受到各種不確定因素的影響,比如環(huán)境噪聲,很多學(xué)者在研究傳染病時(shí)也考慮到這個(gè)因素.[1-6]文獻(xiàn)[6]中,蔡等人考慮了干預(yù)策略下具有傳染性的隨機(jī)SIRS傳染病模型

文獻(xiàn)[6]中作者運(yùn)用了Markov半群理論討論了傳染病的持久性與滅絕性,并得出白噪聲會(huì)影響傳染病的爆發(fā).

受文獻(xiàn)[6]的啟發(fā),以及考慮到環(huán)境噪聲因素和人為干預(yù)隔離措施,本文考慮以下具有非線性發(fā)生率及隔離措施的隨機(jī)SIQRS傳染病模型

其中S(t),I(t),Q(t),R(t)分別表示易感者、染病者、隔離者及恢復(fù)者在時(shí)刻t的人口數(shù)量.A為易感人口輸入率,μ表示個(gè)體自然死亡率,α表示個(gè)體因病死亡率,β為接觸率,η為恢復(fù)者失去免疫力后再次成為易感者的概率,γ和ζ分別為染病者和隔離者的恢復(fù)率,δ為隔離率,B(t)為標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng),σ2表示白噪聲強(qiáng)度.

1 全局正解存在唯一性

令(Ω,F,(F)t≥0,P)為滿足(F)t≥0單調(diào)遞增右連續(xù),且F0包含所有零測(cè)集的完備概率空間.我們定義以下正不變集

定理1對(duì)于任意給定的初值(S(0),I(0),Q(0),R(0)),系統(tǒng)(2)存在唯一的正解(S(t),I(t),Q(t),R(t)),并且該解以概率1屬于?4+,即

2 疾病的滅絕性與持久性分析

2.1 疾病的滅絕

2.2 疾病的持久

例3 對(duì)于初值(S(t),I(t),Q(t),R(t))=(0.9,0.1,0,0)取以下參數(shù)本文研究了具有非線性發(fā)生率及隔離措施的隨機(jī)SIQRS傳染病模型,證明了系統(tǒng)(2)全局正解的存在唯一性,給出了疾病滅絕與持久的條件.通過(guò)理論分析與數(shù)值模擬證明了環(huán)境噪聲與人為隔離措施對(duì)疾病有抑制作用,因此,我們可以通過(guò)增加噪聲的強(qiáng)度以及進(jìn)行隔離措施來(lái)抑制疾病的爆發(fā).

圖1 系統(tǒng)(2)(S(t),I(t),Q(t),R(t))的軌跡圖Fig.1(S(t),I(t),Q(t),R(t))trackdiagramofsystem(2)

圖2 系統(tǒng)(2)(S(t),I(t),Q(t),R(t))的軌跡圖Fig.2(S(t),I(t),Q(t),R(t))trackdiagramofsystem(2)

圖3 系統(tǒng)(2)(S(t),I(t),Q(t),R(t))的軌跡圖Fig.3(S(t),I(t),Q(t),R(t))rackdiagramofsystem(2)